Лабораторнаяработа № m-4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ПРОГИБА СТЕРЖНЯ

1 Цель работы

Целью работы является изучение зависимости прогиба стержня от величины действующей на него силы; определение модуля Юнга материала стержня.

2 Оборудование и принадлежности

Прибор для определения модуля Юнга, набор грузов.

3 Теоретическая часть

3.1 Основные понятия и определения

Деформация– изменение относительного положения частиц тела, связанное с ихперемещением.Все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформации разделяют на упругие и пластические.

Упругие деформации– это деформации, исчезающие после снятия нагрузки. Т.е. после прекращения действия силы тело принимает первоначальные форму и размеры. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов вещества от положения равновесия

Пластические деформации– это деформации, которые остаются после окончания действия приложенных сил. В основе пластических деформаций лежат необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия.

Наиболее простые виды деформации тела в целом:

• растяжение,

• сжатие,

• сдвиг,

• изгиб,

• кручение.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения (сжатия) и сдвига.

Рассмотрим простейшую деформацию продольного растяжения (рисунок 1). К концам однородного стержень длиной l с площадью поперечного сечения S приложены силы и . В результате действия этих сил длина стержня меняется на величинуl.

l – абсолютное удлинение стержня;

–относительное удлинение (относительная деформация).

Рисунок 1 – Схема продольного растяжения

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

. (1)

Если сила направлена по нормали к по­верхности, напряжение называется нор­мальным, если же по касательной к по­верхности — тангенциальным.

Закон Гука: для малых деформаций относительное уд­линение  прямо про­порционально вызывающему его напряжению :

(2)

где Е – коэффициент пропорциональности, называется модулем Юнга.

Физический смысл модуля Юнга: модуль Юнга численно равен напряжению, вызывающему относительное удлинение, равное единице. При относительном удлинении, равном единице , абсолютное удлинение l = l, откуда получаем: модуль Юнга численно равен тому напряжению, которое растягивает стержень вдвое. На самом деле большинство материалов разрушается раньше, чем они будут растянуты вдвое, поэтому фактически нельзя приложить к стержню напряжение численно равное модулю Юнга.

Выразим относительное удлинение с учетом (1) и (2): , отсюда или

, (3)

где k – коэффициент упругости.

Выражение (3) также задает закон Гука: при упругой деформации абсолютное удлинение стержня пропорционально действующей силе.

Закон Гука справедлив только при невысоких напряжениях. При больших напряжениях закон Гука нарушается. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений (рисунок 2).

Рисунок 2 – Диаграмма напряжений малоуглеродистой стали

Из рисунка видно, что линейная зависимость  (), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности (_п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость  () уже не линейна) и до предела упругости (_у) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей - CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (0,2 %), называется пределом текучести (_т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об­ластью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности (_p).

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рисунок 3).

Рисунок 3 – Деформация изгиба

При изгибе на выпуклой стороне тело подвергается растяжению, а на вогнутой - сжатию. Внутри изгибаемого тела находится слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия, называемый нейтральным слоем. Около него при деформации возникают лишь ничтожно малые упругие силы. Слои балки испытывают тем большее напряжение, чем дальше они находятся от нейтрального слоя. На рисунке 3 показана деформация изгиба. Пунктирная линия - нейтральный слой, стрелками показаны силы, действующие в некотором сечении ab.

Для деформации изгиба стержня с круглыми поперечным сечением, имеющим две точки опоры, когда сила приложена в середине расстояния между опорами, расчеты дают следующее выражение:

, (4)

где k- коэффициент упругости при изгибе, пропорциональный приложенной силе,

l - расстояние между опорами;

D - диаметр стержня;

- стрела прогиба (рисунок 3), .

Вычислив коэффициент упругости

, (5)

по (4) определим модуль Юнга:

. (6)