мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / ТР-ФНП V2 материалы / Задания и указания V2
.docОмский государственный университет путей сообщения
С.В.Окишев
Математический анализ
Задания и указания
к типовому расчету ТР-ФНП
«Функции нескольких переменных»
ВЕРСИЯ 2 (ТР-6 )
ЗАДАНИЯ:
1). Для функции показать, что выполняется соотно-
шение, содержащее её частные производные.
2). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к
Поверхности в точке .
3). Для функции найти: вектор-градиент в общем виде и его значение в точке ; производную по направлению вектора в общем виде и её значение в точке .
4). Дана функция и замкнутая область на плоскости, заданная системой неравенств. а) Сделать чертеж области и выполнить для неё и алгоритм . б) Выполнить для функции алгоритм .
5). Дана функция и замкнутая область на плоскости, заданная системой неравенств. Сделать чертеж области и выполнить для неё и алгоритм .
6). Найти полный дифференциал функции .
7). Найти частные производные для неявной функции.
8). Для функции найти: вектор-градиент в общем виде и его значение в точке ; производную по направлению вектора в общем виде и её значение в точке .
9). Дана функция . Выполнить алгоритм .
Указания
1. В задаче 1) по сути дела проверяется, является ли заданная функция решением дифференциального уравнения в частных производных. Сначала следует вычислить все частные производные, содержащиеся в левой и правой частях. Затем следует составить отдельно выражения для левой и правой частей и преобразовать их так, чтобы они совпали.
2. В задаче 2) результатом являются уравнения в общем виде через величины-константы . Ясно, что в этом случае нет необходимости проверять, принадлежит ли точка заданной поверхности.
3. Выполнение алгоритма в задачах 4) и 5) следует производить по шагам, аккуратно оформляя каждый шаг. Отдельную часть тетрадного листа следует выделить под список точек-кандидатов. Для каждой такой точки рядом должно быть подписано значение функции в ней. Все точки, попавшие в список, должны быть изображены на рисунке области с подписанными их обозначениями. Каждый участок границы области получает своё обозначение и исследуется отдельно. Итоговый ответ задачи лучше выписать в стандартных математических обозначениях.
4. При выполнении алгоритма в задачах 4) и 9) обратите внимание, что может получиться несколько критических точек. Сначала находятся общий вид Гессиана и его элемента , то есть строится математический аппарат для исследования точек. Затем каждая критическая точка проверяется на наличие в ней локального экстремума и его характер. Если ни одного локального экстремума не обнаружено, то в ответе следует указать: «нет локальных экстремумов».
ЖЕЛАЮ УДАЧИ !!