Тема 1.2. Вероятность события

План лекции:

1. Классическое определение вероятности события.

2. Статистическое определение вероятности события.

3. Геометрические вероятности.

4. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Список литературы:

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

П.1. Классическое определение вероятности события.

Вероятность является количественной мерой возможности появления рассматриваемого события. Вероятность можно определить как функцию, заданную на подмножествах пространства .

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания:

,

где – число благоприятствующих событиюисходов;

– общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что, поэтому всегда выполняются неравенства, т.е.вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Если , то событиеневозможное.

Если , то событиедостоверное.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то.

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным исходом для событияи наоборот. В силу формулысправедливо равенство.

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие, то говорят, что из событияследует событие(). Например, для любых двух событийисправедливои.

Теорема. Если , то.

Доказательство. Пусть события ивключены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причеми– число благоприятных элементарных исходов соответственно для событийи, а– общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для событияявляется также элементарным исходом для события, тои, следовательно,.

(дополнение множества A до ) – противоположное событие. Это событие, состоящее в том, что A не происходит (логическое отрицание). Следовательно:

• –достоверное событие;

• –невозможное событие.

Теорема. Вероятность события , противоположного событиюравна дополнению вероятности данного событиядо 1, т.е..

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых(), благоприятны событию. Тогдаисходов неблагоприятны событию, т.е. благоприятствуют событию. Таким образом:

.

Классическое определение вероятности предполагает, что:

• _{число элементарных исходов конечно;}

• _{эти исходы равновозможны.}

Однако, на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.