М-3 триф подвес (Восстановлен)

Лабораторная работа № M-3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ГРУЗА

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

1 Цель работы

Целью работы является изучение кинематических характеристик вращательного движения, определение момента инерции J груза.

2 Оборудование и принадлежности

Трифилярный подвес, секундомер, образцы для определения момента инерции.

3 Теоретическая часть

3.1 Основные определения кинематики вращательного движения

Элементарные углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора равен углу поворота, а его направление подчиняется правилу правого винта (рисунок 1). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами.

Рисунок 1 – Угловая скорость

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: .

При повороте на угол  точка А, движущаяся по окружности радиусом R , пройдет путь S, равный длине дуги окружности. При этом .

Линейная скорость этой точки ,

или в векторном виде (1)

Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения.

Перио­д вращения Т – время, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения n:

,

Угловым ускорением  называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

(2)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему.

Линейное ускорение a материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, можно разложить на две составляющие: тангенциальную a_ и нормальную a_n (рисунок 2).

Рисунок 2 – Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории) и равна .

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии) и равна

Тогда с учетом (1) и (2) и

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость , тангенциальное ускорение а_, нор­мальное ускорение а_n ) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость ω, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

, , , (3)

В случае равнопеременного движения точки по окружности ( =const)

, ,

где ₀ — начальная угловая скорость.

Моментом инерции J материальной точки массой m относительно оси вращения называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния её до рассматриваемой оси:

.

Моментом инерции системы точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси: .

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями: .

В таблице 1 приведены значения мо­ментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Кинетическая энергия вращающегося тела

, (4)

где - момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения Z.

Таблица 1 – Моменты инерции некоторых тел

Тело	Ось	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R (кольцо)	Ось симметрии
Сплошной цилиндр радиуса R (диск)	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара
Квадратная пластина со стороной а	Ось проходит через центр масс перпендикулярно квадратному основанию

3.2 Описание экспериментальной установки

Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины (рисунок 3). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси OO′ , перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.

Рисунок 3 – Трифилярный подвес

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h , то приращение потенциальной энергии будет равно

, (5)

где g - ускорение свободного падения.

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h=0) с кинетической энергией, равной

, (6)

где J - момент инерции платформы, ω₀ - угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

, (7)

Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения  платформы от времени t в виде

, (8)

где ₀ - угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения;

T - период колебания;

- циклическая частота колебания.

Т.к. угловая скорость ω является первой производной по времени от величины углового смещения, то

. (9)

В момент прохождения платформы через положение равновесия (t = 0; ; и т.д.) величина ω(t) будет максимальна и равна по модулю

. (10)

Из выражений (7) и (10) следует, что

. (11)

Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхнего диска (рисунок 3), то высота подъема платформы

. (12)

Так как , то можно принять ВС + ВС₁ = 2l, тогда (12) запишется в виде

. (13)

Далее:

(14)

Из, тогда

. (15)

Подставляя (14) и (15) в (13), получаем высоту подъема платформы

. (16)

При малых углах отклонения φ₀ значение синуса угла заменим просто значением . Тогда (11) примет вид: , откуда

(17)

По формуле (17) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m - это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.

4. Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с параметрами системы, приведенными в таблице 2.

2. Необходимо сначала определить момент инерции J₀ ненагруженной платформы. Для этого нужно сообщить прибору при помощи шнура небольшие отклонения, и измерить при помощи секундомера продолжительность некоторого числа n колебаний (n = 40 - 50). Занесите результат измерения в таблицу 2.

3. Повторите пункт 2 еще дважды.

4. Для определения момента инерции груза J_г необходимо определить момент инерции платформы вместе с грузом J=J₀+J_г. Поместите груз в виде круглой пластины на платформу так, чтобы центры тяжести платформы и груза совпадали.

5. Сообщите прибору при помощи шнура небольшие отклонения, и измерьте при помощи секундомера продолжительность n колебаний. Занесите результат измерения в таблицу 3.

6. Повторите пункт 5 еще дважды.

7. Проведите опыт (пункты 4-6) для квадратной пластины.

5. Обработка результатов

1. Вычислите период колебаний ненагруженной платформы:.

2. Определите среднее значение периода колебаний ненагруженной платформы.

3. По формуле (17) определите момент инерции ненагруженной платформы J₀. Здесь T – средний период колебаний ненагруженной платформы, m=m₀ – масса платформы.

4. Вычислите период колебаний нагруженной платформы (круглая пластина).

5. Определите среднее значение периода колебаний нагруженной платформы.

6. По формуле (17) определите момент инерции нагруженной платформы. Здесь T – средний период колебаний нагруженной платформы J, m=m₀ +m_г– масса платформы вместе с грузом.

7. Повторите пункты 4-6 для квадратной пластины.

8. Заполните таблицу 3 расчетных значений.

Таблица 2 - Параметры системы

Наименование	Значение
Радиус платформы	R = 75 мм
Радиус верхнего диска	r = 40 мм
Длина нити	l= 1,125 м
Масса платформы	m0 = 110 г
Параметры груза в виде круглой пластины:
Масса	mг= 693 г
Радиус	Rг = 50 мм
Параметры груза в виде квадратной пластины:
Масса	mг= 674 г
Сторона квадрата	а = 95 мм

Таблица 3 – Результаты измерений

	N опыта	n	t, с	tср, с	Тср, с	m, кг	J, кгм^2
Ненагруженная платформа	1	50	110.60	111.35	2.22	0.110	J0=3.6^-4
	2	50	111.40
	3	50	112.05
Нагруженная платформа (круглая пластина)	1	50	72.57	72.42	1.49	0.6928	=0.28^-4
	2	50	71.78
	3	50	73.32
Нагруженная платформа (квадратная пластина)	1	50	82.20	82.12	1.64	0.674	=0.26^-4
	2	50	80.41
	3	50	83.75

9. Вычислите момент инерции первого груза как разницу моментов инерции нагруженной и ненагруженной платформы: .

10. Определите теоретическое значение момента инерции первого груза, представляя его в виде сплошного цилиндра (таблица 1).

11. Сравните теоретическое и экспериментальное значения моментов инерции первого груза: .

12. Вычислите момент инерции второго груза как разницу моментов инерции нагруженной и ненагруженной платформы: .

13. Определите теоретическое значение момента инерции второго груза (таблица 1).

14. Сравните теоретическое и экспериментальное значения моментов инерции второго груза: .

15. Заполните таблицу 4.

Таблица 4 – Моменты инерции тел

	Экспериментальное значение J, кгм^2	Теоретический момент инерции , кгм^2	δ, %
Круглая пластина
Квадратная пластина

6 Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции вращающейся точки?

2. Момент инерции тела относительно неподвижной оси.

3. Угловая скорость и угловое ускорение.

4. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

5. Связь между линейными и угловыми величинами.

6. Решите приведенные ниже тестовые задания.

Задание 1

Диск равнозамедленно вращается вокруг оси как показано на рисунке. Укажите направление вектора тангенциального ускорения точки А на ободе диска. 1 2 3 4

Задание 2

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рисунке показан график зависимости проекции скорости от времени ( - единичный вектор положительного направления, - проекция на это направление). При этом для нормального и тангенциального ускорения выполняется условие…
<0, >0 >0, >0	=0, >0 =0, =0

Задание 3

Материальная точка движется по окружности согласно уравнению: , рад. Здесь , . Чему равна угловая скорость точки через 3 с после начала движения? (в рад/с)
2	9
3	6

Задание 4

Диск радиуса R начинает вращаться из состояния покоя в горизонтальной плоскости вокруг оси Z, проходящей через его центр. Зависимость проекции угловой скорости от времени показана на графике. Тангенциальные ускорения точек на краю диска в моменты времени t1=2с и t2=7с… отличаются в 2 раза равны нулю отличаются в 4 раза равны друг другу, но не равны нулю

Задание 5

Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию своей угловой скорости так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости и вектор углового ускорения направлены в одну сторону в интервалы времени… от 0 до t1 и от t1 до t2 всегда направлены в одну сторону от 0 до t1 и от t2 до t3 от t1 до t2 и от t2 до t3

Задание 6

Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда верным утверждением относительно времени скатывания к основанию горки является следующее:

• быстрее скатится шар

• быстрее скатится полый цилиндр

• оба тела скатятся одновременно

Задание 6

Два маленьких массивных шарика закреплены на концах невесомого стержня длины d. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости . Под действием трения стержень остановился, при этом выделилось тепло . Если стержень раскручен до угловой скорости , то при остановке стержня выделится тепло…

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: .

Угловым ускорением  называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории) и равна .

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии) и равна

Таким образом, связь между линейны­ми и угловыми величи­нами выражается сле­дующими формулами:

, , , (3)