мат.анализ_23пс / ОКИШЕВ МатАн ТПС / СЕМЕСТР2 / ТР-ФНП V2 материалы / Пробные Варианты V2
.doc
СЕРГЕЙ ОКИШЕВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
МАТАНАЛИЗА
ИАТИТ 2012
Указания
1. В задаче 1) по сути дела проверяется, является ли заданная функция решением дифференциального уравнения в частных производных. Сначала следует вычислить все частные производные, содержащиеся в левой и правой частях. Затем следует составить отдельно выражения для левой и правой частей и преобразовать их так, чтобы они совпали.
2.
В задаче
2)
результатом
являются уравнения в
общем виде
через величины-константы
.
Ясно, что в этом случае нет необходимости
проверять, принадлежит ли точка заданной
поверхности.
3.
Выполнение алгоритма
в задачах
4)
и 5)
следует производить по шагам, аккуратно
оформляя каждый шаг.
Отдельную часть тетрадного листа
следует выделить под список
точек-кандидатов.
Для каждой такой точки рядом должно
быть подписано значение функции в ней.
Все точки, попавшие в список, должны
быть изображены на рисунке области
с подписанными их обозначениями. Каждый
участок
границы
области получает своё обозначение и
исследуется отдельно. Итоговый ответ
задачи лучше выписать в стандартных
математических обозначениях.
4.
При выполнении алгоритма
в задачах
4)
и 9)
обратите внимание, что может получиться
несколько
критических точек.
Сначала
находятся общий вид Гессиана
и его элемента
,
то есть строится математический
аппарат для исследования точек.
Затем
каждая критическая точка проверяется
на наличие в ней локального экстремума
и его характер. Если
ни одного локального экстремума не
обнаружено, то
в ответе следует указать: «нет локальных
экстремумов».
ЖЕЛАЮ УДАЧИ !!
ТР-ФНП Вариант Е1
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
=============================================================
ЗАДАЧА 1.
Для
показать, что
.
ЗАДАЧА 2.
Составить
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
.
ЗАДАЧА 3.
Для
найти: 1)
;
2)
в точке А;
3)
;
4)
в точке А.
Функция
;
Точка плоскости
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 4.
Даны:
и область
.
Выполнить
алгоритмы
и
.
;
.
ЗАДАЧА 5.
Даны:
и область
.
Выполнить алгоритм
.
;
.
ЗАДАЧА 6.
Найти
полный дифференциал
функции
:
.
ЗАДАЧА 7.
Найти
для неявного задания функции:
.
ЗАДАЧА 8.
Для
найти: 1)
;
2)
в
точке М;
3)
;
4)
в точке М.
Функция
;
Точка пространства
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 9.
Дана
функция
.
Выполнить
алгоритм
.
.
=============================================================
ТР-ФНП Вариант Е2
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
=============================================================
ЗАДАЧА 1.
Для
показать, что
.
ЗАДАЧА 2.
Составить
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
.
ЗАДАЧА 3.
Для
найти: 1)
;
2)
в точке А;
3)
;
4)
в точке А.
Функция
;
Точка плоскости
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 4.
Даны:
и область
.
Выполнить
алгоритмы
и
.
;
.
ЗАДАЧА 5.
Даны:
и область
.
Выполнить алгоритм
.
;
.
ЗАДАЧА 6.
Найти
полный дифференциал
функции
:
.
ЗАДАЧА 7.
Найти
для неявного задания функции:
.
ЗАДАЧА 8.
Для
найти: 1)
;
2)
в
точке М;
3)
;
4)
в точке М.
Функция
;
Точка пространства
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 9.
Дана
функция
.
Выполнить
алгоритм
.
.
=============================================================
ТР-ФНП Вариант Е3
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРОБНЫЙ ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
=============================================================
ЗАДАЧА 1.
Для
показать, что
.
ЗАДАЧА 2.
Составить
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
.
ЗАДАЧА 3.
Для
найти: 1)
;
2)
в точке А;
3)
;
4)
в точке А.
Функция
;
Точка плоскости
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 4.
Даны:
и область
.
Выполнить
алгоритмы
и
.
;
.
ЗАДАЧА 5.
Даны:
и область
.
Выполнить алгоритм
.
;
.
ЗАДАЧА 6.
Найти
полный дифференциал
функции
:
.
ЗАДАЧА 7.
Найти
для неявного задания функции:
.
ЗАДАЧА 8.
Для
найти: 1)
;
2)
в
точке М;
3)
;
4)
в точке М.
Функция
;
Точка пространства
;
Вектор направления
.
ЗАДАЧА 9.
Дана
функция
.
Выполнить
алгоритм
.
.
=============================================================
ОТВЕТЫ:
Вариант Е1
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 1.
;
;
.
Л.Ч.
= П.Ч. =
.
О’K.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 2.
.
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 3.
Орт
вектора для
:
.
.
Значения
в точке:
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 4.
АЛГОРИТМ
Критическая
точка
:
.
Гессиан
независимо от точки.
Вывод: НЕТ ЛОКАЛЬНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ.
___________________________________________________
ЗАДАЧА 4.
АЛГОРИТМ
в точке М1
.
в точке М2
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 5.
АЛГОРИТМ
в точке М1
.
в точке М2
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 6. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ:
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 7. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ:
( минусы внесены в знаменатели дробей )
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 8.
Орт
вектора для
:
.
.
Значения
в точке:
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 9.
АЛГОРИТМ
Критическая
точка
:
.
Гессиан
(независимо от точки)
локальный
экстремум.
Коэффициент
(независимо от точки)
минимум.
Вывод:
В точке
функция имеет локальный
минимум,
причем
.
_________________________________________________________________
ОТВЕТЫ:
Вариант Е2
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 1.
;
;
.
Л.Ч.
= П.Ч. =
.
О’K.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 2.
.
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 3.
Орт
вектора для
:
.
.
Значения
в точке:
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 4.
АЛГОРИТМ
Критическая
точка
:
.
Гессиан
независимо от точки
локальный
экстремум.
Коэффициент
(независимо от точки)
минимум.
Вывод:
В точке
функция имеет локальный
минимум,
причем
.
___________________________________________________
ЗАДАЧА 4.
АЛГОРИТМ
в точке М1
.
в точке М2
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 5.
АЛГОРИТМ
в точке М1
.
в точке М2
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 6. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ:
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 7. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ:
( минусы оставлены перед дробями )
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 8.
Орт
вектора для
:
.
.
Значения
в точке:
.
_________________________________________________________________
ЗАДАЧА 9.
АЛГОРИТМ
Критическая
точка
:
.