1.1 Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Определитель второго порядка находится как detA=а11*а22-а12*а21

Определитель третьего порядка можно найти:

1) вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца

2) правило треугольников

Свойства определителей:

1) А=(a_ij)_n A’ =(a_ij)_n – транспонированная

detA=detA’

(доказательство примером с а11 а12 а13)

2) При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель не меняет величины, знак меняется на противоположенный.

(доказательство примером с а11 а12 а13)

3) Линейное свойство определителя.

Будем говорить, что некоторая строка (а1, … , аn) если линейная комбинация строк (b1,…,bn), (C1,…,Cn), … , если существует λ, μ, υ,…

такие что, aj=λ*bj+μ*cj+… (j=1, … , n)

Пусть в определителе n-го порядка A некоторая i-ая строка (а1, а12, … ,а1n) является линейной комбинацией двух строк (b1, … ,bn), (C1, … , Cn) :

aij=λbj+μcj (j=1,…,n)

Свойство: detA=λ*detB+μ*detC аналогично для столбцов.

(detB – определитель матрицы, с i-ой строкой (b1, … ,bn)

detC – определитель матрицы с i-ой строкой (С1, …, Сn)

Доказательство очевидно по формуле:

Следствия:

1) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю (доказательство очевидно)

2) Умножение всех элементов стоки (столбца) на постоянный множитель равносильно умножению на этот множитель

3) Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то detA=0

4) Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то detA=0 (из 1 и 2 следствия)

5)Если к элементам некоторой строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольную постоянную, то при этом определитель не изменяется (из 3 свойства). Можно прибавить линейную комбинацию строк (столбцов)

1.2. Свойства определителей. Определители 2-го порядка. Формулы Кра­мера.

Формулы Крамера.

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nXn=b2

…

an1x1+an2x2+…+annXn=Bn

|a11 a12 … a1n|

∆=detA=|a21 a22 … a2n|≠0

|an1 an2 … ann|

|a11x1 a12…a1n| |a11x1 a12x2…a1nxn| |b1 a22 … a1n|

∆*x1= |a21x1 a22…a2n|=|a21x1 a22x2…a2nxn|=|b2 a12 … a2n|= ∆1

|an1x1 an2…ann| |an1x1 an2x2…annxn| |b3 an2 … ann|

Добавим к первому столбцу второй умноженный на х2, третий на х3, n-ый на хn. Получим: |b1 a22 … a1n|

|b2 a12 … a2n|= ∆1

|b3 an2 … ann|

x1=∆1/∆, xj=∆j/∆ - Формула Крамера

аналогично для остальных

Применяются только в случае, когда число переменных совпадает с числом уравнений. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных, для этого необходимо, чтобы detA≠0

Где

1. Если определитель системы , тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

2. Если определитель системы . Если хотя бы один изине равен нулю, тогда система не имеет решений.

3. Если ,  и то одно уравнение есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, имеющая бесконечное множество решений.