487_Algebra_11

1		3	8	3 og1 8,
2
				2
ay		x		y oga x ,
ac b				c ogab .

Баробарињои мувофиќи њар ду сутун баробарќувваанд: яке

дигареро ба миён меорад ва баръакс. Яъне, 25 32			ва og	32 5
тасдиќи худи њамон як чиз аст.			2
Таърифи логарифм имкон медињад, ки муодилањои намуди
1) ax b ;	2) xa b ;	3) ac x.

ки дар онњо аз рўи ду адади додашуда ёфтани адади сеюм талаб карда мешавад, њал карда шаванд.

М и с о л и 1. Логарифми адади 27-ро аз рўи асоси 9 меёбем.

Бигузор x og9 27 бошад. Мувофиќи таърифи логарифм				9x 27
мебошад, вале 9 32 ва			27 33 . Пас 32x 33 , аз куљо	2x 3 ё
x	3	.
2

М и с о л и 2. Асосеро меёбем, ки логарифми адади 32 аз рўи он ба 10 баробар аст.

Мувофиќи шарт ogx 32 10 . Аз ин љо мувофиќи таърифи

									5		1
			x10 32 . Пас		x 10		10 25		2		2				. Њамин
логарифм						32				10		2		2
тариќ, og				32 10 будааст.
			2
М и с о л и 3. Ададеро меёбем, ки логарифми он аз рўи асоси
64 ба	2		баробар аст.
3

Агар				адади			матлубро									бо	x		ишорат кунем, он гоњ бояд
og64 x					2	шавад. Аз ин љо мувофиќи таърифи логарифми адад
				3
		2					1						1			2	1		2	1
	3			ё x
x 64																				.
							2				3		6
													2					4		16
							643
																	71

Инак, og		1		2	аст.
	64 16
			3

М и с о л и 4. Аз айнияти асосии логарифмї истифода карда ќимати ифодаи 33- og318 -ро њисоб мекунем. Дорем

3- og		18	3	- og		18		33		27
3	3		3	3	3						1,5 .
								3 og318		18

__________________________?_____________________________

1. Таърифи логарифми ададро баён кунед ва онро бо мисолњо шарњ дињед. 2. Кадом намуди муодилањоро бевосита бо истифодаи таърифи логарифми адад њал кардан мумкин аст? 3. Ифодаеро оред, ки њисоби ќимати он айнияти асосии логариф-миро истифода кунад.

________________________________________________________

Дуруст будани баробарињои зеринро санљед (150-152):

	150.		а)			og						16 4 ;																б) og				1				4 ;
										2
																													3 81
			в) og171 0 ;																									г) og4 64 3.
	151.		а)			og1 9 2 ;																						б) og0,2 0,04 2;
										3
			в) og10 0,01 2 ;																									г) og					0,2 2 .
																														5
	152.		а)			og								27					3 ;									б) og	0,3							1		2 ;
										4			64																					0,09
										3											3
			в) og1 8																					;				г) og5						1			3 .
																														125
																2
							4
	153. Логарифми ададро аз рўи асоси a ёбед:
		32 ;			1					2								; 3								;		њангоми a 2 будан;
	а)						;									2									4
					8
								1
	б)	1000			;								;			10 ;									5 100			њангоми a 10 будан;
							10
				1
		9 ;													;	6												њангоми a 3 будан.
	в)					;					3									3
			9
																												72

154. Аз баробарї асоси логарифмро ёбед:

а)

og

x

9 2 ;

б) og

1

3;

x 8

в)

og

1

1

;

г) og

243 37.

x

10

2

x

Адади x -ро ёбед (155-156):

155.

а) og2x 1;

б) og1 x 2 ;

5

в) og4x 2 ;

г) og6 x 2 .

156.

а) og9x 2 ;

б) og

x 0;

3

в) og1 x 1;

г) og1 x 5 .

7

2

157.

Ададро дар намуди логарифми асосаш a нависед:

а)

2;

-2;

1;

0

њангоми a 4 будан;

б)

1;

-1;

0;

4

њангоми a 2 будан;

в)

4;

-1;

1;

2

њангоми a 3 будан;

г) -3;

-2;

2;

1

њангоми a 5 будан.

Аз айнияти асосии логарифмї истифода карда, ифодаро содда кунед (158-160):

158.	а) 1,2 og1, 2 3 ;						б)	og 3,14 ;						в) 2 og21 ;								г) 2,8 og2 ,8 1,4 .
			1 og		3				1 og			3			1				1 og		81 4		2 og			8
159.	а)	4		4		;	б) 10				10		;	в)							;	г) 2			2		.
															8
		3	2 og	2				2	2 og		4				1				2 og	1	2		1		2 og			1	1
																				4								12
160.	а)		3		;		б)			2		;		в)							;	г)					.
															4							12
												73

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

	1			7 x 1	27 .
	161. Нобаробариро њал кунед:
		3

162.Ба мањлули 18 фоизаи намаки вазнаш 2 кг 0,25 кг об рехтанд. Мањлули чандфоизаи намак њосил шуд?

163.Њисоб кунед: 10+11+12+…+98+99.

164.Муодилаи тригонометриро њал кунед:

2cos2 x 5sin x 4 0 .

165. Муодилаи ратсионалиро њал кунед:

x		x 2		8	.
x 2		x 2
				x2 4

15. ХОСИЯТЊОИ ЛОГАРИФМ

Бигузор a адади дилхоњи мусбат ва нобаробари як бошад. Аз таърифм логарифми адад бармеояд, ки:

I. oga1 0 ;	II. ogaa 1.
Шумо аллакай њангоми	иљрои машќњои п. 14 љой доштани ин
баробарињоро барои a -и	мушаххас пайхас кардаед (масалан,

њангоми иљрои машќи 156).

Фарз мекунем, ки x ва y ададњои дилхоњи мусбатанд, p

бошад адади дилхоњи њаќиќї. Нишон медињем, ки баробарињои зерин љой доранд:

III. oga xy oga x oga y .

x

IV. oga y oga x oga y .

V. oga x p p oga x .

Барои исботи хосияти III аз айнияти асосии логарифмї истифода мекунем:

x a oga x ,

y a oga y

Ин баробарињоро аъзо ба аъзо зарб карда њосил мекунем:

74

xy a oga x a oga y a oga x oga y .

Вале мувофиќи айнияти	асосии логарифмї xy a oga (xy) ,	пас
a oga (xy) a oga x oga y . Аз	ин љо, аз рўи хосияти функсияи	ни-
шондињандагї баробарии oga (xy) oga x oga y бармеояд.

Њамин тариќ, логарифми њосили зарб ба суммаи логарифмњои зарбшавандањо баробар аст. Зоњиран фањмост, ки ин хосият барои миќдори дилхоњи зарбшавандањо дуруст аст. Масалан,

oga (xyz) oga x oga y oga z . (x 0,

y 0, z 0)

Акнун исботи хосияти IV–ро меорем. Барои ин боз айнияти асосии логарифмиро истифода мекунем. Мувофиќи он

x

a oga

x

x

a oga x

y

.

Аз тарафи дигар,

a oga x oga y . Аз ин ду

y

y

a oga y

баробарї њосил менамоем:

a oga

x

x

y

a oga x oga y . Яъне

oga

oga x oga y .

y

Инак, логарифми њосили таќсим ба фарќи логарифми сурат ва логарифми махраљ баробар аст.

Барои исботи хосияти V силсилаи баробарињоро, ки онњо аз айнияти асосии логарифмї бармеоянд менависем:

a oga x p a oga x p a p oga x .

Аз ин љо, мувофиќи хосияти функсияи нишондињандагї

oga x p p oga x .

Яъне, логарифми дараља ба њосили зарби нишондињандаи дараља бар логарифми асоси ин дараља баробар аст.

Хосияти I-V–и њосилкардаамон хосиятњои асосии логарифм ном доранд. Онњоро хосиятњои умумї њам мегўянд, чунки онњо аз асос вобаста нестанд (танњо зарур аст, ки a 0 ва a 1 бошад).

Х у л о с а и 1.	Аз хосияти V ва айнияти асосии логарифмї
бармеояд, ки барои њар гуна ададњои a 0 ,					b 0	ва a 1, b 1
айнияти зерин љой дорад:
	а	x	b	x ogb a
Дар њаќиќат, bx ogb a	b ogb ax		ax .
			75

ogb a

Х у л о с а и 2. Агар x , a , b ададњои мусбат бошанд ва a 1, b 1 бошад, он гоњ формулаи

oga x ogb xogb a

љой дорад, ки вай формулаи гузариш аз логарифми як асос ба логарифми асоси дигар ном дорад.

Барои исботи ин формула боз айнияти асосии логарифмї ва хосияти V–и логарифмро истифода мекунем:

ogb x ogb x oga x oga x ogb a

Ќисмњои чап ва рости ин нобаробариро ба таќсим карда

формулаи матлубро њосил менамоем.

Формулаи гузариш имконият медињад, ки аз љадвали пешакї сохташудаи логарифмњои ададњо аз рўи асоси додашудаи b истифода карда, логарифми ададро аз рўи асоси дилхоњи a ёбем. Бо ин маќсад аксар ваќт љадвалњои логарифмњои дањї ё логарифмњои натуралї, ки онњоро дар бештари воситањои таълимии мактабї дарёфт кардан мумкин аст, истифода мешаванд. Агар асоси логарифм ба 10 баробар бошад, онро логарифми дањї меноманд.

Ишорати логарифми дањї g аст, яъне gx og10 x . Бо

логарифми натуралї дар п.17 шинос хоњем шуд.

Формулаи гузариш инчунин барои ёфтани њалли муодилањое, ки дар таркибашон аз рўи асосњои гуногун логарифм доранд, васеъ истифода карда мешавад.

Х у л о с а и 3. Баробарињои зерин љой доранд:

og

q x

1

og

a

x

(q 0) ;

og

a

x

1

.

a

q

ogx a

Дар њаќиќат,

мувофиќи

формулаи гузариш ќисми чапи

формулаи якумро ин тавр навишта метавонем:

og

q x

oga x

oga x

1

oga x .

ogaaq

a

q ogaa q

(Хосиятњои V ва II –ро истифода кардем.) Формулаи дуюм бевосита аз формулаи гузариш њангоми b x будан бармеояд.

Хосиятњои асосии логарифмњо, формулаи гузариш ва формулањои дар ду хулосаи дигар овардашуда њангоми айниятан табдил додани ифодањои дар таркибашон логарифмдошта истифода мешаванд. Масалан, хосияти III имконият медињад, ки ёфтани њосили зарб ба ёфтани логарифми суммаи онњо ва баъд ба ёфтани

76

адад аз рўи логарифми ёфташуда иваз карда шавад. Айнан ба њамин, хосияти V ба дараљабардориро ба зарби дараља бар логарифми адади додашуда, сонї аз рўи логарифм ёфтани натиља меоварад. Яъне, њисоб бо истифодаи логарифмњо аз ду зина иборат аст: логарифмронї ва потенсиронї.

Протсесси њисоби логарифми ифодаро аз рўи асоси дода-шуда логарифмронї ё логарифмгирї ва протсесси аз рўи дода шудани логарифми ифода ёфтани худи ифодаро потенсиронї меноманд. Зоњиран фањмост, ки ин ду протсесс (амалиёт) нисбати њамдигар мувофиќан баръаксанд.

Барои амалан мустањкам кардани маводи дар боло овардашуда чанд мисолро дида мебароем.

М и с о л и 1. Аз рўи асоси 2 аз ифодаи 16a5 3b2 логарифм мегирем.

Хосиятњои III ва V -и логарифмро истифода карда њосил менамоем:

2

2

og2 16a5 3

b2 og2

2a5

b

og216 og

og2b3

16 a5

3

2

4 5 og2a

og2b .

3

g96 g24

М и с о л и 2. Ќимати ифодаи

-ро њисоб мекунем.

g5 g3,2

Аз хосиятњои III, IV ва баъд аз V истифода карда сурат ва махраљро табдил медињем:

g96 g24 g 96 g4 g22 2 g2, 24

g5 g3,2 g(5 3,2) g16 g24 4 g2

Пас	g96 g24		2 g2		1	.
	g5 g3,2		4 g2
				2
М и с о л и 3.		Ќимати ифодаи og38 2 og3 2

меёбем. Хосиятњои III-V –ро истифода мекунем:

.

og3 4,5 -ро

og38 2 og3 2 og3 4,5 og38 og3 22 og3 9 2

77

og	8 og		4 og		9	og		8	og		9	og		2 og		9
				3 2			3 4			3 2					3 2
3		3											3

9

og3 2 og39 2 .2

3

М и с о л и 4. Ќимати ифодаи 37 og2 7 -ро њисоб мекунем.

Формулаи дуюми хулосаи 3-ро истифода карда, дар нишондињандаи дараља ба логарифми асоси 7 мегузарем ва баъд аз рўи айнияти асосии логарифмї меёбем:

3					1		3		1
3 7
			og2 7		7		og2 7		7 og2 7 7 og72 2 .
						3

__________________________?_____________________________

1. Хосиятњои асосии логарифмро як-як номбар кунед. Дурустии онњоро бо мисолњои ададї санљед. 2. Як тарзи истифодаи формулаи гузаришро ќайд намоед. 3. Логарифми дањї гуфта чиро мегўянд? Вай чї тавр ишорат карда мешавад? 4. Моњияти протсессњои логарифмронї ва потенсирониро шарњ дањед. Чаро онњо амалиётњои баръаксанд?

________________________________________________________

166. Аз

ифодањои

зерин,

аз

рўи

асоси

2

логарифм

гиред

( a 0, b 0 ):

0,2

4

4

4a2

5

a2

2

2

5

а) 2a

b ;

в)

8a

b

б)

7

b

3

;

;

г)

6 .

16b

167. Аз рўи асоси 10 логарифм гиред (a 0, b 0, c 0 ):

5

4

10

2

2

4

b5

а) 100

a

4

b

2

c ; б)

;

в) 10

a

b

c

6 ;

г)

.

a2bc3

104 a5

168.Ёбед: а) g1000 ; б) g0,1; в) g0,0001; г) g100 .

169.Маълум, ки og7 2 a ва og7 3 b мебошад. Ифодаро бо воситаи a ва b нависед:

78

а) og7 42;

б) og7 21;

в) og7 24 ;

г) og7 98 .

Њисоб кунед (170-171):

9

170.

а) g4 g25;

б) og

9 og

;

2

2 16

в) og12 2 og12 72 ;

г) g11 g110 .

171.

а)

g2 g32

;

б)

og2125

;

2 g4 g8

og2 25

в) og913 og9 39 ;

г) og0,416 2 g0,410 .

Аз баробарињои зерин x –ро ёбед (172-173):

172. а) og4 x og4 5 og4 2 og4 3 ;

б) og7 x 3 og7 2 2 og7 3 og7 5;

в) og9 x	1			og9	3			2	og9			5	1	og9 2 ;
								3
2												3
г) gx g		1		2 g		2	g			4	.
4					3			9

173.	а) og2 x og4 2 ;														б) og3 x og1			5;
																	3
									1																.
	в) og1 x og2											;			г) og4 x og2 3 og2							2
																					3
									2
			4
Ќимати ифодаро ёбед (174-175):
		og		7											в) 2 og4 9 ;				og3				3
174.	а) 3						б)		9 og3 5 ;
			3	;															г) 7		7 .
	а) og2 og5				8		;								б) og4 og3				;
175.						5										81

в) og1		og3 27 ;	г) og1			og343 7 .
	3			3

176*. Исбот кунед, ки:

79

1

а) og1 5 og5 3 2 ; б) og4 9 og9 4 2 .

3

177*. Исбот кунед, ки агар a 0, b 0, c 0	ва a 1,	b 1,
c 1 бошанд, он гоњ формулаи

a ogbc c ogb a

љой дорад.

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

178. Муодиларо њал кунед: 5 x 2(2x 5) .

179.	1		1	-ро њисоб кунед, агар	x ва x		решањои муодилаи
						2
	x1 x2				1
3x2 2x 6 0 бошанд.
180.	Функсияи y x2 2x 3-ро				тадќиќ		карда графикашро

созед.

181.Ифодаи 1 a0,5 2a0,5 -ро содда кунед.

182.Њисоб кунед: 2cos tg .

64

16.ФУНКСИЯИ ЛОГАРИФМЇ. ХОСИЯТЊО ВА ГРАФИКИ ОН

Дар п.9-10		график ва хосиятњои функсияи нишондињандагии
y ax	оварда шуда буд. Ин функсия вобастагии байни		y -тарафи
чапро	нисбати	таѓйирёбии нишондињандаи дараља x	инъикос

мекунад. Анун вобастагии дараљаро нисбати таѓйирёбии ќимати функсия меомўзем.

80