М-2 маятник Обербека

Лабораторная работа № M-2

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

1 Цель работы

Целью работы является изучение законов вращательного движения, определение момента инерции J маятника Обербека.

2 Оборудование и принадлежности

Маятник Обербека, секундомер, набор грузов.

3 Теоретическая часть

3.1 Основные определения и законы динамики вращательного движения

Моментом инерции J материальной точки массой m относительно оси вращения называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния её до рассматриваемой оси: .

Моментом инерции системы точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:

. (1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции J_с тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции J относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями: .

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу . В векторном виде .

Рисунок 1 – Момент силы

- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта (рисунок 1).

Модуль момента силы

. (2)

Здесь α – угол между и , rsinα=l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: сумма моментов сил, действующих на тело относительно оси, равно произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловое ускорение, приобретаемое телом

, (3)

в векторной форме

.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;

- импульс материальной точки.

- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m_i, находящиеся на расстоянии r_i от оси вращения. При вращении эти объемы будут иметь различные линейные скорости .

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

. (4)

Скорость поступательного движения связана с угловой скоростью ω следующим соотношением:. При этом для абсолютно твердого тела угловая скорость вращения составляющих его частиц одинакова.

С учетом этого, используя (1), запишем (4) в виде .

Т.о. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела

. (5)

Продифференцируем уравнение (5) по времени:

. (6)

Т.е. основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (3) запишется в виде:

,

- производная момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

В векторной форме .

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда

или , (7)

- это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Рисунок 2 – Опыт со скамьей Жуковского

Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского (рисунок 2). Человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, держит в руках гири и вращается с угловой скоростью ω₁ . Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость ω₂ его вращения. Закон сохранения момента импульса для этого опыта: J₁ω₁=J₂ω₂ .

3.2 Описание экспериментальной установки

Маятник Обербека (рисунок 3) состоит из четырех спиц 1 укрепленных на втулке 2 под прямым углом друг к другу. На ту же втулку насажаны два шкива 3 и 4 различных радиусов (r₁ и r₂). Вся эта система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции маятника Обербека можно менять, передвигая грузы 5 вдоль спиц. Момент сил, создается грузом 6 массой m, подвешенным к нити 7, которая навита на один из шкивов и перекинута через блок 8. Под действием момента сил система будет вращаться равноускоренно с постоянным угловым ускорением . В нерабочем состоянии маятник удерживается от вращения фиксирующим элементом 9. Перемещение груза можно определять по вертикальной шкале 10.

Рисунок 3 – Маятник Обербека

Момента инерции J маятника Обербека можно определить теоретически как сумму моментов инерции составляющих его частей относительно оси вращения согласно (1) или экспериментально, применяя понятия и законы динамики вращательного движения.

Вращение маятника Обербека под действием момента результирующей силы М подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения (3).

Груз m движется равноускоренно. Измеряя время t, в течение которого груз m из состояния покоя опустится на расстояние h, можно найти ускорение груза:

. (8)

Угловое ускорение . Если считать, что нить не проскальзывает по ободу шкива, то ускорение груза будет равно ускорению точек на ободе шкива, а = r = r, отсюда:

, (9)

где r – радиус шкива.

Если через F_н обозначить силу натяжения нити, то момент силы натяжения нити согласно (2) равен:

М _н= F_н · r (10)

Силу F_н можно найти из уравнения движения груза:

mg - F_н = ma (11)

F_н = m (g – a) (12)

Момент силы трения М_тр обычно оказывается довольно велик и способен существенно исказить результаты опыта. Поэтому в (3) представим момент силы, действующей на маятник Обербека, как результирующую моментов сил натяжения нити и трения:

М_н – М_тр = = (13)

Если вращение равноускоренное и подчиняется уравнению (13), то графически зависимость углового ускорения от момента сил, действующих на систему, будет представлять собой прямую линию, проходящую через точку с координатами [М_тр; 0] (рисунок 4). Коэффициент пропорциональности и есть искомый момент инерции маятника Обербека:

(14)

Таким образом, если по экспериментальным значениям удается построить график функции в виде прямой наклонной линии, то можно говорить о соблюдении основного уравнения динамики вращательного движения (3).

Рисунок 4 – Зависимость углового ускорения от момента сил, действующих на систему

Обратите внимание, что экспериментальные точки вследствие влияния погрешностей измерений могут и не лежать на одной прямой. Поэтому следует провести такую усредненную прямую линию, для которой отклонения точек в обе стороны будут приблизительно одинаковыми. Прямая не пересекает начало координат, так как на систему действует момент силы трения. Если масса m груза, подвешенного на нити, мала, то система может оставаться в равновесии. Другими словами, вращение маятника начнется только тогда, когда момент силы натяжения М_н будет больше момента сил трения М_тр.

4 Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с параметрами системы, приведенными в таблице 1.

2. Убедитесь, что нить 7 навита на шкив 4 с бόльшим радиусом r₂ и перекинута через блок 8 (рисунок 3).

3. Поверните фиксирующий элемент 9 и убедитесь, что маятник может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси.

4. Укрепите на нити груз массой m₁ и, осторожно вращая маятник, установите груз так, чтобы его нижний торец находился на отметке «0» на вертикальной шкале 10.

5. С помощью секундомера определите время t₁, за которое груз опустится на расстояние h. Погасите вращение маятника с помощью фиксирующего элемента. Соблюдайте правила техники безопасности!

6. Занесите значение t₁ в таблицу 2.

7. Повторите опыт для этого груза еще два раза, занесите в таблицу 1 значения t₂, t₃.

8. Повторите пункты 1-6 для грузов массами m₂, m₃, m₄, занесите в таблицу 1 результаты измерений.

9. Приведите систему в исходное состояние.

5 Обработка результатов

1. Вычислите среднее арифметическое значение времени движения каждого груза.

2. Для каждого груза по формуле (8) определите ускорение а.

3. Определите угловые ускорения  по формуле (9).

4. Принимая ускорение свободного падения g равным 9,81 м/с², определите силу натяжения нити F_н (12) и момент этой силы М_н (10). Радиусы шкивов приведены в таблице 1.

5. По расчетным значениям постройте график зависимости . Сравните с рисунком 4. Сделайте вывод о характере вращения и соблюдении уравнения динамики вращательного движения (3).

6. По графику зависимости определите значение момента сил трения М_тр . Он будет соответствовать точке пересечения прямой с осью абсцисс. Запишите это значение.

7. По формуле (14) определите значение момента инерции J маятника Обербека. Заполните таблицу 2 результатов измерений.

Таблица 1 - Параметры системы

Наименование		Значение
Радиус шкива		r1 = 0,9 см; r2 = 1,75 см
Перемещение груза		h =1 м
Абсолютные погрешности прямых измерений	Δm=0,1г; Δt=0,01c; Δh=0,005м

Таблица 2 – Результаты измерений

N опыта	m, кг	t, с				a, м/с^2	, 1/с^2	Fн, Н	Мн, Нм	J, кгм^2
		t1	t2	t3	tср
1
2
3
4

8. Определите среднее значение момента инерции J_ср маятника Обербека.

9. Определите относительные погрешности прямых измерений _h, _t и _m, зная, что относительная погрешность величины Х

10. По наибольшей величине _max определите абсолютную погрешность .

11. Представьте ответ в виде , кгм² .

6 Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки, тела (системы материальных точек) относительно оси вращения?

2. От чего зависит момент инерции маятника Обербека в данной работе?

3. Изменится ли момент инерции маятника Обербека в данной работе при изменении радиуса шкива?

4. Основное уравнение динамики вращения тела вокруг неподвижной оси.

5. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. Приведите примеры.

6. Решите приведенные ниже тестовые задания.

Задание 1

Три маленьких шарика расположены в вершинах правильного треугольника. Момент инерции этой систем относительно оси О1, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр – J1. Момент инерции этой же системы относительно оси О2, проходящей через один из шариков – J2. Справедливо утверждение… J1 > J2 J1 = J2 J1 < J2

Задание 2

Из жести вырезали три одинаковые фигуры в виде эллипса. Две детали разрезали вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO′. Для моментов инерции относительно оси OO′ справедливо соотношение… J1 = J2<J3 J1 < J2=J3 J1 > J2>J3 J1 < J2<J3

Задание 3

К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы. Если ось вращения проходит через центр диска О перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы F3 равно… а b c 0

Задание 4

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела…

• Увеличится в раз

• Не изменится

• Увеличится в 4 раза

• Увеличится в 8 раз

Задание 5

Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках горизонтально длинный шест за его середину. Если человек повернет шест вертикально, то частота вращения карусели в конечном состоянии…

• Не изменится

• Уменьшится

• Увеличится

Задание 6

Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.

Задание 7

Диск вращается равномерно с некоторой угловой скоростью . Начиная с момента времени t=0, на него действует момент сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса диска от времени.

7