ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

Из сказанного выше следует, что одновременно выполняются два неравенства f ′(x) ≥ 0 и f ′(x) ≤ 0 . Это возможно только в том случае, когда

f ′(x) = 0 . Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Как хорошо известно, значение производной в точке равно значению тангенса угла наклона между касательной, проведённой к графику функции в данной точке и положительным направлением оси OX . В условиях теоремы существует точка, принадлежащая интервалу, в которой производная равна нулю и, следовательно, в этой точке касательная параллельна оси OX (рис.2.1).

§2.2. Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема 2.2 (Лагранжа). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b]

идифференцируема в интервале (a,b), то существует точка c,

принадлежащая интервалу (a,b), такая, что выполняется равенство: f (b) − f (a) = f '(c)(b − a ).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) , определённую следующим образом:

	F (x) = f (x)− f (a)	−	f (b) − f (a)	(x − a).
			b − a
	Функция F (x) непрерывна на	отрезке [a,b], и дифференцируема на

интервале (a,b). На концах отрезка функция F (x) принимает равные значения. В самом деле

F(a) = f (a)− f (a)−

f (b)− f (a)

(a − a) = 0,

b − a

F(b) = f (b)− f (a)−

f (b)− f (a)

(b − a) = 0.

b − a

Таким образом, функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы

Ролля. По теореме Ролля для функции

F (x) существует точка c, в которой

′

′

( x) . Очевидно,

F (c) = 0 . Найдём F

f (b)− f (a)

F'(x) = f '(x)−

.

Отсюда

b − a

f (b) − f (a)

F '(c) = f '(c)−

= 0 ,

или

b − a

f (b)− f (a)

f '(c) =

.

(2.3)

b − a

Из соотношения (2.3) и вытекает справедливость теоремы.

81

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Рассмотрим график функции

y = f (x)

B′

на отрезке [a,b]

(рис.2.2). Пусть точка A –

y

C

точка с координатами (a, f (a))

и точка B -

A′

B

точка с координатами (b, f (b)). Проведём

A

секущую AB. Тогда, согласно равенству

(2.3),

касательная

A' B' , проведенная к

a

с

b

x

графику функции в точке С, параллельна

секущей AB. Этот факт и является

Рис.2.2

геометрической

интерпретацией

теоремы

Лагранжа.

Приведем некоторые следствия теоремы Лагранжа, которые будут

использованы в дальнейшем.

Следствие 2.1. Если производная функции равна нулю в каждой точке

некоторого отрезка [a,b] , то функция постоянна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть x – произвольная точка промежутка (a,b] . Согласно

теореме Лагранжа для отрезка [a, x] имеет место равенство:

f (x) − f (a) = f '(c)(x − a).

(2.4)

По условию производная функции

f ′(x) = 0 во всех точках интервала (a,b).

Так как c (a,b), то

f ′(c) = 0. Отсюда и равенства (2.4) имеем

f (x) − f (a) = 0 .

Это и означает, что

f (x) во всех точках x равна значению функции в точке a,

т.е.

f (x) постоянна на отрезке [a,b]. Следствие доказано.

Следствие 2.2. Если две дифференцируемые функции имеют равные

производные на отрезке [a,b], то эти функции отличаются на этом

промежутке не более, чем на постоянное слагаемое.

Доказательство.

По условию

f ′( x) = g ′( x) ,

когда х принадлежит интервалу

(a,b),

т.е.

f ′(x) − g′(x) = ( f (x) − g (x) )′ = 0 .

Таким

образом,

производная

функции

f (x) − g(x)

на отрезке (a,b) равна нулю и, согласно следствия 1 эта

разность равна постоянной величине, т.е.

f (x) − g(x) = const .

Тем

самым

утверждение доказано.

§2.3. Теорема Коши

Некоторые пределы можно вычислять, используя правило Лопиталя. Доказательство правила опирается на теорему Коши. Приведем формулировку и доказательство этой теоремы.

82

Теорема 2.3 (Коши). Если функции f (x) и g ( x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы в интервале (a,b) и, кроме того, производная функции g ( x) во всех точках интервала (a,b) отлична от нуля, то существует точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что имеет место равенство:

f (b)− f (a)			f '(c)
		=		.	(2.5)
g(b)− g(a)			g'(c)

Доказательство. Прежде всего, установим, что g(b) − g(a) ≠ 0 . В самом деле, по

теореме Лагранжа имеет место равенство:
	′	(2.6)
g (b) − g (a) = g (c) (b − a) .
По условию теоремы g ′(c) ≠ 0	и, следовательно, правая часть (2.6), равная
′	т.е. g(b) − g(a) ≠ 0 .	Для доказательства
g (c) (b − a) отлична от нуля,

справедливости равенства (2.5), как и при доказательстве теоремы Лагранжа, введём вспомогательную функцию F (x) , определяемую равенством:

	f (b)− f (a)
F(x) =	f (x)− g(x) g(b)− g(a) .	(2.7)

Функция F (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b). Вычислим значение функции на концах этого отрезка:

F (a) = f (a)− g (a)		f (b) − f (a)		=		f (a) g (b) − f (a) g (a ) − f (b) g (a) + f (a) g (a)			= 0;
		g (b)− g (a)					g (b)− g (a)
F (b) = f (b)− g (b)	f (b) − f (a)		=		f (b)g (b) − f (b) g (a) − f (b)g (b) + f (a)g (b)			= 0.
	g (b)− g (a)
							g (b)− g (a)
Итак, F (a) = F (b) = 0 .			Следовательно,				функция F (x) удовлетворяет

условиям теоремы Ролля, согласно которой найдётся точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что F ′(c) = 0 . Используя равенство (2.7), получаем:

	F '(c) = f '(c)− g'(c)				f (b)− f (a)				= 0 .
					g(b)− g(a)
	Отсюда получаем требуемое равенство					f '(c)
		f (b)− f (a)
				=			.
		g (b)− g (a)				g '(c)

Теорема доказана.

§2.4. Формула Тейлора

Многочлен Тейлора и его нахождение

При вычислении производных, значений функции в точке мы видим, что наиболее просто эти значения вычисляются у многочлена. В силу этого, спрашивается, можно ли заменить функцию многочленом, по крайней мере, в некоторой окрестности заданной точки. Если такая замена возможна, то каким условиям должна удовлетворять функция. Ответы на поставленные вопросы

83

даёт формула Тейлора, которую мы рассмотрим в этом параграфе. Пусть функция f (x) , заданная на отрезке [a,b], имеет в каждой внутренней точке

этого отрезка производную порядка (n +1). Для этой функции найдём многочлен:

Pn (x) = A0 + A1(x − x0 )+…+ An (x − x0 ),		(2.8)
такой, что значение функции f (x) и многочлена	Pn ( x) , а также	все
производные до n –ой включительно функции f (x)	и многочлена Pn ( x) в

точке x0 совпадают. Другими словами выполняются равенства:

f(x0 ) = Pn (x0 ),

f'(x0 ) = Pn' (x0 ),

........................			(2.9)
f (n) (x	) = P(n) (x		).
0	n	0

Используя равенства (2.9), найдём коэффициенты A0, A1, …, An многочлена Pn ( x) , определяемого соотношением (2.8). Из первого равенства

(2.9) получаем:

f ( x0 ) = A0 .

(2.10)

Так как

Pn′(x0 ) =

A0 + A1 (x − x0 ) + A2 (x − x0 )2

+ … + An

(x − x0 )n

′x = x0 =

A1 + 2 A2 (x − x0 ) + … + nAn

(x − x0 )n −1

= A1 ,

x =x0

то из второго равенства (2.9) имеем:

f ′( x0 ) = A1 .

(2.11)

Аналогично получаем:

1

1

A

=

f '' (x

0

),…, A =

f (n )(x

0

).

(2.12)

2

2!

n

n!

Используя равенства (2.10), (2.11), (2.12), многочлен (2.8) можно записать следующим образом:

Pn (x ) = f (x0 ) + (x − x0 ) f ' (x0 ) + (x − x0 )2		f '' (x0 )+… + (x − x0 )n	f (n ) (x0 ) (2.13)
1!	2!	n!
Многочлен, определяемый правой частью равенства (2.13), называют
многочленом Тейлора	для функции f (x) . Значения функции		f (x) и n её
производных в точке x0	равны соответственно значению этого многочлена и его
производными в точке x0.		утверждать равенство f ( x) = Pn ( x) .
Совершенно очевидно, что нельзя
Многочлен Pn ( x) даёт лишь некоторое приближение функции			f (x) . Разность

между функцией и её многочленом Тейлора обозначим rn (x) , т.е.

84

rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) .)

Отсюда получаем:

)+… + (x − x0 )n

f (x ) = f (x

0

)+

x − x0

f ' (x

0

f

(n ) (x

0

)+ r

(x )

.

(2.14)

1!

n!

n

f (x)

Равенство (2.14) называют формулой Тейлора для функции

в точке x0.

При этом rn (x) называют остаточным членом формулы Тейлора. Остаточный

член формулы Тейлора можно записать в нескольких видах. Приведём некоторые из них:

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Докажем предварительно следующее утверждение.

Лемма. Пусть функции ϕ( x) и ψ(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и удовлетворяют следующим условиям:

1) для любого значения x из этой окрестности существует ϕ(n+1) (x) и

ψ(n+1) (x);

2) функции ϕ( x) и ψ(x) в точке x0 равны нулю вместе со всеми своими производными до порядка n включительно, т.е.

ϕ(x	) = ϕ′(x	) = = ϕ(n) (x		) = 0 ,
0	0		0
ψ(x	) = ψ′(x	) = = ψ( n) (x		) = 0 ;
0	0		0
3) для любого значения		x ≠ x0	из	этой окрестности

ψ (x) ≠ 0; ψ( k ) (x ) ≠ 0, k = 1, n +1.

Тогда для любого x из этой принадлежащая интервалу между x и

ϕ(x)

ψ(x)

окрестности существует точка с, x0 , такая, что выполняется равенство

=ϕ( n+1) (c)

ψ( n+1) (c) .

Доказательство. Возьмем произвольное значение х из заданной окрестности. Предположим, что х лежит правее точки x0 , т.е. x > x0 . Применим теорему

Коши к функциям ϕ( x)

и ψ(x) на

отрезке

[x0 , x],

так как по

условию

ϕ( x0 ) = ψ( x0 ) = 0 . Справедливо равенство

ϕ(x)

=

ϕ(x) − ϕ(x0 )

=

ϕ′(c1 )

, где x

< c

< x .

ψ′(c1 )

0

ψ(x)

ψ(x) − ψ(x0 )

1

′

′

( x)

Совершенно аналогично, применяя теорему Коши для функций ϕ (x)

и ψ

на отрезке [x0 ,c1 ], находим

ϕ′(x)

=

ϕ′(x) − ϕ′(x0 )

=

ϕ′′(c2 )

, где x < c

< c < x .

ψ′′(c2 )

ψ′(x)

ψ′(x) − ψ′(x0 )

0

2

1

Повторяя эту процедуру – применяя теорему Коши для функций ϕ′′(x) и

85

ψ′′( x) , ϕ(3) (x) и ψ(3) (x), …, ϕ(n) (x) и ψ(n) (x) на соответствующих отрезках,

окончательно получаем

ϕ′(c1 )

ϕ′′(c2 )

ϕ( n ) (cn )

ϕ( n+1) (c)

ϕ( x)

,

=

=

= … =

=

ψ( x)

ψ′(c1 )

ψ′′(c2 )

ψ( n ) (cn )

ψ( n+1) (c)

где x0 < c < cn

< cn−1 < … < c1 < x .

Учитывая произвольность выбора х, лемма доказана.

Сформулируем и докажем основное утверждение этого пункта.

Теорема 2.4. Если функция

f (x) непрерывно дифференцируема

вплоть

до

порядка n +1 включительно

в некоторой окрестности точки

x0 , то

для

любого х из этой окрестности найдется точка с, принадлежащая интервалу

(x , x), такая, сто имеет место равенство f (x) = P (x) +						f (n+1) (c)	(x − x	)n+1 ,
0					n	(n +1)!	0
т.е.	остаточный				член rn (x) формулы Тейлора	имеет форму
r (x) =		f (n+1) (c)	(x − x		)n+1 , которую называют формой Лагранжа.
n		(n +1)!		0

Доказательство. Пусть х произвольная точка из заданного интервала и пусть

Pn ( x) многочлен Тейлора для функции	f (x) , тогда из (2.14)	следует, что
остаточный член формулы Тейлора для	функции f (x) представим		в виде
rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) .
Из условий (2.9), определяющих многочлен Тейлора, определения			Pn ( x)
(2.13) и равенства (2.14) следует, что
rn (x0 ) = rn′(x0 ) =	= rn(n) (x0 ) = 0		(2.15)
Рассмотрим две функции ϕ( x) = rn ( x) и ψ(x) = (x − x0 )n+1 .		Из (2.15) и

определения функции ψ(x) следует, что эти функции удовлетворяют условиям леммы, поэтому для них выполняется равенство

ϕ( x)	=	r ( x)	=	f ( n+1) (c)
ψ(x)		(x − x0 )n+1		(n +1)! .
		n

Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 2.5.		Если	функция	f (x) непрерывно		дифференцируема	вплоть до
порядка	n +1	включительно		в	некоторой окрестности точки		x0 , то для
любого	х	из	этой		окрестности	справедливо	равенство
f (x) = Pn (x) + o((x − x0 )n ), где					rn (x) = o((x − x0 )n ) называют остаточным

членом в форме Пеано.

86

Доказательство. Согласно утверждению теоремы предыдущего пункта имеет

место равенство

f ( x) = P ( x) + r ( x) , где r (x) =

f (n+1) (c)

(x − x

)n+1 .

n

n

n

(n +1)!

0

Очевидно, lim

r ( x)

= lim

f ( n+1) (c) (x − x0 )n +1

=

f ( n+1)

(c)

lim

(x

− x ) = 0 .

n

x→x0

(x − x0 )n +1

x→x0

(n +1)!(x − x0 )n

(n +1)!

x→x0

0

Отсюда вытекает, что rn (x) = o((x − x0 )n ). Тем самым теорема доказана.

Если x0 = 0, то формула Тейлора (2.14)

принимает вид:

f (x)= f (0)+

f ' (0)

x +

f '' (0)

x2

+…+

f (n )(0)

xn + rn (x)

(2.16)

2!

1!

n!

и называется формулой Маклорена.

Разложение функций по формуле Маклорена

Представление функции формулой Тейлора (Маклорена) назовём разложением функции по формуле Тейлора (Маклорена). Ниже приводятся разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена.

x

x

x2

xn

n

1.

e

=1+

+

+…+

+ o(x

);

1!

2!

n!

x3

x5

m−1

x2m−1

+ o(x

2m

);

2.

sin x = x −

+

−…+ (−1)

3!

5!

(2m −1)!

x2

x4

m x2m

2m+1

3.

cos x =1−

+

−…+ (−1)

+ o(x

);

2!

4!

(2m)!

4.

(1+ x)m =1+ mx +

m(m −1)

x2 +... +

m(m −1)...(m − n +1)

xn + o(xn ).

2!

n!

При

m = −1,

m = 0, 5

, m = −0, 5

получаем частные случаи

1

=1 − x + x2 − x3 + ... + (−1)n xn + o (xn );

1 + x

1

1

+ o (x2 );

=1+

x −

x2

1 + x

2

8

1

=1−

1

x +

3

x2

+ o

(x2 );

2

8

1+ x

x2

x3

n xn+1

+ o(x

n+1

);

5.

ln (1+ x) = x −

+

−... + (−1)

2

3

n +1

6.

tg x = x +

x3

+ o(x4 );

3

m+1 x2m−1

x3

x5

2m

7.

arctg x = x −

+

−... +(

−1)

+ o(x

).

3

5

2m −1

87

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

Рассмотрим формулу Тейлора (Маклорена) (2.16) с остаточным членом в форме Лагранжа, где вместо c будем писать θx , 0 < θ <1. Тогда эта формула будет иметь вид:

f (x) = f (0)+	f ′(0)		+	f ′′(0)	x2	+ ... +	f (n )(0)	xn +	f (n+1)(θx)	xn+1 .(2.17)
	1!			2!
							n!		(n + 1)!

Если в формуле (2.17) отбросить остаточный член, то получится приближенная формула

f (x)≈ f (0)+ f ′(0)x +... + f (n )(0)xn ,

1! n!

заменяющая функцию сложной природы многочленом Тейлора. Погрешность в этой формуле по абсолютной величине равна первому отброшенному члену. В

частности, если производная порядка					(n +1)				функции f (x) ограничена по
абсолютной величине числом M , то
	r (x)			≤		M xn+1			.
						(n +1)!
	n
Например, если f (x) = ex , то приближенная формула здесь имеет вид:
ex ≈1 +		x			+		x2	+ ... +		xn
										n!
1!					2!

и остаточный член rn (x) в этом случае определяется равенством:

	r (x)=	eθx		xn+1 .
		(n +1)!
	n

Таким образом, при x > 0 погрешность оценивается так:

r (x)

< ex

xn+1

.

(n +1)!

n

Для x= 1 имеем:

1

1

1

e =1+

+

+... +

;

rn (1)

< e

1

.

1!

2!

n!

(n

+1)!

Если f (x) = sinx , то

x3

x5

m−1

x2 m−1

sinx ≈ x −

+

−...+ (−1)

.

3

5

(2m −1)!

Остаточный член в этом случае имеет вид:

		θx + (2 m + 1)	π
	sin							x 2 m +1
			2		2 m +1	m
r (x ) =				x		= (− 1)	cos mx
		(2m + 1)!						(2 m	+ 1)!
2 m

и погрешность оценивается легко:

2m+1

r2 m (x) < ( x + ) .

2m 1 !

88

Если взять только один член в разложении, то есть sin x ≈ x , то для того,

	чтобы погрешность была меньше 0.001, достаточно взять	x3	< 0.001,	для
		6

положительного значения х, или x < 0.1817, что соответствует примерно 10 .

	Если использовать два члена формулы, т. е.					sinx ≈ x −	x3	, то для достижения
			x5			6
	той же точности уже достаточно взять				< 0.001 или x < 0, 6544				(≈ 37, 5).
		120

Таким образом, с увеличением числа членов многочлена Тейлора, он с все большей точностью и на большом протяжении воспроизводит исходную функцию.

§2.5. Правило Лопиталя

Мощным инструментом при вычислении пределов и раскрытии

неопределенностей является следующая теорема.

Теорема 2.6 (Правило Лопиталя). Если функции

f (x)

и g ( x) определены в

промежутке

(a,b), lim f (x ) = 0 ,

lim g (x ) = 0

и, кроме

того, пусть в

x→a

x→a

промежутке (a,b) существуют конечные производные

f ′(x)

и g′(x) , причем

g ′( x) ≠ 0

в

окрестности

точки

x = a ,

а

также

существует

предел

lim

f ′(x)

= A . Тогда имеет место равенство lim

f (x)

= A .

g′(x)

x→a

x→a

g (x)

Доказательство. Функции

f (x) и

g (x)

доопределим в

точке x=

a по

непрерывности, положив f (a) = f (b) = 0. Тогда эти функции непрерывны на замкнутом промежутке [a, b]. Применяя теорему Коши, получим:

f (x)	=	f (x) − f (a)	=	f ′(c)	,где a< c< x. Тогда, очевидно, если x→ a, то и
g (x)		g (x)− g (a )		g′(c)

c→ a, поэтому из предыдущего равенства имеем:

	lim	f (x)	= lim	f ′(c)	= A .
		g (x)		g′(c)
	x→a		c→a

Теорема доказана.

Правило Лопиталя сводит предел отношения функций к пределу отношений производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и его можно найти элементарными способами.

Пример 2.1. Вычислить предел: lim	ex −e−x
		.
x→0	ln(e − x)+ x −1

89

Решение. Нетрудно видеть, что lim(ex − e−x )= 0 и	lim(ln(e − x)+ x −1) = 0 , т. е. мы
x→0	x→0

0

имеем неопределенность вида 0 . Можно воспользоваться правилом Лопиталя, согласно

которому искомый предел равен пределу отношения производных. Таким образом, получаем:

e

x

− e

− x

0

(

ex − e− x ′

lim

= lim

)

=

x

→0 ln (e − x ) + x − 1

0

x

→0

(ln

(e − x ) + x −1)′

= lim

ex + e− x

=

1 + 1

=

2e

.

1

1

e

−1

x→0

−

+ 1

1 −

e − x

e

2x − x4

− 3

Пример 2.2. Вычислить предел lim

x

.

x→1

1 − 4 x3

2(1 − 4)

2 − 4x3

−

1

1

Решение. lim

2x − x4 − 3

x

=

0

= lim

2 2x − x4

33

x2

=

2

2 −1

− 33

1

=

16

.

0

9

x→1

1 − 4 x3

x→1

−

3

−

3

4 4

4 4

tg x − x

x

1

Пример 2.3. Вычислить предел lim

.

x→0

x − sin x

tg x − x

0

1

−1

1

1 − cos2 x

Решение. lim

=

= lim

cos2 x

= lim

=

0

cos2

1 − cos x

x→0

x − sin x

x→0

1 − sin x

x→0

x

= lim (1 − cosx)(1 + cosx)

= lim

1 + cosx

= 2 .

cos2 x

x→0

cos2 x(1 − cosx)

x→0

Замечание 1. Иногда правило Лопиталя нужно применять несколько раз. Это необходимо в том случае, когда после применения правила Лопиталя

неопределенность	0		остается. В качестве примера рассмотрим вычисление
0
следующего предела:

lim

ex − e−x − 2x

=

0

= lim (ex − e−x − 2x)′

= lim

ex + e−x − 2

0

=

x→0

x − sin x

0

x→0

(x − sin x)′

x→0

1 − cos x

0

= lim

(ex + e−x − 2)′

= lim

ex − e−x

0

= lim

(ex

− e− x )′

= lim

ex + e−x

= 2 .

(1 − cos x)′

(sin x)′

x→0

x→0

sin x

0

x→0

x→0 cos x

Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять и в том случае, когда аргумент х стремится не к конечному числу, а к бесконечности, т.е. если

lim f (x) = lim g(x) = 0 функции f (x) и		g (x) дифференцируемы на
x→∞	x→∞

промежутке (a, +∞) , то имеет место равенство

90