Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3Положительное рациональное число

.docx
Скачиваний:
26
Добавлен:
11.04.2015
Размер:
40.25 Кб
Скачать

3Положительное рациональное число. Теорема о существовании несократимого представителя положительного рационального числа.

Определение. Рациональным положительным числом называется смежный класс по эквивалентности равносильных дробей, заданный на множестве рациональных чисел .

Любая дробь из класса равносильных дробей определить единственное положительное рациональное число. Например ,класс равносильных дробей -есть положительное рациональное число а. Любая дробь этого класса называется представлением положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел обозначают через Q.

Несократимая запись рационального числа

Если рассмотреть множество классов п.р.ч.,то не трудно заметить,что среди множества всех представителей какого-либо положительного рационального числа,можно выделить такую дробь числитель и знаменатель которой взаимно-простые числа. Например,это дробиКаждая из них является несократимой записью рационального числа.

Определение. Дробь называеться несократимой ,если числа m и n взаимно-простые.

Определение. Несократимая дробь называется простейшей формой записи рационального числа.

Определение. Рациональное число ,где d(m,n )=1 Л m n,записанное в простейшей форме называется стандартной формой рационального числа.

Теорема.Всякое рациональное положительное число имеет и притом единственного несократимого представителя.

Дано: доказательство проводим в 2 этапа .

1.докажем существование:

Пусть -представитель числа ,то

Возможны два случая:

1) НОД ( m,n)=1

2) НОД ( m,n)1 (

Докажем ,что

По основному свойству дроби :Таким образом ,существует несократимый представитель числа

Докажим единственность методом от противного.Пусть НОД( m,n)=1 и НОД(p.q)=1Проверим делится ли левая часть (*) на n?

Npно НОД( m,n)=1 подставляем в (*)mnk=np

Cокр.на Аналогично проверим,делится ли правая часть (*)на q.

Mqподставим в(*)mq=q1np).

Подставим(***)в (**)1pk=p

m=1pЛ1=1

n=q1Л1=1

p=mkЛ k=1

n=q1Л1 =1

Наше предложение, что сушествует два разных несократимых представителя числа неверно-единственный представитель числа a

4 Положительное рациональное число. Равенство положительных рациональных чисел. Теорема о существовании представителей положительных рациональных чисел с разными значениями

Определение. Рациональным положительным числом называется смежный класс по эквивалентности равносильных дробей, заданный на множестве рациональных чисел .

Любая дробь из класса равносильных дробей определить единственное положительное рациональное число. Например ,класс равносильных дробей -есть положительное рациональное число а. Любая дробь этого класса называется представлением положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел обозначают через Q.

Определение.(Пример. Докажем ,что ,представляем которого являеться дробь меньше числа b,представителем которого является .

Итак, ;по определению отношения «»во множестве Q,имеем:

Теорема. У любых двух положительных рациональных чисел a и b имеються представители с одинаковыми значениями .

Доказательство:

Имеем

Имеется два случая:

1.n=s теорема доказана

2.nнеобходимость доказать, что существует другие дроби ,у которых общий знаменатель и первая –представитель числа а,вторая –представитель числа b.

Рассмотрим дроби: и .

Докажем ,что Л .

По основному свойству дроби:

Л

5Положительное рациональное число. Теорема о существовании представителей положительных рациональных чисел с равными числителями

Определение. Рациональным положительным числом называется смежный класс по эквивалентности равносильных дробей, заданный на множестве рациональных чисел .

Любая дробь из класса равносильных дробей определить единственное положительное рациональное число. Например ,класс равносильных дробей -есть положительное рациональное число а. Любая дробь этого класса называется представлением положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел обозначают через Q.

Теорема. У любых двух положительных рациональных чисел a и b имеются представители с одинаковыми числителями.

Доказательство:

Возможны два случая:

1)m=k

2),необходимость доказать,что существуют другие дроби,у которых общий числитель и первая дробь есть представитель числа а, вторая – представитель числа b.

Рассмотрим дроби: .

Докажем,что .

По основному свойству дроби, имеем