Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

487_Algebra_11

.pdf
Скачиваний:
236
Добавлен:
10.04.2015
Размер:
1.25 Mб
Скачать

М и с о л и 1. Њосилаи функсияи:

x

n2

 

 

 

 

10

а) y

 

 

;

б) y x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

-ро меёбем.

Мувофиќи формулаи (9) дорем:

 

 

 

 

n2

 

x

 

а)

y

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

б)

 

10

 

 

 

n2 1

x

 

n2 x

 

n2 1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

10

 

 

.

 

 

10

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Ба ёфтани намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияи дараљагї шурўъ мекунем. Ду њолатро дида мебароем.

А) 1. Барои ин њолат функсияњои матлуб бо формулаи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

 

 

x 1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ифода мешавад.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дар њаќиќат, мувофиќи формулаи (9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(x

1

)

 

C

 

 

1

 

( 1)x

1 1

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

Формулаи (6) нишон медињад,

ки барои функсияи

y

1

 

дар фосилаи

(0; )

намуди

умумии

 

функсияи ибтидої

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n x C аст.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функсияи

1

 

дар фосилаи

( ;0) низ функсияи ибтидої доред,

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ки ин функсияи n( x)

мебошад. Дар њаќиќат,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n( x)

 

 

 

 

 

( x)

 

 

( 1)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

Њамин тариќ, намуди умумии функсияњои ибтидої барои

y

 

x

њангоми x 0

будан n x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

ва њангоми

будан n( x) C

аст. Таърифи ќимати мутлаќро барои ифодаи

x

истифода

карда

ба хулоса меоем,

ки

њангоми

 

x 0

будан

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияи чунин аст: x

F(x) n x C .

М и с о л и 2. Функсияи ибтидоиро барои функсияи y 1 2x 3

меёбем. (Дар назар дошта мешавад, ки соњаи муайянии ин функсия

фосилаест, ки он нуќтаи x

3

 

-ро дарбар намегирад.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бо осонї дидан мумкин аст, ки барои њар гуна нуќтаи фосилаи

муайянї ва барои адади дилхоњи C функсияи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

1

n

 

2x 3

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функсияи ибтидої аст.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умуман,

 

барои

 

функсияи

 

y

 

функсияи

 

 

ax b

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

n

 

ax b

 

C

 

 

 

функсияи

 

 

 

 

 

 

Расми 33.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ибтидої

 

мебошад,

 

агар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

бошад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М и с о л и 3. Масоњати фигураи бо

 

 

 

 

 

 

 

y

1

 

y 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

хатњои

,

 

x 1

 

ва x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

1

2

х

мањдудбударо меёбем (расми 33).

 

 

 

 

 

 

 

 

Аз рўи формулаи масоњати трапетсияи каљхатти меёбем:

 

 

 

 

 

 

 

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n2 n1 n2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

n

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

____________________________?_____________________________

1. Формулаи њосилаи функсияи дараљагиро истифода карда

нишон

дињед,

ки

вай

њангоми 0

будан афзуншаванда ва

њангоми

0

будан

камшаванда аст.

2.

Маълум, ки функсияи

дараљагии y x

дар тамоми тири ададї

бефосила аст. Нишон

дињед, ки 1 мебошад.

__________________________________________________________

112

Њосилаи функсияро ёбед (273-274):

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273. а)

y x 3

;

б)

y x 6 ;

в)

y x5

;

г)

y x 7 .

 

 

e

 

 

x

n4

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

274. а)

y x

 

 

;

б)

y

 

 

; в)

y 3x

; г)

y x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияро ёбед (275276):

 

 

 

y

1

x

 

 

 

 

y x3

 

;

 

y xe

 

y

1

x

 

 

 

 

.

275.

а)

2

;

б)

2

в)

г)

5

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

276.

а)

y

2

 

;

б)

y

1

 

;

в)

y

2

 

;

г)

y

2

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

x 1

 

 

x

 

 

 

 

x x 4

277.

Интегралро њисоб кунед:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

2dx

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

16

 

 

dx

а) x2 dx ;

 

 

 

б)

 

 

 

 

в) 6x5 dx ;

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Масоњати фигураи бо хатњои зерин мањдудбударо њисоб кунед

(278-279):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

278. а)

y x

3

,

 

y 0,

x 1;

б) y x

 

2

 

,

x

, x 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

в)

y x0,4 ,

 

 

y 0,

x 1,

 

x 32 ;

г).

y x 0,2 ,

 

 

y 0,

x 1,

 

x 32 .

279. а)

y

2

 

1,

 

 

y 0,

x 2,

 

x 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y

3

,

 

 

y 0,

x 3,

 

x 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y

1

,

 

 

 

y 0,

x

1

,

 

x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y 4

1

,

 

y 0,

x 4,

 

x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

280. Соњаи муайянии функсияи y n(x2 x 6) -ро ёбед.

281. x -ро ёбед: og3x 1 og316 3 og3 0,5 .

2

282. Барои 4 ќалам ва 3 дафтар 70 дирам ва барои 2 ќаламу 1 дафтар 28 дирам доданд. Ќалам ва дафтар чанд дирамї меистанд?

283. Ќиматњои калонтарин ва хурдтарини функсияи

f (x) x

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

-ро дар порчаи

2;

 

 

 

ёбед.

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

sin15

sin 75

 

 

аст.

284. Нишон дињед, ки

3

0

0

 

 

 

cos15

cos75

 

 

 

25. МАФЊУМИ МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНТСИАЛЇ

То њол ба муоинаи муодилањое машѓул будем, ки њаллашон адад буд. Акнун муодилањоеро дида мебароем, ки њалли онњо функсия аст. Агар чунин муодила ѓайри худи функсия боз њосилаи функсияи матлубро доро бошад, он гоњ онро муодилаи дифферентсиалї меноманд.

Њалли бисёр масъалањои илм ва техника ба ёфтани њалли муодилаи дифферентсиалии

f

 

(10)

(x) k f (x) ,

ки ин љо k адади доимї буда, y f (x)

функсияи матлуб аст,

оварда мешаванд. Маънои муодилаи (баробарии) (10) ин аст, ки суръати таѓйирёбии функсия дар нуќтаи x ба ќимати функсия дар њамин нуќта мутаносиб мебошад.

Барои тасдиќи ин гуфтањо протсессњои зерини воќеъиро њамчун мисол меорем.

М и с о л и 1. (Таљзияи радиоактивї). Амалан муќаррар карда шудааст, ки суръати таљзияи радиоактивии модда бо мурури ваќт t

ба миќдори модда m(t) мутаносиб аст, яъне m (t) bm(t) .

Дар ин љо b коэффитсиенти мутаносибї буда, шиддатнокии таљзияро муайян менамояд. Њангоми таљзия миќдори модда кам мешавад. Бо ибораи дигар, функсияи m(t) камшаванда аст, яъне

114

m (t) 0 . Бо маќсади бо параметри мусбат сару кор доштан,

b 0 гузошта, вобастагиро дар намуди

 

 

(11)

m (t) m(t)

менависанд.

М и с о л и 2. (Афзоиши ањолї). Њангоми омўзиши афзоиши ањолии ин ё он мамлакат фарз мекунанд, ки суръати афзоиши ањолї ба миќдори ањолї мутаносиб аст. Агар дар лањзаи ваќти t миќдори

ањолиро бо N(t) ишорат кунем, он гоњ

 

(12)

N (t) N(t) ,

ки 0 буда, шиддатносии афзоиши ањолиро ифода мекунад.

М и с о л и 3. (Ќонуни таѓйирёбии фишори атмосферї). Дар њудуди буландињои аз сатњи бањр якхела, ки дар онњо њарорати њаво амалан доимї аст, суръати камшавии фишори атмосферї ба худи

фишор мутаносиб аст. Яъне, агар бо P(h) фишорро дар баландии h ишорат кунем, он гоњ

 

 

(13)

P (h) P(h) ,

 

ки дар ин љо 0 мебошад.

 

 

 

Муодилањои (11)-(13) муодилањои дифферентсиалї буда,

намуди (10)-ро доранд. Дар онњо бузургињои мусбат ,

ва

 

коэффитсиентњои мутаносибї, функсияњои m(t),

N(t),

P(h)

-

матлубанд.

 

 

 

Акнун ба муодилаи (10) бармегардем. Дар он k

адади маълум

буда, функсияи f (x) матлуб аст. Формулаи њосилаи функсияи нишондињандагиро ба хотир оварда (ниг. ба п. 21) мебинем, ки барои њар гуна адади С функсияи намуди

 

 

f (x) Cekx

(14)

њалли муодилаи (10) аст. Дар њаќиќат,

 

 

f

 

(x) C(e

kx

)

 

Cke

kx

C f (x) .

 

 

 

 

Нишон медињем, ки муодилаи (10) ѓайр аз функсияњои намуди (14) њалњои дигар надорад. Барои ин функсияи f (x) -ро, ки њалли дилхоњи (10) аст, гирифта функсияи ёрирасони

g(x) f (x)e kx

-ро тартиб медињем. Дорем

g (x) f (x)e kx f (x)(e kx ) f (x)e kx k f (x)e kx .

115

t0 0

Дар ин љо ба љои f

 

ќиматаш kf (x) -ро аз муодилаи (10)

(x)

гузошта, њосил мекунем:

 

 

 

 

 

kx

kx

g (x) k f (x)e

k f (x)e 0.

Аз айнан нул будани њосилаи g(x) бармеояд, ки вай барои

тамоми ќиматњои x доимї аст (ниг. ба лемма п. 2): g(x) C . Акнун баробарии g(x) f (x)e kx -ро истифода карда пайдо мекунем:

f (x)e kx C ва аз ин љо f (x) Cekx .

Инак, њар гуна њалли (10) намуди (14)-ро дорад. Бо ибораи дигар, њалли умумии муодилаи (10) бо формулаи (14) ифода карда мешавад. (Њалли умумии муодила гуфта, њаллеро меноманд, ки аз он њалли дилхоњи мушаххасро људо карда гирифтан мумкин аст.)

Намуди њалли умумии муодилаи (10) (формулаи (14)) нишон медињад, ки вай аз як параметри доимии С вобаста аст. Ин бошад ба хулоса меорад, ки њангоми дода шудани ќимати њал дар як нуќтаи

х х0 , яъне дода

шудани

f (x0 ) , њалли (10)

якќимати

муайян

мегардад. Шарти

f (x0 ) f0

шарти аввала ё

ибтидої

номида

мешавад. Њангоми дода шудани f0 функсияи

 

 

 

f (x) f0e

k ( x x0 )

 

(15)

 

 

 

њалли (10) буда, шарти f (x0 ) f0 -ро ќаноат мекунонад. Дурустии

ин тасдиќ бевосита санљида мешавад.

Ба муоинаи протсессњое, ки онњоро дар боло бо муодилаи дифферентсиалї ифода кардем бармегардем. Њалли муодила-њоро ёфта, ќиматњои ададии коэффитсентњоро њосил мекунем.

Таљзияи радиоактивї. Бигузор дар лањзаи ќайди ваќти t0

миќдори модда ба m0 баробар аст, яъне m(t0 ) m0 . Барои муайянї ќабул карда, њалли муодилаи (11)-ро бо шарти ибтидоии

m(0) m0 аз рўи формулаи (15) меёбем ( f0 m0 , x0 0) :

m(t) m0e 2t

Дар бисёр њолатњо тавсифи моддаи радиоактивї даври нимтаљзия T ваќте, ки дар муддати он миќдори модда ду маротиба кам мешавад мебошад. Даври нимтаљзия барои бисёр моддањои радиоактивї хеле калон аст. Масалан, барои радий T 1590 сол,

116

барои уран

T 4,56

миллиард сол

мебошад. Дар њаќиќат, аз

баробарињои

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m0

 

 

m0

e T

 

 

 

 

T

m e T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

баробарии

T

1

n2

ё

 

n2

 

бармеояд. Барои радий

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

0,000446 4,46 10 6 .

 

1590

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Афзоиши ањолї. Агар бо N0 N(0) миќдори њозираи ањолиро

ишорат кунем, он гоњ пас аз t сол миќдори ањолї мувофиќи формулаи (15) ба

N(t) N0e t

баробар мешавад, ки ин функсия њалли муодилаи (12) аст. Коэффитсенти –ро дар асоси додашудањои оморї муайян кардан

мумкин аст. Масалан, бигузор маълум бошад, ки дар муддати 10 сол миќдори ањолї 1,2 маротиба афзудааст. Дар ин њолат

 

N(10)

 

N0e10

 

10

 

 

 

1,2;

 

 

 

 

 

1,2;

e

 

1,2.

 

 

 

 

N0

 

 

N(0)

 

 

 

 

 

 

Аз ин љо 10 n1,2 ва

1

 

n1,2 0,0182 .

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

n1,2

 

 

 

 

Њамин тариќ, N(t) N0e

10

N0e0,0182t .

Ин

баробарї имконият

медињад, ки миќдори ањолиро баъди 20 сол њисоб кунем ё кай ду маротиба зиёд шудани онро донем ва ѓайра.

Ќонуни таѓйирёбии фишори атмосферї. Агар P0 P(h0 )

бузургии фишор дар баландии h h0 бошад, он гоњ њалли муодилаи

(13) мувофиќи формулаи (15) функсияи

P(h) P0e (h h0 )

аст, ки он бузургии фишорро дар баланди h ифода менамояд. Агар h0 0 гузорем, он гоњ

117

P(h) P0e h .

P(h) -ро дар ягон баландии h1 дониста коэффитсенти мутаносибии-ро меёбем:

1 ( nP0 nP(h1 )) . h1

Мисолњои овардашуда ба хулоса меоранд, ки муодилањои дифферентсиалї олати тавонои тадќиќ мебошанд. Ин аст, ки тадќиќотчиён ќонунњоеро, ки онњо ба ягон протсес хосанд, бо воситаи чунин муодилањо ифода карда, рафти инкишофи ин протсесро бо мурури ваќт њамчун њалли ин муодилањо меомўзанд. Ба ин мисолњои овардашуда, ки онњо мисоли татбиќи математика дар амалия њастанд, далел шуда метавонанд.

__________________________?_____________________________

1. Чї гуна муодиларо муодилаи дифферентсиалї мегўянд?. 2. Њалли умумии муодилаи дифферентсиалї чист? Вай бо кадом формула ифода меёбад? 3. Мазмуни шарти ибтидоиро фањмо-нед. 4. Даври нимтаљзияи модда чист ва он чї тавр муайян карда мешавад?

________________________________________________________

285. Нишон дињењ, ки функсияи f (x) 6e4x њалли муодилаи f (x) 4 f (x) аст.

286. Нишон дињењ, ки функсияи y 2e 3x њалли муодилаи y 3y мебошад.

287.Даври ниматаљзияи моддаи радиоактивї муайян карда шавад, агар маълум бошад, ки дар муддати 2 сол ин модда якуним маротиба кам шудааст.

288.Баъди як соат аз 50 гр. моддаи радиоактивї 47 гр. боќї монд. Баъди 5 соат чї ќадари ин модда боќї мемонад?

289.Даври нимтаљзияи радий 1590 сол аст. баъди чанд сол миќдори радий 10 маротиба кам мешавад?

290.Дар муддати 10 сол ањолии мамлакат 10% афзудааст. Дар 20 соли пасоянд ањолї чанд маротиба меафзояд?

291.Дар муддати 15 сол ањолии љумњурї 20% зиёд шудааст. Пас аз чанд сол миќдори ањолї ду маротиба зиёд мешавад?

292.Аз сатњи бањр чї ќадар баланд баромадан даркор, ки фишори њаво 40% кам шавад, агар маълум бошад, ки њангоми ба баландии 1000 м баромадан фишор 20% кам мешавад?

118

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

293.Ифодаи 2y 3y2 y3 -ро ба зарбкунандањо људо кунед.

294.Содда намоед: cos( ) cos( ) .

2

295.Гипотенузаи секунљаи росткунља 13 см аст. Катетњоро ёбед, агар фарќи онњо 7 см бошад.

296.Муодилаи og4 (x2 x) 1 og4 5 -ро њал кунед.

297. Масоњати фигурае, ки бо хатњои y x(2 x),

y 0

мањдуд аст, њисоб кунед.

 

Маълумоти таърихї

Дар охири асри XVII кори дохил кардани дараља дар шакли њозира аз тарафи олимони англис Љ о н В а л л и с (1616-1703) ва И с а а к Н ю т о н (1643-1727) ба субут расонида шуда буд. Валлис дар соли 1665 аввалин шуда истифодаи нишондињандањои манфї ва касриро мувофиќи маќсад њисоб намуд. И.Нютон дар яке аз мактубњои худ дар соли 1676 навишта буд: «Чи тавре алгебрадонон ба љои АА, ААА ва ѓайра, А2, А3 ва ѓайра менависанд, ман њам

њамчунин ба љои

1

,

1

,

1

ва ѓайра, а 1 ,

а 2 ,

а 3 ва ѓайра

а

а2

а3

 

 

 

 

 

 

менависам».

Бо тадриз васеъ кардани мафњуми дараља дар илм њамин хел буд, ки мафњумњои нав – дараљањои нулї, касрї ва манфї ба таърифњои дараља, ки пештар ќабул шуда буданд, зиддият надоштанд. Онњо ба њамон ќоидањое, ки онњоро дараљаи натуралї ќонеъ мекард, итоат менамуданд. Дар охири асри XVII аз сабаби мураккаб гардидани масъалањои математикї зарурияти таъљилии пањн кардани таърифи нишондињандаи дараља барои њамаи ададњои њаќиќї ба миён омад. Умумї кардани дараља имконият дод, ки

функсияи нишондињандагии y ax дар маљмўи ададњои њаќиќї

муоина карда шавад. Назарияи нињоят ба њозира наздики функсияи нишондињандагї дар ду боби китоби Л е о н а р д Э й л е р (17071783) «Муќаддима ба анализ» дарљ гардидааст. Вобастагии байни функсияи нишондињандагї ва функсияњои тригонометриро, ки онро Л.Эйлер дар ин китоб пешнињод кардааст, яке аз умдатарин натиљањои имли математика аст. Афсус, дониши мактабї ќазої намекунад, то он вобастагиро орем.

Калимаи логарифм юнонї буда, чун нисбати ададњо тарљума

119

мешавад. Кашфи логарифмњо (соли 1594), номи онњо ва аввалин љадвали логарифмњо ба шотландї, дўстдори математика Љ о н Н е п е р (1550-1617) тааллуќ дорад. Сабаби чунин номгузорї он буд, ки логарифмњо њангоми муќоиса кардани ду адад, ки яке аъзои прогрессияи арифметикї ва дигаре аъзои прогрессияи геометрї мебошад, пайдо шудаанд. Завќманди дигари математика – соатсоз ва устоди асбобњои нуљумї, швейтсарї И. Б ю р г и (1552-1632), ки ёрдамчии нуљумшиноси машњур И. К е п л е р (1571-1630) шуда кор мекард, аз Љ. Непер пештар љадвалњои логарифмњоро тартиб дода буд. Вале љадвалњои Бюрги соли 1620 чоп шуданд, њол он ки љадвалњои Непер соли 1614 чоп шуда буданд. Аз њамин сабаб дар кашфи логарифмњо аввалият ба Непер дода шуааст.

Ѓояе, ки ба он кашфи логарифмњо асос карда шудааст, математики немис М. Ш т и ф е л (1487-1567) пешнињод карда буд: Фарз

карда буд, ки дар баробарии x a y паси њам y ќиматњои

 

1, 2, 3, 4, ... , y, y 1

(16)

ќабул мекунад. Он гоњ x ин тавр ифода мешавад:

 

1, a1, a2 , a3 , a4 , ... , a y , a y 1 .

(17)

Ададњои дар ќатори (16) буда прогрессияи арифметикї ва ададњои дар ќатори (17) буда прогрессияи геометриро ташкил медињанд. Зоњиран фањмост, ки ададњои дар (16) буда, логарифми ададњои дар (17) буда аз рўи асоси a њастанд. Пурсида мешавад, ќимати a -ро чанд гирем, ки ададњои дар ќатори (17) буда ба ќадри имкон зич (ду аъзои њамсоя ба њам наздик) бошанд. Дараљаи дилхоњи 1 ба 1 буданро дониста, Непер ва Бюрги, новобаста аз

њамдигар, мувофиќан a 1 10 7 ва a 1 10 4 ќабул карда буданд.

И. Бюрги соли 1603 њисобкунињои худро оѓоз карда, соли 1611 онњоро анљом дода буд. Вале чи тавре дар боло ќайд шуд, љадвалњои ў аз сабаби дер чоп шуданашон ба эътирофи њамагон сазовор нагаштанд. Баръакс, љадвалњои Непер, ки пештар дарљ гардида буданд, ќабули њамагон гашта васеъ истифода шуданд.

Логарифми асосаш e -ро математики англис С п е й д е л дохил кардааст. Соли 1620 вай љадвали логарифмњои натуралии ададњои аз 1 то 1000-ро чоп карда буд. Љадвали ба таври кофї пурраи логарифмњои натуралї танњо соли 1770 пайдо шудаанд.

Љадвалњои логарифмии Непер зањмати њисоббарорро хеле сабук карда бошанд њам, онњо мукаммал набуданд. Бинобар ин вай њамроњи дўст ва њамкори худ Г. Б р и г г с (1561-1630) ба тартиб додани љадвали логарифмњои дањї машѓул шуд. Баъди фавти

120