мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / КР-КИТ материалы / Пробные Варианты
.doc
СЕРГЕЙ ОКИШЕВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
МАТАНАЛИЗА
ИАТИТ 2013
Задания и указания
к контрольной работе КР-КИТ
«Кратные интегралы и Теория поля»
ЗАДАНИЯ:
1. Вычислить и , то есть дивергенцию и
ротор векторного поля в заданной точке пространства.
2. Вычислить двойной интеграл, перейдя в ПСК.
Область интегрирования изобразить на чертеже.
3. Построить тело Т и вычислить его объем с помощью
тройного интеграла.
4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода (КИ-2).
Траекторию движения точки от к изобразить.
5. Найти поток П в направлении внешней нормали к
поверхности . Поверхность и ее проекцию – изобразить.
Указания
1. В задаче 1) следует сначала выписать теоретические формулы для дивергенции и ротора. Затем следует, вычисляя частные производные, получить дивергенцию и ротор поля для произвольной точки. Координаты векторного поля, т.е. функции , , могут быть определены не во всякой точке пространства! Поэтому, прежде чем подставлять точку М в полученные формулы, следует найти область определения векторного поля (пересечение областей определения его координат). В случае некорректности задачи (если в точке М поле не определено) следует сообщить об этом и вычисление конкретных значений не производить.
2. В задаче 2) сначала изображается на плоскости область интегрирования . В большинстве ситуаций следует ввести ПСК с полюсом в точке и воспользоваться формулой ФПК. В некоторых случаях удобнее оказывается сначала перенести декартову систему координат в центр круглой (кольцевой) области, а затем вводить ПСК относительно этого центра. Постоянные пределы интегрирования по переменным и определяются по исходной области . Если расстояние граничной линии от полюса является переменным, то формулу можно найти из уравнения соответствующей границы, выполнив подстановку и упростив уравнение. Затем остается вычислить составленный двукратный интеграл.
3. При построении тела Т (алгоритм СТИ) в задаче 3) обратите внимание, какие из поверхностей являются «боковыми стенками», а какие – «дном» и «крышей» заданного тела. Задачи составлены таким образом, что в пространстве удобно выбирать направление оси (). Поэтому последние две поверхности будут поверхностями входа и выхода для тройного интеграла. В задаче требуется найти объем построенного тела. Значит, подынтегральная функция . Результат должен быть доведён до конкретного числа. Это значение тройного интеграла должно быть найдено точно, например в виде: . Приближённое значение объема, вычисленное на калькуляторе, засчитано не будет.
4. В задаче 4) не следует забывать, что движению по ориентированной кривой может соответствовать изменение основной переменной от большего значения к меньшему, чего не было в обычном определенном интеграле. Результат должен быть доведён до конкретного числа. Это значение криволинейного интеграла должно быть найдено точно, например в виде: . Приближённое значение работы, вычисленное на калькуляторе, засчитано не будет.
5. В задаче 5) не следует забывать, что поток вычисляется в направлении внешней нормали к поверхности, что может давать как острый, так и тупой угол с ортом координатной оси. Поэтому контролируйте знак при переходе от поверхностного интеграла к двойному интегралу на плоскости. На ваше счастье, задача является упрощенной! Векторное поле имеет лишь одну ненулевую координату, и поток считается через единственную проекцию! Область при проектировании получается круглой или кольцевой формы. Поэтому следует выполнять СДИ в полярной системе координат, как и во второй задаче.
Желаю удачи!
Вариант Е5
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Найти и вычислить их значения в точке М:
ЗАДАЧА 2. Вычислить двойной интеграл в ПСК.
Область интегрирования изобразить:
D:
ЗАДАЧА 3.
Построить тело Т и вычислить его объем V(T) тройным интегралом:
ЗАДАЧА 4. Вычислить КИ-2. Траекторию движения
от точки к точке изобразить на чертеже:
.
ЗАДАЧА 5. Вычислить поток П в направлении внешней нормали
к поверхности . Саму поверхность и ее проекцию – изобразить на
чертеже:
.
Вариант Е6
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
ЗАДАЧА 1. Найти и вычислить их значения в точке М:
ЗАДАЧА 2. Вычислить двойной интеграл в ПСК.
Область интегрирования изобразить:
D:
ЗАДАЧА 3.
Построить тело Т и вычислить его объем V(T) тройным интегралом:
Т:
ЗАДАЧА 4. Вычислить КИ-2. Траекторию движения
от точки к точке изобразить на чертеже:
; .
ЗАДАЧА 5. Вычислить поток П в направлении внешней нормали
к поверхности . Саму поверхность и ее проекцию – изобразить на
чертеже:
.
РЕШЕНИЯ: Вариант Е5
ЗАДАЧА 1. Дивергенция и Ротор
Общетеоретические формулы:
; .
Нахождение формул для данного поля:
Область определения векторного поля (с учетом ротора и дивергенции):
.
Точка удовлетворяет полученным неравенствам, поэтому предложенная вычислительная задача корректна.
Окончательные вычисления:
.
==========================================================
ЗАДАЧА 2. Двойной интеграл в ПСК
Ограничения (граничные линии области D):
Строим область D на плоскости:
Переходим к ПСК для области D на плоскости:
ПСК: .
Для области D (границы по );
Преобразуем ограничения задачи к переменным
(1) – линия выхода из D в ПСК; (2) – линия входа в область D в ПСК.
Выполняем СДИ в ПСК: (используем алгоритм СДИ и формулу ФПК):
.
Окончательные вычисления двукратного интеграла:
=
ОТВЕТ:
==========================================================
ЗАДАЧА 3. Объем тела с помощью ∫∫∫-ла
Ограничения (граничные поверхности тела Т):
Имеем: 4 плоскости и параболическую поверхность (эллиптический параболоид по оси Oz вершиной вверх).
– «дно», «основание», на котором «стоит» тело;
– «боковые стенки» тела Т, параллельные оси Oz.
Вышеперечисленные грани образуют треугольную призму, уходящую на бесконечность по оси Oz+.
– «крыша» тела Т. Чтобы изобразить часть поверхности, вырезаемую треугольной призмой, найдем значения в вершинах треугольного основания призмы.
.
Строим тело Т в пространстве:
Составляем трехкратный интеграл по телу Т (алгоритм СТИ):
Поверхность входа: .
Поверхность выхода: .
Изображаем область-проекцию D на плоскости и получаем окончательную формулу трехкратного интеграла для объема тела V(T):
_________________________________________________________________
Формула вычисления объема:
.
_________________________________________________________________
Окончательные вычисления трехкратного интеграла:
=
ОТВЕТ: .
==========================================================
ЗАДАЧА 4. Вычисление КИ-2 (работы поля)
Изображаем траекторию движения точки на плоскости:
Выполняем алгоритм ВКИ-2:
.
Основная переменная .
Будем составлять определенный интеграл по .
– выразили остальное через .
– изменяется от 1 до –2 при движении от к .
Переход к определенному интегралу:
.
_________________________________________________________________
Окончательные вычисления:
=
=
_________________________________________________________________
Используем формулу интегрирования по частям для нахождения оставшегося интеграла.
_________________________________________________________________
Продолжаем вычисление определенного интеграла:
.
ОТВЕТ: .
==========================================================
ЗАДАЧА 5. Вычисление ПИ-2 (потока)
Выполняем алгоритм ВПИ-2:
, т.к. у векторного поля лишь одна составляющая – координата по оси .
Изображаем ориентированную поверхность в пространстве:
Поверхность представляет собой часть эллиптического параболоида, расположенного вдоль оси вершиной вверх. Эта часть заключена между плоскостями и .
Независимые переменные .
Будем составлять двукратный интеграл по .
Изображаем проекцию поверхности на плоскость:
Выразили подынтегральную функцию через .
Переход к двукратному интегралу на плоскости:
.
_________________________________________________________________
Окончательные вычисления:
.
_________________________________________________________________
ОТВЕТ: . Таким образом, поток направлен «наружу»…
==========================================================
РЕШЕНИЯ: Вариант Е6
ЗАДАЧА 1. Дивергенция и Ротор
Общетеоретические формулы:
; .
Нахождение формул для данного поля:
Область определения векторного поля (с учетом ротора и дивергенции):
.
Точка удовлетворяет полученным неравенствам, поэтому предложенная вычислительная задача корректна.
Окончательные вычисления:
.
==========================================================
ЗАДАЧА 2. Двойной интеграл в ПСК
Ограничения (граничные линии области D):
Строим область D на плоскости:
Переходим к ПСК для области D на плоскости:
ПСК: .
Для области D (границы по );
Преобразуем ограничения задачи к переменным
(1) – линия входа в область D в ПСК; (2) – линия выхода из D в ПСК.
Выполняем СДИ в ПСК: (используем алгоритм СДИ и формулу ФПК):
. Поэтому
Окончательные вычисления двукратного интеграла:
ОТВЕТ:
==========================================================
ЗАДАЧА 3. Объем тела с помощью ∫∫∫-ла
Ограничения (граничные поверхности тела Т):
Имеем: 4 плоскости и параболический цилиндр вдоль оси Oz .
– «дно», «основание», на котором «стоит» тело;
– «боковые стенки» тела Т вдоль оси Oz.
– наклонная плоскость, «крыша» тела Т.
Четыре плоские грани образуют треугольную призму, уходящую на бесконечность по оси Ox–, но параболический цилиндр отрезает от нее конечную часть, содержащую начало координат. Это и есть тело Т.
Строим тело Т в пространстве:
Составляем трехкратный интеграл по телу Т (алгоритм СТИ):
Поверхность входа: .
Поверхность выхода: .
Изображаем область-проекцию D на плоскости и получаем окончательную формулу трехкратного интеграла для объема тела V(T):
_________________________________________________________________
Формула вычисления объема:
.
_________________________________________________________________
Окончательные вычисления трехкратного интеграла:
= .