487_Algebra_11

Агар y ax ( a 0 ва a 1) бошад, он гоњ мувофиќи таърифи логарифм:

x oga y

аст. Ишоратњои аргумент ва функсияро љойиваз карда њосил

мекунем:
	y oga x	(2)
Т а ъ р и ф. Функсияе, ки бо формулаи (2) муайян мешавад
функсияи логарифмии асосаш a меноманд.
Хосияти функсияи логарифмиро як-як дида мебароем.
10. Соњаи муайянии функсияи логарифмї маљмўи ададњои
њаќиќии мусбат R	(0; ) аст.
Дар њаќиќат,	ифодаи oga x барои њар гуна адади	мусбати

њаќиќии x ќимати ягона дорад ва муайян нест, агар x 0 бошад.

20. Соњаи ќиматњои функсия	маљмўи	ададњои њаќиќї
R ( ; ) мебошад.
Ин аз он бармеояд, ки муодилаи	oga x y	барои њар гуна

адади њаќиќии y танњо якто решаи x a y -ро дорост.

30. Азбаски функсия танњо барои ададњои мусбат муайян аст, пас вай на даврї, на љуфт ва на тоќ аст.

40. Функсияи логарифмї ќиматњои хурдтарин ва калонтарин надорад, чунки соњаи ќиматњояш тамоми ададњои њаќиќї мебошад.

50. Нуќтаи буриши графики функсияи логарифмї бо тири абсисса нуќтаи (1;0) аст. Координатањои ин нуќта аз асоси функсия вобастагї надорад, чунки решаи муодилаи oga x 0 барои њар

гуна a 0 ба воњид баробар аст. Нуќтаи нул ба соњаи муайянии функсия тааллуќ надорад, бинобар ин график тири ординатаро намебурад.

60. Агар a 1 бошад, он гоњ ќиматњои функсияи логарифмї дар фосилаи (0; 1) манфї ва дар фосилаи (1; ) мусбат мебошанд.

Њангоми 0 a 1 будан, ќиматњои функсияи логарифмї дар фосилаи (0; 1) мусбат ва дар фосилаи (1; ) манфианд.

Дар њаќиќат, бигузор a 1 ва x 1 мебошанд. Исбот мекунем, ки дар ин њолат ќиматњои функсияи логарифмї мусбат њастанд.

81

y oga x -ро

Баръксашро фарз	мекунем: Бигузор	чунин ќимати x , x 1
вуљуд дошта бошад, ки	oga x y 0. Аз ин љо ва аз хосиятњои
функсияи нишондињандагї бо асоси a 1		бармеояд, ки ay a0 1

аст. Аз тарафи дигар, мувофиќи айнияти асосии логарифмї бояд ay a oga x x шавад. Азбаски x 1 аст, пас ay 1. Зиддиятро њосил кардаем. Ин нишон медињад, ки фарзи кардаамон нодуруст будааст.

Њолатњои a 1 ва x 1; 0 a 1 ва x 1; 0 a 1 ва x 1 айнан њамин тавр муоина карда мешаванд.

70. Функсияи логарифмї дар тамоми соњаи муайяниаш њангоми

a 1 будан меафзояд (афзуншаванда аст) ва њангоми								0 a 1
будан кам мешавад (камшаванда аст).
Дар њаќиќат,	бигузор	0 x1			x2 ва	a 1 буда, y1	oga x1 ,
y2 oga x2 аст. Аз таърифи логарифм бармеояд, ки
ay1 x x			2	a y2 , яъне		ay1 ay2 .
	1
Нобаробарии	мазкур			ва	хосияти	афзуншаванда		будани

функсияи нишондињандагии асосаш a 1-ро истифода карда њосил мекунем:

y1 y2 .

Аз ин љо афзуншавандагии функсияи логарифмї њангоми a 1 будан бармеояд.

Њолати 0 a 1 айнан њамин тавр муоина карда мешавад.

Акнун ба хосиятњои 10 - 70 такя карда функсияи

њангоми a 0 будан (расми 27,	А) ва	њангоми 0 x 1 будан
(расми 27, Б) схемавї месозем.
Агар графикњои функсияњои	y ax	ва y oga x -ро дар як

системаи координатавї схемавї кашем (расми 28), он гоњ пайхас кардан мумкин аст, ки онњо нисбат ба хати рости y x симметрї мебошанд. Ин тасдиќро ќотеъан исбот кардан мумкин аст (исбот аз доираи математикаи мактабї берун аст).

82

у					у
			y oga x					y oga x
в			a 1					0 a 1
о		ав			о			ав
	1			х		1		х
					в
		А).			Расми 27.		Б).
a 1		у				у		0 a 1
		1
						1
		о	1	х		о	1	х
			А).					Б).
					Расми 28.

Акнун титбќи хосиятњои функсияи логарифмиро дар њалли чанд мисол дида мебароем.

М и с о л и 1. Соњаи муайянии функсияи y og4 (2 5x) -ро меёбем.

Соњаи муайянии функсияи логарифмї R (0; ) аст. Бинобар ин функсияи мазкур танњо барои њамон ќиматњои аргументи x муайян мебошад, ки дар онњо 2 5x 0 аст, яъне њангоми x 0,4

будан. Пас фосилаи ( ; 0,4) соњаи муайянии функсия аст.

Мисоли 2. Соњаи муайянии функсияи f (x) og2 (3 2x x2 ) -ро меёбем.

83

Мулоњизањои дар њалли мисоли 1 гузаронидаро такрор намуда, ба хулоса меоем, ки функсияи барои њамон ќиматњои x муайян аст,

ки дар онњо 3 2x x2 0 мебошад. Ин нобаробари-ро њал мекунем.

Решањои	муодилаи 3 2x x2 0 -ро ёфта,			ифодаи	квадратии
3 2x x2 -ро		ба	зарбкунандањо	људо	мекунем:
3 2x x2	(3 x)(1 x) .		Њалли нобаробарии (3 x)(1 x) 0

фосилаи (-3; 1) аст.

Инак, соњаи муайянии функсияи мазкур фосилаи (-3; 1) будааст.

	М и с о л и 3. Соњаи муайянии функсияи f (x) og																					1		3x 1		-ро
																								4x 2
меёбем.																						2
																						3x 1
+											+				Нобаробарии										0 -
																						4x 2
-		1	о						- 1					х
															ро бо методи фосилањо њал
		3							2
	Расми 29.														намуда (расми 29)								ба натиља
															меоем, ки соњаи муайянии
функсия аз якљояшавии фосилањои ( ;																1	)	ва (	1	; ) иборат
			1								1				3			2
аст. Љавоб. ;													; .
			3							2
	М и с о л и		4. Ададњои зеринро муќоиса мекунем: а)																					og4 5 ва
og4 7 ;		б) og1 5 ва og1 7 ;													в) og2 9 ва og315 .
				4							4

а) функсияи логарифмии асосаш аз 1 калон дар тамоми хати рост афзуншаванда мебошад. Азбаски 7>5 аст, пас og4 7 > og4 5

мебошад.

б) дар њолати мазкур асоси логарифм аз 1 хурд аст. Функсияи y og1 x камшаванда аст, пас og1 7 < og1 5 .

4 4 4

в) мебинем, ки 9 > 8 = 23 аст. Аз њамин сабаб og2 9 > og2 23 ё

og2 9 >3 мебошад. Аз тарафи дигар, 15 < 27 = 33, пас og315 <3.

инак, og315 < og2 9 мебошад.

84

____________________________?_____________________________

1. Хосиятњои функсияи логарифмиро як-як номбар намоед. 2. Хосияти 60-и функсияро њангоми 0 a 1 ва x 1 будан исбот намоед. 3. Исботи хосияти 70-ро њангоми 0 a 1 будан оред. 4. Оё функсияи логарифмї каниш дошта метавонад?

__________________________________________________________

183.

Хосиятњои функсияи зеринро номбар кунед ва графикашро

созед:

б) y og1 x ;

г) y og1 x .

а) y og2 x ;

в) y og4 x ;

3

5

Соњаи муайянии функсияро ёбед (184-185):

184.

а) og (3 2x);

б) og4 (16 x2 );

в) og1 (

3);

г) og7 (1 2x).

x

3

185.

а) og

4x 2

;

б) og

(3 2x x2 );

0,8

5x 7

2

в) og

x 1

;

г) og

( x x2 ).

2,5

3

2 3x

186.

а) og1 sin x;

б) og4 (2x

1);

2

в) og1 cos x;

г) g(1 5x ).

4

Ададњоро муќоиса намоед (187-188):

187.

а) og3 5

ва

og3 7 ;

б) og212

ва

og2 15 ;

5

3

3

6

3

8

в) og

ва og

г) og

ва og

.

7

7

0,6 11

8

8

0,6 11

188. а) og212

ва

og5 30 ;

б) og3 2

ва

og4 0,2 ;

в) og3 5

ва

og7 4

г) og310

ва

og7 46 ;

д) og7 3

ва og5 9

е) og11 7

ва

og1319 .

189.

Адади зеринро бо як муќоиса кунед:

а) og 3,1;

б) og6 8,2 ;

в) g2,9;

г) og0,2 0,7 .

85

190. Ќимати ифодаро ёбед:

	а) og (2sin					) og cos							б) og (3				3										3
												;			5					4) og (3 25 3						20					16);
	2	12					2			12				3					3
	в) g tg10 g ctg10													г) og (5 2								6) og (5 6) .
	191. Аз баробарї x -ро ёбед:
	а) og2 x 2 og4 6 og418 ;													б) og3 x og2 6 2 og2 4																		;
																														6
	в) og5 x			1	og		3144 og						3 0,75 ; г) og x 2 og0,15 og0,1 4 .
		2
	192. Ќиматњои хурдтарин ва калонтарини функсияи
														1
	а)	f (x) og1 x -ро дар порчаи																	; 2 ;
														16
							4
	б)	f (x) og2 x -ро дар порчаи 1; 4
	ёбед.

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

193. Муодиларо њал намоед:

2x x2 4 5(2)x x2 4 2 6 .

194*. Нобаробариро њал кунед:

1 2 .

x 1

2 x

195. Миќдори китобњо дар як раф нисбат ба дигараш 2 маротиба кам аст. Агар аз рафи якум 6 китобро гирем ва дар рафи дуюм 8

китоб монем, он гоњ адади китобњо дар рафи якум нисбат ба рафи дуюм 7 бор кам мешавад. Дар њар як раф чанд китоб њаст?

196. Њосилаи функсияи f (x) sin x -ро ёбед. x

197. XKY - хурдтарин каратнокии умумии ададњои 18 ва 14-ро

ёбед.

86

	17. АДАДИ e. ЛОГАРИФМИ НАТУРАЛЇ
	у				y 10x -ро
Расми 30.	10			Функсияи			дида ме-
				бароем. Ин функсия афзуншаванда
				буда, хати каљи яклухт аст (расми 30).
				Аз афзуншавии функсия бармеояд,
				ки агар вай њосила дошта бошад, пас
				њосилаи он	барои њамаи		ќиматњои
y 10x	1			аргумент адади мусбат аст.
							исботаш
	о	1		Фарзияи	зеринро,	ки
			х	оянда (дар п.21) оварда мешавад, бе
				исбот ќабул мекунем: Функсияи 10x
дар њамаи нуќтањои тири ададї њосилаи мусбат дорад. Њосилаи ин

1

функсияро дар нуќтаи x 0 бо

ишорат мекунем.

M

Чи тавре медонем, њосилаи функсияи y f (x) дар нуќтаи x0

ададест, ки ба он нибати

f

f (x0 x) f (x0 )

x

x

њангоми ба нул майл кардани x майл мекунад. Њамин тариќ,

100 x 100

10

x 1

1

њангоми x 0 .

x

x

М

Њисоб карда шудааст, ки ќимати таќрибии адади доимии М

зерин аст: М 0,4343...

Т а ъ р и ф и 1. Адади 10М адади е номида мешавад.

Њамин тариќ, e 10M . Аз ин љо М ge . Исбот карда шудааст,

ки адади e адади ирратсионалї мебошад. Яъне, онро дар намуди

	m		m адади бутун ва
касри дањии даврии беохир ё дар намуди		, ки

n

n -натуралї мебошад, тасвир кардан мумкин нест. Дар њозира бо ёрии компютерњо зиёда аз дуним њазор раќами дањии адади e ёфта шудааст. Аввалин раќамњои ин адад чунинанд:

e 2,718281828459045

87

Њангоми њисоббаробарињо (вобаста ба сањењии зарурии натиља)

e 2,72		ё	e 2,718 ва ё	e 2,7183 ќабул мекунанд.
Функсияи		нишондињандагии		асосаш e -ро, яъне y ex -ро
баъзан экспонента њам мегўянд.
Э з о њ.	Таърифи аниќи адади e чунин аст: e ададест, ки ба он
	1 n		њангоми ба беохир майл кардани n майл мекунад.
ифодаи 1
	n

Исботи ин тасдиќ аз доираи математикаи мактабї берун аст.

Адади e мусбат ва ба 1 баробар нест. Барои њамин логарифмњо аз рўи асоси e муайян мебошанд.

Т а ъ р и ф и 2. Логарифми асосаш e логарифми натуралї

номида мешавад.

Ин логарифм бо n ишорат карда мешавад. Њамин тариќ,

nb neb .

__________________________?_____________________________

1. Фарзияеро, ки аз он истифода карда адади e дохил карда шудааст, номбар кунед. 2. Чї гуна логарифмро натуралї меноманд?

________________________________________________________

198.

Таќрибан њисоб кунед (бо сањењии 10-3):

а) e2 ;

1

;

1

.

б)

;

в)

e

г)

e

e2

199.

Ќимати ифодаро ёбед:

а) ne2 ;

б) ne 3 ;

в) e n4 ;

г) n

1

.

e

200.

Њисоб кунед:

а)

2 n3

n4

;

б)

n8 n4

n3

.

n45 n5

n32

n8 n4

n81 n9

201.

Ададњоро муќоиса кунед:

а) n

1

ва

n

1

;

б) n7 ва

n19 ;

3

2

в) n0,1

ва

1;

г) n11 ва

1.

88

202.	Муодиларо њал кунед:						1
	а) e 2x 1 1;					б) ex2 2x		;
							e
	в) e		2			г) ex3 x 4 1.
		x
				e
203.	Нобаробариро њал кунед:
	а) e3x 5 1;					б) e x 4 1;
	в) e2x ex 2					г) ex 2e x 1.

204*. Нишон дињед, ки логарифми натуралии адад таќрибан 2,3 маротиба аз логарифми дањии њамин адад зиёд аст.

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

205.КТУкалонтарин таќсимкунандаи умумии ададњои 18 ва 12-

ро ёбед.

206.Њисоб кунед: 27 102 27 102 .

					a2 b						2	2b
							a
207. Ифодаро содда кунед:													.
									b
										1
									a
208. Муодилаи cos(1 2x)							1		– ро њал намоед.
					2
209. Њалли нобаробарии зеринро ёбед:
			1			x2 2x
	3 x2
											1.
	7

§6. МУОДИЛА ВА НОБАРОБАРИИ ЛОГАРИФМЇ

18. МУОДИЛАИ ЛОГАРИФМЇ

Муодилаи логарифмї гуфта муодилаеро меноманд, ки он дар тањти аломати логарифм таѓйирёбанда дорад. Муодилаи оддитарини логарифмї муодилаи

oga x b

89

аст. Аз хосиятњои функсияи логарифмї (ниг. ба п. 16) ё бевосита аз таърифи логарифм бармеояд, ки ин муодила барои њар гуна адади њуќиќии b њал дорад ва њаллаш ягона аст. Ин њал бо формулаи

x ab ифода меёбад, яъне бо амали потенсиронї ёфта мешавад. Э з о њ. Дар пунктњои пешина, аниќаш дар пунктњои 14-16 мо

аллакай бо муодилаи оддитарини логарифмї вохўрда будем. Рост, ки бе истифодаи истилоњи муодилаи логарифмї (ниг., масалан, ба машќњои 154-156, 172-173 ва 191, ё ба исботи хосияти 20-и функсияи логарифмї дар п. 16).

Барои њал кардани муодилаи логарифмии нисбатан мураккаб аз рўи хосиятњои логарифм (ниг. ба п.15) табдилотњои айниятї гузаронидан лозим меояд. Ин имконият медињад, ки аз муодилаи мурракаби логарифмї ба муодилаи алгебравии бароямон муќаррарї гузарем. Дар айни њол ин гузариш боиси васеъ шудани со-њаи ќиматњои имконпазири таѓйирёбанда шуда метавонад. Ин васеъшавї ба решањое оварда метавонад, ки баъзеашон решањои муодилаи аввала нестанд. Барои њамин њангоми њалли муодила њатман бояд ё соњаи имконпазири таѓйирёбандаи муодила дар њар ќадами табдилдињї ба эътибор гирифта шавад, ё бо гуза-ронидани санљиш муайян карда шавад, ки решањои ёфташудаи муодилаи муќаррарї решањои муодилаи аввалаанд ё на.

Табдилдињињо имконият медињанд, ки муодилаи аввала ба яке

аз намудњои:
а) oga f (x) b ;	б) oga f (x) oga g(x) .

Оварда шавад. Дар њолати а) маљмўи ќиматњои имконпазири x бо нобаробарии f (x) 0 муайян шуда, муодила дар ин маљмўъ ба

муодилаи f (x) ab баробарќувва аст. Мувофиќан, дар мавриди б)

маљмўи ќиматњои имконпазир бо системаи нобаробарињои f (x) 0

ва g(x) 0 муайян мешавад. Муодила дар маљмўъ ба муодилаи

f (x) g(x) баробарќувва аст.

Дар поён ин гуфтањоро бо њалли муодилањои мушаххас равшан мекунем.

М и с о л и 1. Муодилаи og2 (x 1) og2 (x 1) 3 -ро њал

мекунем. Љамъи логарифмњоро дар ќисми чап дар намуди њосили зарб тасвир карда муодилаи

og2 (x 1)(x 1) 3					ё ин ки	og2 (x2 1) 3
-ро њосил мекунем. Аз		ин љо			мувофиќи таърифи логарифм
x2 1 8.	x 3 ва	x	2	3	решањои	ин муодилаанд. Вале
	1
				90