Задания для практических занятий по дисциплине «теория вероятностей и математическая статистика»

Глава 1. Случайные события

1.1-1.2 Алгебра событий. Вероятность события

1. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной кости. Обозначим Xчисло очков, выпавших на верхней грани очков. Описать множество элементарных исходов Ω и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: А ={Xкратно трём},B={Xнечётно},C={X>3},D={X<7},E={Xдробно},F={0,5<X<1,5}. Выявить пары совместных событий.

2. Эксперимент состоит в радиолокационном обнаружении воздушной цели. Наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране, имеющего форму круга радиуса 10 см в декартовой системе координат с началом, совпадающим с центром экрана. Описать множество элементарных исходов и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={цель находится в первом квадранте},B={цель находится в круге радиуса 5 см, центр которого совпадает с центром экрана},C={ цель находится в круге радиуса 2,5 см, центр которого сдвинут на 5 см вдоль осиOxв отрицательном направлении}. Совместны ли пары событий А и В, А и С, В и С.

3. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. Описать множество элементарных исходов Ω и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={оба раза выпало число очков, кратное трём},B={ни разу не выпало число шесть},C={оба раза выпало число очков, больше трёх},D={Оба раза выпало одинаковое число очков}.

4. Монета подбрасывается три таза. Наблюдаемый результат – появление герба (Г) или цифры (Ц) на верхней стороне монеты. Описать множество элементарных исходов Ω и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A={герб выпал ровно один раз},B={ни разу не выпала цифра},C={выпало больше гербов, чем цифр},D={герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

5. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – число очков на верхней грани. События A,B,C,D,E,Fописаны в примере 1. Описать состав и выяснить смысл следующих событий: ,,,,.

6. В отделе технического контроля проверяют очередную партию изделий. Взятая наудачу деталь может оказаться либо Iсорта (событие А), либоIIсорта (событие В), либоIIIсорта (событие С). Что представляют собой следующие события:,,,?

7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появиться шестёрка.

8. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

9. В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?

10. Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5 % произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А={деталь бракованная}.

11. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность следующих событий: A={число очков равно 6},B={число очков кратно трём},C={число очков чётно},D={число очков меньше пяти}, Е={число очков больше двух}.

12. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A={числа очков на обеих костях совпадают},B={число очков на первой кости больше, чем на второй},C={сумма очков чётна},D={сумма очков больше двух}, Е={сумма очков не меньше пяти},F={хотя бы на одной кости появится цифра 6},G={произведение выпавших очков равно 6}.

13. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: A={число одинаково читается как слева направо, так и справа налево},B={число кратно пяти}.

14. 1 сентября на третьем курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на третьем курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание их трёх предметов равновозможно?

15. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

16. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырём; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырём; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.

17. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появиться «герб».

18. На коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.

19. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей шестёрка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

20. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.

21. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.

22. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.