487_Algebra_11

Непер, Бриггс соли 1624 љадвали логарифмњои дањии чорраќамаро нашр кард, ки логарифмњои ададњои бутуни аз 1 то 2000-ро дарбар мегарифт.

Зањмати чандинсолаи математикњои забардаст бењуда нарафт. Онњо кори њисоббароронро њазорњо маротиба осон намуда буданд. Бояд гуфт, ки њаљми кори њисоббарорї мањз дар асри XVII њангоми њалли масъалањои гуногуни ба амалия алоќаманд, дар навбати аввал масъалањои амалии илми нуљум (аз љумла, муайян кардани мавќеи киштињо аз рўи ситорањо ва Офтоб) хеле афзуда буд. Кашф карда шудани логарифмњо, ки зарб ва таќсими ададњоро ба љамъ ва тарњи логарифмњои онњо меоваранд, ба гуфти Л а п л а с (1749-1827) умри њисоббароронро дароз кард.

Љадвали логарифмњо ва хаткашаки логарифмї, ки онро В. О у т р е д (1574-1660) ихтиро карда буд, зиёда аз 350 сол њамчун олати боэътимоди њисоббарорињои таќрибї хизмат карданд ва ба сатњи баланди инкишофи илм ва прогресси техникї расидани инсоният кўмак расониданд. Вале пайдоиши компютерњо, ки онњо суръати њисоббарориро миллионњо маротиба зиёд кардаанд, махсусан пас аз ихтирои микрокалкуляторњо, њоло амалан љадвалњои логарифмї ќимати худро њамчун олати њисоббарорї гум кардаанд.

Логарифмњои натуралї (табиї) на танњо ањамияти амалї, балки ањамияти назарявї доштанд ва њоло њам доранд. Дертар маълум шуд, ки ќаторњоро истифода карда бо сањењии дилхоњ ќимати таќрибии бузургињои гуногунро ёфтан мумкин аст. Инчунин нишон

	1	n
дода шуд, ки дуаъзогии дараљагї 1		, ки ба сифати асоси
	n
логарифми натуралї гирифта мешавад,	њангоми n ба адади

муайян майл мекунад. Мањз ин адад адади e аст. Бо истифодаи ќатори ададї нишон дода шуд, ки e 2,718281183... аст. Л а м б е

р т (1728-1777) соли 1766 аз вобастагии байни функсияи нишондињандагї ва функсияњои тригонометрии Л.Эйлер, ки мо рољеъ ба он дар аввали пункт сухан ронда будем, истифода карда исбот намуд, ки ададњои ва e ирратсионалианд.

Ављи инкишофи анализи математикї ба асри XVII рост меояд. Дар ин кор ададњои ва e роли махсусро мебозанд. Диќќати махсус ба ин ададњо зоњир кардани математикњоро бо њамин фањмондан мумкин аст. Ин ададњо дар формулањои гуногун дохил мешаванд. Логарифмњои асосашон e имконият медињанд, ки

121

вобастагињои гуногуни математикиро, ки онњо протсессњои гуногуни табиат ва илмро тавсиф менамоянд, бо воситаи чунин логарифмњо офода шаванд (ниг. ба п.25). Аљаб нест, ки сабаби натуралї, яъне табиї номгузорї кардани ин логарифмњо дар њамин бошад. Истилоњи «логарифмњои натуралї»-ро П. М е н г о л и соли 1659 дохил карда буд. Баъди вай соли 1668 аз ин истилоњ Н. М е р к а т о р (1620-1687) истифода кардааст. Таърифи њозиразамони логарифми натуралиро дар корњои Л. Эйлер дарёфт кардан мумкин аст. Ба

	1	n
шарафи ў ададе, ки ба он 1			њангоми ба беохир майл кардани
	n

n майл мекунад, бо њарфи e ишорат карда шуда, худи ададро ба шарафи Непер «адади неперї» меноманд.

МАШЌЊОИ ИЛОВАГЇ ДОИР БА БОБ

Ба параграфи 3

298. Графики функсияро созед:

а) y 6

x

1

x

в) y 8

x

1

x

;

б) y

;

;

г) y

.

6

8

299. Кадоме аз ин ду адад калон аст:

5

2

3

а) 3

0,4

1

1

3 5 ;

ё

б)

ё

;

3

3

в) 1,4

ё 1,4

;

0,2

0,2 3 ?

7

5

г)

ё

Ба параграфи 4

Муодиларо њал кунед (300-301):

300. а) 16x

1

б) 3x 1 3x 2

36 ;

2

7

;

в) 4x 2 5x 2 ;

г) 72x 3

1

.

49

301. а) 9x 1

3x 2 18 ;

б)

ex

1

6

;

ex

в) 25x 6 5x 5 0 ;

г) 2 4x 5 2x 2 0 .

122

Нобаробарињоро њал намоед (302 - 303):
302.	а)	5x 1 25 ;		б) 62x		1		;
					6
	в)	0,52x 3	1;	г)	0,74x 3		0,49 .
303.	а)	0,22 x2	5 ;	б)	22x2 x		1;
	в)	0,1x 0,12x 0 ;		г)	2x x 0 .
304.	Системаро њал кунед:

2x 2 y 1 ,

а) 4

2x y 1;

32x y 1,

в)

xy 1;

43x 4 y 0,25, б) 4x 2 y 64;

3x 3y 12, г) 3x y 27.

Ба параграфи 5

305. Њисоб кунед:

а) og3 9

б) og0,2125 ;

в) g0,01;

г) og1

.

3

;

7

7

306. Айнияти асосии логарифмро истифода карда, ќимати

ифодаро ёбед:

а) 2

3 og

5

1 1 og3 2

в) 5

1 og

2

1 og

3

2

;

б)

;

5

;

г) 0,1

0 ,1

.

3

307.Аз ифода аз рўи асоси a логарифм гиред (b 0, c 0) :

	а)	9b4 5 c					њангоми	a 3	будан;
	б)		c5				њангоми	a 10	будан;
		3 100b2

0,25					b			a 5
в)							њангоми		будан;
		c3
г)	0,16b2						њангоми	a 0,4	будан.
		c4 c
					123

308. Аз баробарии зерин x -ро ёбед:

а) og7 x og7196 2 og7 2 ;

б) og4 x 2 og4 3 1 og4 49;

2

в) gx 1 3 g4 2 g6 ;

г)

og0,3 x og0,3 9 2 og0,310 .

309.

Графики функсияро созед:

а) y og5 x ;

б)

y og0,5 x .

310.

Соњаи муайянии функсияро ёбед:

а) y og7 (3x 1) ;

б) y og (7 x) ;

в) y og0,4 (9 x2 ) ;

г) y og3 (6 x x2 ) .

311.

Кадоме аз ададњои зерин калон аст:

а) g8 ё

2 g3;

б) og1 3 ё

og1 7 ;

4

4

в)

og3 5

ё og7 4 ;

г) og0,3 2

ё

og5 3 ?

Ба параграфи 6

Муодиларо њал намоед (312-315):

312.

а)

2x 5;

б) 0,3x 1 0,2 ;

в) 4x 1 5x ;

г) 3x 1 6x 2 .

313.

а)

og6 (2x 1) 2 ;

б) n(3x 5) 0 ;

в)

og

(5x 1) 2 ;

г) og3(7x 2) 1.

2

314.

а)

og3

2x 3 og3x 2 0 ;

б) 2 og0,5x og0,5 (2x2 x) ;

в)

og4 (x2 x) 1 og4 5 ;

г) og1 (2x2 3) 2 .

3

315.

а)

ogx 4 2 ;

б)

ogx (6 x2 ) 1;

n

og2 (1,5 2x ) x 1;

x

10 .

в)

г)

x

124

Нобаробариро њал кунед (316-317):

316. а) og1 (x 3) 3 ;

б) g(4x 1) 1;

2

в) n(3x 2) 0;

г) og1 (3x 1) og1 (x 2) .

3

3

317. а)

og3 (12 2x x2 ) 2 ;

б) og2 (x2 x 4) 3 ;

в) g(x 1) gx g2 ;

г) g2x 2 gx 3 .

318. Системаро њал кунед:

x y 7,

2x 2 y 1,

а)

б)

x og

(2y 7) 3;

gx gy 1;

og

2

2

og3(4x y) 2,

3

x

2

y

144,

в)

г)

xy 2;

og

(y x) 2.

2

Ба параграфи 7

319. Њосилаи функсияро ёбед:

а) y 2 3e5 2x ;

б) y 4 74x 1 ;

1

7

г) y 5

3x

в) y

;

.

e2x

320. Барои функсияњои зерин намуди умумии функсияњои ибтидоиро нависед:

а)	y e4x 3e 2x ;	б)	y 3e0,5x ;
в)	y 4x ;	г)	y 0,3x .
321. Њосилаи функсияро њисоб кунед:
а)	y x g 5x ;	б)	y n(sin x) ;
в) y og2 (3x 1) ;		г) y og0,2 (x2 1) .
		125

322. Барои функсияњои зерин њосила ва намуди умумии функсияњои ибтидоиро нависед:

б) y x e ;

1

а) y x5

3

в) y x

;

y x

23

.

;

г)

323. Намуди умумии функсияњои ибтидоии функсияро нависед:

а) y

1

;

б) y

4

;

x 3

x

в) y

1

1

;

г) y

3

.

x 3

2x

2x 1

324. Масоњати фигураи бо хатњои зерин мањдудбударо њисоб

намоед:

а) y 5x , y 0, x 1, x 2;

б) y ex ,

y 0, x 0, x 1;

в) y

1

,

y 0,

x 2,

x 10;

5x

г) y x

,

y 0, x 1.

5

Љ А В О Б Њ О

94. Якум ва чорумаш.

98.

0; 2,5 . 99. а)

9;

б) 1. 100.

4

2 4

2 ;

б) 3

3

3

3

. 101. 2,25.

a

a

a

a

b

a

b

102. а), б)

x y ; в), г)

x y . 103. а), б), г)

a 1; в)

a 1. 105. а)

(1; ) ; б) в)

( ; 0) ; г) ( 5; ) ; д)

( 2; ) ; е)

2; ; ж)

0; ; з)

1; . 106.

а) ymin 0,5 ,

ymax

2 ;

б)

ymin 2 ,

ymax

10 ;

в)

ymin

1

,

5

4

ymax

4 ; г)

ymin

, ymax

0. 107. а) +; б) +; в) -; г) -.

108. а) 2;

6

б) 1;

в) –1;

г) 0.

Н и ш о н д о д. Графики функсияњои

y 3x ва

y 1 x -ро дар як системаи координатавї кашида пайхас мена-

моем, ки абсиссаи нуќтаи буриш x 0 аст; исбот мекунем, ки

126

графикњо дигар нуќтаи буриш надоранд. Барои ин аз хосиятњои мувофиќи функсияњои нишондињандагї ва хаттї истифода мебарем.

Њангоми x 0	будан функсияи y 3x	ќиматњои аз 1 калонро ќабул
мекунад, вале	функсияи y 1 x	мувофиќан ќиматњои аз 1

хурдтарро. (Њангоми x 0 будан функсияњо мувофиќан ќиматњои аз 1 хурд ва аз 1 калонро ќабул менамоянд.) Хулоса, графикњо дар дигар нуќтањо њамдигарро намебуранд. 109. а) 1; б) 2; в) 3; г) 2. 110.

а)

; 2 ;

б)

3; . 111.

а),

б) 0;

(ниг. ба нишондоди машќи

3

7

1

108). 112. а) 9; б)

; в)

; г)

1,6 . 113. а) x y ; б)

;

в)

4

3

x 4

3x 2

a b ; г)

3

x 2. 114. а) якумаш; б)

дуюмаш. 115. а)

;

б)

2

x

1

. 116. а)

n ,

n ;

б)

2

4n , n . 117. а) 5; б) –4; в)

x2

4

3

3,5; г) 4. 118. а) 2; б) –1; в) 2,5; г) –2,25. 119. а) –1,5; б) –2,5; в) 3,5; г)

–5. 120. а) 3; б) 0; в) 2 ; г) 4. 121. а) 0; б) 1; в) 0; г) 2. 122. а) 2; б) 1;

3

1

в) 3; г) . 123. а) 1; б) 1; в) –1; г) 3. 124. а) 4; б) –1; в) 0,5; г) –2. 125.

2

а) 1 ва 3; б) 0; в) 3 ва 4; г) 2. 126. а) 17; б) 0 ва

1

; в) 2; г) 0. 127. x

2

11

калон аст. 128. 1. 129. 3

. 130. 28 ва 20. 131. а) 1; ; б)

5; ; в)

96

; 0 . 132.

3

; 4 ;

г)

а)

2; ;

б)

2; ; в)

; ; г)

2

2

; 0 . 133. а) 0,25; ; б)

3;

; в)

; ; г) ;1 .

134. а)

3

1

1

2

; 3 ; б)

;

3;

; в)

;

4; ;

г)

(0; 2) .

3

5

3

; 1 2; .

135. а) ; 2 ; б)

; 4,5 ;

в) 2; 1 ;

г)

127

	136.					а)						0; ;													б)					2; ;																	в)			2;1 ;						г)				0; .						137.					ymax							1,
	њангоми												x 0 будан. 138. (-3; -5) ва (5; 3). 139. а)																																																		1				; б) –1. 140. 2.
																																																														2
																								5
	141.							cos																				,						tg 2,4 .															142. а)							1.					143.			а) (3;									-1);							б)
																							13
	3				;							1
														; в) (2; -1); г) (0; 1). 144. а) (1; 1); б) (1; 1); в) (5; 3); г) (25;
	14							14
	16) ва (16; 25). 145.																																( 1)n													n ,						n . 146. 200. 147.																				fmin							0
																																								1		6																																	2
	њангоми													x 0 ,														f																њангоми								x 0,5 . 148.																а)		20								;		б)
																														max																																													3
																																							2
		1										1																											x 1; б) 2; 2 . 153. а) 5; -3; 1,5;																															2
																1 . 149.																	а)																																								. б) 3; -
																																																																						3
		2										2
																													1						1																					1																				1
	1; 0,5; 0,4. в) 2; -2;																															;								. 154. а) 3; б) 2; в)																				; г) 3		35					. 155. а)												; б)
																												2							6																					10																			2
																				1																						1										1
																																																																							og416 ;
	25; в) 16;															г)										.		156.											а)							; б)				1;		в)				;		г)			32.	157. а)
																		36
							1																																			81										7					1
	og											;			og								4;						og									1.				б) og									2; og									;	og					1; og								16 . в)
					4 16																																																				2
																				4																4														2						2						2								2
	og					81;								og							1				;				og								3;					og						9 . г)				og				1					; og							1	; og										25 ;
					3													3 3																	3												3							5 125												5		25										5
																																																																1						1										1
	og5 5 .											158. а) 3; б) 3,14; в) 1; г) 14. 159. а) 12; б) 3																																																						;		в)					;		г)						.
																																																																						2									2
																																																														3
														1																																			2
	160. а) 4; б)																						; в) 4; г) 1. 161.																												;	. 162. 16%. 163. 4905. 164.
																																																	7
														16
	( 1)n										n ,																													n .												165.									1.							166.												б)
						6																											3
																																																				б) 1 2 ga gb 3gc .
	0,2 2(1 og2a))																																			og						2b . 167.																															168. а)
																																	7
	3; б)-1;												в) –4;											г) 4. 169. а) 1 a b ;																												б) 1 b ;									в) 3a b ;										г) 2 a .
																																																128

	170. а) 2; б) 4; в) 2; г) –1. 171. а) 6; б)																								3		; в)		1	; г) 2. 172. а) 7,5; б)
																								2				2
		4														1	.							1
	4				в) 3			6 35 ; г)
				;		2												173. а) 3;					б)				; в) 2; г) 2.				174. а) 49;							б) 5;
																4								5
	9																	1													1
	в) 3;				г) 27. 175. а) –3;											б)				; в) –1;			г) 1. 178. 3. 179.											. 181. 1				4 a .
																		2													3
																					3		4;4 ;							0; 9 ;									1
	182.				1	3 .				184. а)							;					; б)						в)						г)	;						.
																					2																		2
									7									1									3;1 ;								2
	185.				а)				;												; ;		б)								в)						;1 ;				г)
																																			3
														5				2
	; 0 1;								. 186. а)												2 n; 2 n ,							n Z ; б)							0; ; в)
																							; 0 .
					2 n;							2 n ,						n Z ; г)										187. а) Дуюмаш калон;
			2						2

б), в), г) якумаш калон; д), е) дуюмаш калон. 188. а), б), г) якумашкалон; д), е) дуюмаш калон. 189. а) Хурд; б) калон; в) хурд; г)

	калон. 190. а) –1; б) 2; в) 0; г) 0. 191. а)				1	; б)		1		; в) 25; г)			1	. 192.
					4		81						2
	а) fmin	1		њангоми x 2 , fmax 2 њангоми						x	1	; б)	fmin 0
	2					5				16
	њангоми x 1			, fmax 2 њангоми x 4 . 193.					. 194. Њ а л.				Њангоми
							2

x 1 будан ќисми чапи нобаробарї манфї буда, ќисми росташ мусбат аст. Бинобар ин вай љой надорад. Њангоми x 2 будан, чи тавре возењ аст, нобаробарї дуруст мебошад. Агар 1 x 2 бошад,

он гоњ нобаробарии мазкур ба нобаробарии 2 x 2(x 1)										ё ба
	4						4
x			баробарќувва аст. Љ а в о б.			1;		2; . 195. 10 ва 20
	3						3
китоб. 196.				x cos x sin x	. 197. 126.	199. а) 2; б) –3; в) 4; г)			1	. 200.
				x2				2
а) 0,4;			б) 0,1. 201. а), б) Дуюмаш калон; в) якумаш калон; г) дуюмаш
				129

				1								1														5
	калон. 202. а)					;		б) 1;			в) 6		; г) .						203.				а)				;		; б) 4; ; в)
				2								4														3
	;	0 ; г) 0; .						204. Н и ш о н д о д.														Аз формулаи гузариш ва
	баробарии 10M e ,									ки	M 0,4343 аст,											истифода мебарем. 205.
	205. 6. 206. 10. 207.									b a . 208.						1							n		,	n Z .					209.				0;		2 .
														2					3			3
	210. а) og8 0,4 ; б)							og0,2 4; в)					og3 7 ;							г) og9e . 211. а) 1 og0,3 2;
	б)		; в)		g6						2 n2																		1			; г) e2 . 213.
		og4 5								; г)				. 212. а) 9; б) 5; в)
				2							5
																													10
														4																							9
	а) 5; б) –3 ва 1; в) 3; г) 4,5. 214. а)																		; б) 10; в) 18; г) 14. 215. а)																				;
														125																							2
																						e 2 ва e ; в)												ва 27; г)
	б) 100 ва 1000; в) 10; г) 2. 216. а) 3 ва 9; б)																																3
				1							32; г) –21. 218. а)											16													1
	0 ва 9. 217. а) 4; б)									; в)														; б) 9; в) 32; г)												ва 4.
				7																		5													2

219. а) 0 ва 2; б) 2; в) 0,1 ва 100; г) 10 ва 100. 220. 2. 221. 25 ab . 222.

				9			. 225. а) 2;							1
36 ва 40 км/соат; 223. 0,003. 224. о ва													; б)			; ;
				4										16
в) 0,6; ; г)	25			2; 11 ; б)							2			2
			; . 226. а)							0;		; в)	8		; ; г)
											3			3
	4
5; . 227. а)	4; ; б) 5; ; в) ; г)						1
									; 4 . 228. а) (0; 1); б) (1;
							4

3); в) (-4; -3) (4;5); г) -3; 2 . 229. а) 1; e ; б) 0; 5 3 53 ; ; в)

0;10			4				10; ;	г) 5		5	; 5 . 230.									7
															а)			2 n;				2 n ,						n Z ;
																			4
																4
б) e; e					3	;		7																1
							в)		n;					n		,	n Z ;		г)								;10	. 231.
								12				12										3
																								10
		2 n , n Z						232. 1. 233. Дар ; 3 афзуда,																дар 3; кам
2
												130