487_Algebra_11

Ин фарзия ба тасдиќи дар нуќтаи x 0 њосила доштани

	y 10x	ва ба	1	баробар будани он баробарќувва аст. Фарзияро
			M
	истифода карда			њосилаи	функсияи	нишондињандагии y ax
	(a 0,	a 1) -ро		меёбем.	Барои ин	аввал њосилаи функсияи

y 10x -ро дар нуќтаи дилхоњ њисоб мекунем. Нисбати афзоиши ин функсия бар афзоиши аргумент

	y(x x) y(x)	10x x 10x					x	10 x 1
					10
	x		x						x
аст ва њангоми x 0 мувофиќи (3) ба					1	10x майл мекунад. Аз

M

ин мулоњизањо ва аз таърифи њосила бармеояд, ки

(10x ) 1 10x .

M

Барои асоси дилхоњи a 0, a 1 мувофиќи айнияти асосии логарифмї (ниг. ба п.14)

ax 10 gax 10x ga .

Пас мувофиќи ќоидаи дифферентсиронии функсияи мураккаб

(ax ) (10 ga x ) 1 10x ga (x ga) ga 10x ga ga ax .

M M M

Азбаски 10M e (ниг. ба таърифи 1-и п.16) аст, пас M ge .

Аз рўи формулаи гузариш ga ga ge a na , бинобар ин

M ge

(ax ) ax na .	(4)
Т е о р е м а и 1. Функсияи нишондињандагии y ax	дар њар

як нуќтаи тири ададї њосила дорад ва њосалаи он бо формулаи

(4)ифода карда мешавад.

Ху л о с а. Функсияи нишондињандагї дар тамоми нуќтањои тири

ададї бефосила аст, яъне њангоми x x	ax ax0 .
0

Ин хулоса аз диффентсирондашаванда будани функсия ва аз лемма оид ба бефосилагии њар гуна функсияи њосиладошта бармеояд.

101

Њосилаи функсияи y ex -ро бевосита аз (4) њангоми						a e
будан њосил каран мумкин аст. Азбаски ne 1 аст, пас
(e	x		e	x	.	(5)
		)
Яъне њосилаи экспонента			ex		ба худаш баробар аст. Бар

замми ин нишон додан мумкин аст, ки њар гуна функсияе, ки њосилааш ба худаш баробар буда, дар нуќтаи x 0 ин њосила ба 1 баробар аст, экспонента мебошад.

М и с о л и

1.

Њосилаи функсияњои

y 10x ва

y 3 5x -ро

њисоб мекунем.

Аз рўи формулаи (4)

(10

x

x

n10

;

(3

5x

5x

5x

n3 .

) 10

) 3

n3 ( 5x) 5 3

М и с о л и 2.

Њосилаи функсияњои y e2x -ро меёбем.

Мувофиќи ќоидаи њосилаи функсияи мураккаб ва формулаи (5)

(e

2x

2x

2x

.

) e

(2x) 2e

М и с о л и 3. Функсияњои

f (x) (x 1)ex -ро оид ба афзуншавї

(камшавї) ва экстремум тадќиќ мекунем.

Њосилаи функсияро меёбем:

f

(x 1)e

x

x

(x 1)(e

x

)

e

x

(x 1)e

x

xe

x

.

(x)

(x 1) e

Азбаски

барои

њар

гуна

ќимати

x

ex

0

аст, пас

аломати

њосила

бо

аломати

x

якхела

аст.

Яъне

дар

фосилаи 0;

буда функсия меафзояд. Дар фосилаи ; 0

f

f

(x) 0

(x) 0

аст, бинобар ин дар ин фосила функсия камшаванда аст. Дар нуќтаи x 0 њосила аломаташро аз минус ба плюс иваз мекунад, яъне ин нуќта нуќтаи минимум аст: fmin f (0) 1.

__________________________?_____________________________

1. Фарзияро, ки аз он истифода карда њосилаи функсияи нишондињандагї ёфта шудааст, номбар кунед. 2. Чаро функсияи нишондињандагї барои њар гуна ќимати аргументаш бефосила аст? 3. Њосилаи экспонента ба чї баробар аст?

________________________________________________________

102

Њосилаи функсияро ёбед (244-246):

244. а)

y 2ex

3 ;

б)

y 3x 5e x ;

в)

y 1

1

ex ;

г)

y 5e x x2 .

3

245. а)

y ex sin x ;

б)

y 2ex 3x ;

в)

y 4x2 4x ;

г)

y x2 3x .

y ex2

cos

x

y 6

x

tg4x ;

246*. а)

;

б)

2

2

y

2x

y

0,2 x

в)

;

г)

.

1 2 x

x 1

247. Дар нуќтаи абсиссааш x0 муодилаи расандаро ба графики функсияи f (x) нависед:

а)	f (x) ex ,	x 0 ;	б) f (x) 2x ,	x 1;
		0		0
в)	f (x) e x ,	x 0 ;	г) f (x) 3 x ,	x 1.
		0		0

248. Функсияро оид ба афзуншавї (камшавї) ва экстремумњо тадќиќ намоед:

а) f (x) xe3x ;											б) f (x) x2 4 x ;
в) f (x) xe x ;											г) f (x) x2 2x .
	МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР
		2		1	1
249. x -ро ёбед:		3									3
	4 x : 7,5
250. Системаро њал намоед:
			1 x						2x y			3y 1,
		5								2
5y 2											4x 5		8 2x.
		2								6
										103

									2
			5				5
251. Њисоб кунед:	7				5				.
			7				7

a2 1

252.Исбот кунед, ки 1 a4 2 аст (a - адади дилхоњ).

253.Муодилаи зеринро њал кунед:

8 x 1 64 2 x 1 .

22. ФУНКСИЯИ ИБТИДОИИ ФУНКСИЯИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

Т е о р е м а и 2. Функсияи

ax

барои функсияи y ax дар тири

na

ададии R ( ; ) функсияи ибтидої аст.

Дар њаќиќат, na

адади доимї аст,

барои њамин

мувофиќи

формулаи (4) барои њар гуна ќимати x

a

x

1

x

1

x

x .

a

a

na a

na

na

na

Ин баробарї нишон медињад, ки функсияи

ax

барои ax

функсияи

na

ибтидої аст.

Њамин тариќ, мувофиќи теоремаи п.2 намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияи y ax чунин аст:

F(x) ax C ,na

ки ин љо C доимии дилхоњ мебошад.

Э з о њ. Аз баробарии (5): (ex ) ex бармеояд, ки функсияи

ex C намуди умумии функсияи ибтидоии функсияи ex аст.

М и с о л и 1. Функсияи ибтидоии функсияи зеринро меёбем:

а) f (x) 3x ; б) g(x) 4 2x ; в) h(x) 2e5x 10 0,7x .

Аз теоремаи 2 ва ќоидањои ёфтани функсияи ибтидої (п.4) истифода мекунем:

104

3x	C ;					2x	C	2x 2
а) F(x)				б) G(x) 4				C .
n3						n2		n2
2e5x	10	0,7x		C .
в) H (x)
5	n0,7
					М и с о л и		2. Масоњати фигураи
у				бо хатњои		y 4x , y 0 , x 0 , x 2
				мањдудбударо меёбем.
					Њ а л. Графикњоро схемавї каши-
				да, мебинем, ки фигураи додашуда
				трапетсияи каљхаттаи дар расми 31
1				тасвир кардашуда мебошад. Бинобар
о			2	ин	S - масоњати онро аз рўи форму-
			х	лаи масоњати трапетсияи каљхатта ме-
Расми 31.				ёбем.
	2	x	dx	4x 2	16	1	15	.
	S 4			n4 0
	0				n4	n4	n4
254. Интегралро њисоб кунед:

1	1	4	2
а) 0,5exdx ;	б) e3xdx ;	в) 2x dx ;	4x dx .
0	0	2	0,5

Масоњати фигураи бо хатњои зеринро мањдудбударо ёбед (255-256):

255.	а) y ex ,				y 0 , x 1,		x 1;
	б) y x2 ,				y 4x ,	x 1;
	в) y 3x ,				y 0 , x 1, x 2 ;
	г) y ex ,				y e2x ,	x 1.
	1			x
256.	а) y				, y 2, x 0 ;
	2
	б) y ex ,				y e x ,	y e ;

1 x

в) y , x 1, y 1;4

г) y e4x , x 1, y 1.

105

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

257. Муодиларо њал кунед: sin 3x cos3x 1 .

4

258.Чор адад, ки се тараф ва периметри секунљаро ифода мекунанд, прогрессияи арифметикиро ташкил карда метавонанд?

259.Бригадаи каргарон бояд дар муњлати муайян 260 детал тайёр мекард. Њар рўз аз миќдори зарурї 6 деталї зиёд истењсол карда, бригада се рўз пеш аз мўњлат супоришро иљро намуд. Бригада чанд рўз кор кардааст? Агар бригада супоришро барзиёд иљро намекард, вай бояд њар рўз чанд деталї истењсол менамуд?

260.Соњае, ки дар њамворї бо нобаробарии зерин муайян мешавад, тасвир кунед:

а) x2 y2 9 б) x y 1, x 0 , y 0 .

261. Њисоб кунед: 2 3 31 11 2.

7 3 3

262. Аз ифода аз рўи асоси дилхоњ логарифм гиред:

								1				1		1
		a					2
			a											2
а)						б)		c3 d				2 .
	2ab						3

	23. ЊОСИЛАИ ФУНКСИЯИ ЛОГАРИФМЇ
Њосилаи	функсияи логарифми натуралии			y nx -ро	њисоб
мекунем. Исбот мекунем, ки барои дилхоњ				x -и калон	аз нул
формулаи	( nx)	1			(6)
		x

дуруст аст. Мувофиќи айнияти асосиилогарифмї барои њар гуна x 0 x e nx . Пас њангоми x 0 будан њосилањои функсияњои y x ва y e nx ба њам баробаранд, яъне

	nx		(7)
(x) (e		)

аст. Маълум, ки (x) 1. Њосилаи e nx -ро аз рўи ќоидаи ёфтани њосилаи функсияи мураккаб ва формулаи (5)-и п.21 њисоб мекунем:

(e nx ) e nx ( nx) x( nx) .

106

Њамин тариќ, аз ин љо ва аз (7) бармеояд, ки 1 x( nx) . Ва дар охир аз ин љо баробарии (6) њосил мешавад.

Инак, функсияи логарифми натуралї дар R (0; ) дорои њосила буда, њосилааш бо формулаи (6) њисоб карда мешавад. Ин

функсия дар			R	њамчуни функсияи дифферентсиронидашаванда
бефосила аст.						y oga x , a 0 , a 1 аз рўи
Э з о њ и			1. Њосилаи функсияи
формулаи				( oga x)			1				(8) њисоб
							x na
карда мешавад.				Дар њаќиќат	мувофиќи					формулаи гузариш
	nx				1					1
oga x		. Аз ин љо ( oga x)						( nx)			.
	na				na					x na
Э з о њ и			2.	Функсияи F(x) x( nx 1) C барои функсияи

y nx функсияи ибтидої мебошад (тарзи њосил кардани F(x) аз доираи математикаи мактабї берун аст). Дар њаќиќат,

F (x) x( nx 1) C x ( nx 1) x( nx 1) C

nx 1 x 1 nx . x

Мувофиќан намуди умумии функсияњои ибидоии функсияи y oga x , a 0 , a 1 чунин аст:

F(x) x( nx 1) C .na

М и с о л и 1. Њосилаи функсияи зеринро меёбем:

а) y n(4 3x) ;

б) y og3(x2 1) .

Мувофиќи формулањои (6) ва (8), инчунин ќоидањои њосилагирї

дорем:

1

3

а) y

n(4 3x)

;

4 3x

4 3x

1

2x

б)

2

n(x2 1)

2

.

og3 (x

1)

n3

(x2 1) n3 (x 1)

(x2 1) n3

y

М и с о л и

2. Муодилаи расандаро ба графики функсияи

107

f (x) nx 3 дар нуќтаи абсиссааш x0

1 менависем.

x a

Чуноне ки медонем, муодилаи расанда дар нуќтаи

ба

графики функсияи y f (x)

намуди зеринро дорад:

y

f (x) f

(a)(x a) .

Дорем

1

пас

f

инчунин

f

(x) ( nx

3)

,

(1) 1,

x

f (1) n1 3 3 . Њамин тариќ, муодилаи расандаи матлуб

y 3 x 1

ё y x 2 0

аст.

М и с о л и

3.

Функсияи

f (x) x nx -ро оид ба афзуншавї,

камшавї ва экстремум тадќиќ намуда графикашро схемавї месозем.

Функсия њангоми x 0 будан муайян аст. Њосиларо меёбем:

f

(x) nx 1.

Нобаробарии

ё

nx 1 0

њангоми

x e

1

1

f

(x) 0

будан

1

e

у

љой

дорад.

Яъне

дар

функсия

;

e

1

њосила манфї аст,

меафзояд; дар 0;

1

e

1

e

0;

функсия

о

1

х

бинобар ин дар фосилаи

e

1

1

кам мешавад.

Пас нуќтаи

x0

e

нуќтаи

Расми 32.

минимум аст:

e

fmin

1

1

n

1

1

1

1

f

e

( n1 n e)

(0 1) .

e

e

e

e

e

Графикро схемавї аз

баробарињои

f (0) 0 ,

f

1

1

,

e

e

f (1) 0 истифода карда мекашем (расми 32).

108

____________________________?_____________________________

1. Формулаеро, ки бо он њосилаи функсияи логарифмї ифода мешавад нависед. 2. Чаро функсияи логарифмї дар маљмўи R

бефосила аст?

__________________________________________________________

Њосилаи функсияро ёбед (263-265):

263.

а)

y n(2 5x) ;

б)

y og0,2 (x 4) ;

в)

y g x sin x ;

г)

y og3 (2x 1) .

264.

а)

y x n x ;

б)

y x2 n x ;

в) y

n x

;

г) y

x

.

x

n x

265.

а)

y

n(x 3)

;

б)

y

x

;

x2 1

n(1 x)

в) y

x2

г) y

og4 x

;

.

n3x

x 1

266.

Муодилаи

расандаро

ба

графики функсияи

f (x) дар

нуќати абсиссааш x0

нависед:

а)

f (x) n(x 1),

x0

0 ;

б)

f (x) 2 n x 1, x0

1;

в)

f (x) 3 n x,

x0

1

;

г)

f (x) og2 (x 1),

x0 0 .

e

267.

Функсияи зеринро оид ба афзуншавї, камшавї ва

экстремум тадќиќ кунед:

а) f (x)

n x ;

б) f (x)

n x

;

x

x

в) f (x) x n x ;

г) f (x) x2 n x .

109

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

268. Масоњати фигураеро, ки бо хатњои y 2x , y 0, x 0 ,

x1 мањдуд аст, ёбед.

269.Муодилаи нишондињандагиро њал намоед:

2x2 x 0,5 2 2 .

270.Њосилаи функсияи y 3tgx -ро ёбед.

271.Ифодаи

1

x 9x2

3 1

x4 3x 2

-ро содда кунед.

272. Фарќи ду адад ба 5 баробар буда, њосили зарби онњо 84 аст. Ин ададро ёбед.

24. ЊОСИЛА ВА ФУНКСИЯИ ИБТИДОИИ ФУНКСИЯИ ДАРАЉАГЇ

Њосила ва функсияи ибтидоии функсияи дараљагии y x -ро њангоми ратсионалї будани медонем (масалан, ниг. ба љадвали функсияњои ибтидої, ки дар п.3 омадааст). Онњоро беисбот оварда, дар њалли чандин масъалањо истифода кардаем. (Масалан, ниг. ба мисоли 7-и п. 4.)

Акнун дараљаи -ро адади дилхоњи њаќиќї њисоб карда, формулањои њосила ва намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияи дараљагиро комилан исбот менамоем.

I. Њосилаи функсияи дараљагї дар R (0; ) бо формулаи

(x			1	(9)
		) x

ифода карда мешавад.

Дар њаќиќат, азбаски мувофиќи айнияти асосии логарифмї x nx x (x 0) аст, пас x (e nx ) e nx . Аз ин љо

(x ) (e nx ) e nx ( nx) x 1 x 1 . x

Формулаи (9) исбот шуд. Формула нишон медињад, ки њосилаи функсияи дараљагї низ дараљагї аст.

110