ФЭФ Заочное отделение. 2012/13 уч. год.

Задачи к экзамену

1. Классическое определение вероятности. Свойства.

   1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

3. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

5. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

6. В урне 6 черных и 8 белых шаров. Из этой урны извлекают два шара. Найти вероятность того, что шары окажутся одного цвета.

2. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Задача Бюффона.

   1. В квадрат с вершинами 0(0, 0), K(0, 1), L(1, 1), M(1, 0) наудачу брошена точка Q(x,y). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 2x ?

2. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

3. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от 12-00 до 13-00. Одно из событий длится 10 мин., другое – 20 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

3. Условная вероятность, теоремы сложения и умножения вероятностей.

   1. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие А заключается в выпадении числа очков меньше 5, а событие В состоит в выпадении числа очков больше 1. Тогда что представляет из себя условное событие и какова его вероятность?

2. Вероятности появления каждого из трех независимых событий А₁,А₂,А₃ соответственно равны р₁ =0,9, р₂ =0,8, р₃ =0,7 . Найти ве­роятность появления: а) хотя бы 1 из этих событий, б) ровно 2 событий.

3. Студент знает ответы на 20 вопросов из 26. Найти вероятность того, что на три подряд заданных вопроса студент ответит.

4. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7; для второго 0,8. Какова вероятность попадания в волка?

5. В урне 5 белых, 10 черных и 5 красных шаров. Наудачу выбираются три шара. Определить вероятность того, что: 1) все три шара разного цвета; 2) хотя бы два из трех одного цвета

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

   1. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что пер­вый автомат дает 0,5% брака, второй - 0,8% и третий - 0,4%. 1) Найти ве­роятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого ав­томата поступило 500, со второго -1000 и с третьего - 1500 деталей. 2)Найти вероятность, что попавшая бракованная деталь с третьего автомата.

2. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 30%, второй - 45% и третьей -25%. Известно, что средний процент бракованных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 4%, для третьей - 10%. 1) Найти вероятность выбрать бракованное изделие. 2)Найти вероят­ность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.