Дюрация

Дюрация (англ. duration — длительность) — это средневзвешенный срок потока платежей, причем весами являются дисконтированные стоимости платежeй. Дюрация является важнейшей характеристикой потока платежей, определяющая чувствительность его текущей стоимости к изменению процентной ставки. Дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше доля стоимости дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка, тем больше дюрация потока платежей.

Определение, формула расчета и интерпретации

Дюрация - средневзвешенный срок

Дюрация рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:

где

• - i-ый платеж

• - ставка дисконтирования, доходность альтернативного вложения за единицу времени (год, квартал и т.д.).

• — Дисконтированная стоимость i-го платежа;

• — момент времени i-го платежа;

• — количество платежей.

В знаменателе этой формулы находится оценка текущей стоимости денежного потока при данной ставке дисконтирования. Если денежный поток порождается финансовым инструментом, имеющим рыночную (или иную) оценку текущей цены, то в качестве ставки дисконтирования в данном случае используют собственную внутреннюю доходность этого инструмента (для облигаций - доходность к погашению). Эта ставка определяется из равенства

Предполагается, что рынок эффективно определяет необходимую ставку дисконтирования и отражает требуемую доходность инструментов с аналогичным уровнем рисков.

Дюрация - мера процентного риска

Если рассматривать дисконтированную стоимость денежного потока как функцию процентной ставки, то можно показать, что дюрация денежного потока равна взятой с обратным знаком эластичности (логарифмической производной) дисконтированной стоимости денежного потока по процентной ставке (точнее по 1+r), то есть:

Следовательно,

При малых изменениях ставок дифференциалы можно заменить просто изменениями:

Таким образом дюрация позволяет упрощенно оценить степень зависимости рыночной цены инструмента от изменения процентной ставки. Чем больше дюрация инструмента, тем значительнее изменения ее рыночной стоимости при изменении процентных ставок, то есть тем выше процентный риск.

Модифицированная дюрация

Если в приведенном выше приближенном равенстве использовать так называемую модифицированную дюрацию, равную

,

оценка чувствительности к изменению процентной ставки упрощается:

Замечание

При оценке возможного изменения текущей стоимости денежного потока с помощью (модифицированной) дюрации следует учесть приблизительный характер этой оценки. Причем кроме количественной неточности имеется также качественное различие между истинной зависимостью и линеаризированной с помощью дюрации или модифицированной дюрации: одинаковые положительные и отрицательные изменения процентной ставки одинаково по абсолютной величине влияют на изменение цены. В реальности это не так - цена асимметрично изменяется при увеличении и снижении ставок, а именно снижение ставки приводит к большему росту цены, чем снижение цены при повышении ставки на ту же абсолютную величину. С целью уточнения (как количественного, так и качественного) наряду с дюрацией используют также так называемую выпуклость денежного потока, представляющую собой поправку второго порядка. Эта поправка к изменению цены зависит от квадрата изменения ставки (то есть не зависит от знака), поэтому при росте ставок она уменьшает степень снижения цены, предсказываемую дюрацией, а при снижении ставки - увеличивает рост, оцененный по дюрации. Тем самым учитывается и асимметричность и оценка уточняется количественно.

Другой вариант более точной оценки основан на том, что качественная неточность связана не только (и не столько) с линеаризацией, но и с заменой изменений логарифмов на обычные темпы прироста. Если использовать сами логарифмы, то оценки качественно будут более адекватны истинной зависимости (хотя количественная неточность будет также иметь место):

Из этого соотношения выводится следующая более истинная примерная зависимость изменения текущей стоимости:

В этой зависимости асимметричность естественно учтена (такой способ расчета более точный, но несколько менее удобен из-за нелинейности зависимости).

Дополнительная интерпретация

Учитывая последнее вышеприведенное приближенное равенство можно дать дюрации еще одну интерпретацию. Рассмотрим как примерно изменится текущая стоимость потока, если ставка процента уменьшится до нуля ():

Следовательно,

Очевидно, что - суммарная величина денежного потока. Таким образом, дюрацию (при данной ставке) можно интерпретировать также как примерный срок, на который нужно вложить сумму под ставку , чтобы в конце этого срока получить сумму равную суммарной величине денежного потока. Эта интерпретация тем точнее, чем меньше ставка.

Дюрация некоторых потоков платежей

Дюрация аннуитета

Можно показать, что дюрация аннуитета огранченного сроком T равна следующей величине:

Модифицированную дюрацию можно получить разделением на .

Для вечного аннуитета приведенная стоимость равна . Воспользуемся формулой через произодную. Производная этой функции по , очевидно равна . Умножая эту величину на и разделив на , получим окончательно формулу дюрации:

Модифицированная дюрация, очевидно равна в этом случае .

Дюрация облигации

Для бескупонной облигации номиналом со сроком погашения текущая стоиомсть равна

Она же совпадает с дисконтированной стоимостью единственного платежа, поэтому ее дюрация просто равна сроку облигации:

В случае купонной облигации денежный поток состоит из купонных платежей и погашения номинала. При этом погашение номинала может быть частями (амортизация) и купонная ставка может вообще говоря изменяться в течение срока обращения облигации. Если величину купонов обозначить , а гашения номинала , то дюрация облигации будет равна

где - цена облигации (предполагается что в качестве r используется доходность к погашению облигации, поэтому ).

Формула будет иметь точно такой же вид, если вместо величины купонов использовать соответствующие купонные ставки, вместо сумм гашений номинала - доли гашений номинала, а вместо цены облигации в денежном выражении использовать стандартную цену в процентах (долях) от номинала.

При прочих равных условиях, чем чем больше срок погашения и (или) купонная ставка и (или) доходность к погашению, тем больше дюрация облигации. При прочих равных условиях чем чаще выплачивается купон, тем меньше дюрация.

В простейшем случае постоянной купонной ставки и единовременного гашения номинала в конце срока для расчета дюрации можно использовать встроенную в Microsoft Office Excel 2007 функцию ДЛИТ.