Калачиков математические основы mu_dsp_2811

Задание на практическую работу

Для выполнения работы можно использовать вычислительный скрипт MATLAB dft.m, находящийся в рабочей папке.

Замените исходный сигнал и выполните следующие задания.

1. Исследование прямого преобразования Фурье. Сигнал представлен N отсчетами во времени (N=2m), m определено в интервале 2–8. Найти спектр сигнала, представленного на интервале периодически восемью отсчетами.

1.1.{ Xk } = (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1);

1.2.{ Xk } = (0; 0.71; 1; 0.71; 0; -0.71; -1; -0.71);

1.3.{ Xk } = (0; 1; 0; -1; 0; 1; 0; -1);

1.4.{ Xk } = (1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

1.5.{ Xk } = (1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0).

Зарисовать временные и спектральные диаграммы с указанием величин отсчетов.

2. Исследование обратного преобразования Фурье. Ввести действительные составляющие спектра X(ώ), полагая, что мнимая составляющая Y(w) = 0.

2.1.{ Xn } = (1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

2.2.{ Xn } = (0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0);

2.3.{ Xn } = (0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0);

2.4.{ Xn } = (1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Ввести мнимую составляющую Y(w), полагая X(w) = 0. 2.5. { Yn } = (0; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Сравнить результаты с предыдущим опытом (п. 2).

3. Исследование применимости теоремы суперпозиции.

Исследование включает в себя проверку равенства спектра отклика линейной системы на сумму воздействий сумме спектров каждого воздействия. Для этого следует выполнить следующие операции:

3.1Найти спектр прямоугольного импульса x(t) { Xk } = (1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0).

Записать действительную Xn, мнимую Yn, составляющие спектра, его модуль Cn и фазу Qn.

3.2Найти спектр треугольного импульса y(t)

{Yk } = (1; 0.75; 0.5; 0.25; 0; 0; 0; 0).

Записать значения Xn, Yn, Cn и Qn.

3.3 Найти сигнал f(t) = x(t) + y(t); { fk } = {Xk}+{Yk}.

3.4Проверить равенство (принцип суперпозиции)

Sf (jw) = Sx(jw) +Sy(jw).

51

4.Исследование свертки двух сигналов.

4.1Рассчитать свертку двух сигналов, используемых в п. 3.

fn = 1/N Xk*Yn-k , n=0...N-1.

4.2Найти спектр свертки Cfn и Qfn.

4.3Проверить выполнение равенства Sf (jw) = Sx (jw) * Sy (jw).

5.Исследование влияния изменения масштаба сигнала на его спектр.

5.1Найти спектр S1(jw) сигнала (последовательность прямоугольных

импульсов) с амплитудой 0.5В и скважностью 4.

5.2Увеличить амплитуду сигнала в два раза и найти его спектр S2(jw).

5.3Проверить выполнение равенства

S2(jw) = 2S1(jw).

52

Практическая работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ ВЕСОВЫХ ОКОН В MATLAB

Цель работы. Изучение основ проектирования и моделирования цифровых фильтров в среде Matlab, пакеты sptool и fdatool. Проведение экспериментального исследования процесса фильтрации сигналов.

Вопросы для подготовки к практической работе

1 В чем заключается синтез НЦФ методом весовых функций?

2 Каковы основные этапы синтеза НЦФ методом весовых функций? 3 Как находится ИХ НЦФ при синтезе методом весовых функций?

4 От чего зависит порядок (длина ИХ) НЦФ, синтезируемого методом весовых функций?

5 Приведите выражение для ИХ hd(n), соответствующей заданной (идеальной) частотной характеристике (ЧХ) Hd(jw). Почему коэффициенты hd(n) разложения заданной ЧХ Hd(jw) в ряд Фурье не могут быть использованы в качестве коэффициентов синтезируемого НЦФ?

6 Как производится усечение ИХ, соответствующей заданной ЧХ Hd(jw)? Как проявляется усечение на качестве аппроксимации заданной ЧХ Hd(jw)?

7 К чему приводит усечение ряда Фурье (ИХ hd(n)) с помощью весовых функций конечной длины?

8 Как выражается ЧХ синтезируемого фильтра через ЧХ весовой функции и заданную ЧХ?

9 Как связаны параметры ЧХ фильтра с параметрами весовой функции? 10 Какой математический алгоритм обработки реализуют НЦФ?

11 Как вычисляются отсчеты выходного сигнала НЦФ в соответствии с алгоритмом ДВС?

Описание практической работы

Лабораторная работа реализована на персональном компьютере с программным обеспечением MATLAB с применением пакета Signal Processing, в котором имеется программа FDATool (Filter Design and Analysis), реализующая графический интерфейс для расчета фильтров и просмотра их характеристик.

Запуск системы

Для запуска программных пакетов SPTool и FDATool нужно предварительно запустить систему MATLAB. На командной строке системы MATLAB с одним командным окном необходимо набрать имя программы

>>fdatool >>sptool

53

Проведение работы

Для изучения фильтрации цифровым фильтром необходимо выполнить проектирование фильтра по заданным требованиям. Результат проектирования – отсчеты импульсной характеристики фильтра.

Далее необходимо получить реализацию сигнала, который будет подан на вход цифрового фильтра. В Matlab это может быть выполнено простыми командами:

Fs=1e4; Ts=1/Fs; t=[0:Ts:0.5];

F1 = …; F2 = …; randn('state',0);

x=sin(2*pi*F1*t)+cos(2*pi*F2*t);

Результат расчетов – вектор отсчетов сигнала х – сумма двух гармонических сигналов с частотами F1 и F2 Герц с добавленными отсчетами нормального шума. Отсчеты сигнала вычислены с частотой дискретизации 10 кГц.

Далее запустите пакеты sptool и fdatool.

Пакет sptool позволяет выполнять формирование и обработку различных сигналов во временной и спектральной областях. Вектор отсчетов сигнала х может быть импортирован в sptool:

Во вкладке меню File/Import выбрать Import to SPTool, в котором вы-

бираются x и Fs в SPTool. Выбрать х в рабочей области Workspace, нажмите верхнюю правую стрелку и назовите сигнал sig1. Далее необходимо добавить значение частоты дискретизации Fs. Нажмите ОК.

В окне Signals можно выбрать сигнал sig1 и нажать на View. В открывшемся окне отображается временная диаграмма сигнала.

Далее выполняется расчет цифрового полосового фильтра. Параметры фильтра выбрать так, чтобы выполнить фильтрацию входного сигнала – выходной сигнал должен содержать только составляющую с частотой F2. Для этого откройте fdatool и наберите следующие параметры:

f p1 = ….kHz, f p2 = ….kHz fs1 = ….kHz, fs2 = ….kHz

частота дискретизации Fs= 10 кГц. Порядок фильтра N. Неравномерность 1 дБ.

Нажать на кнопку Design Filter для расчета фильтра filt1. Можно импортировать уже рассчитанный фильтр.

Следующим шагом является применение рассчитанного фильтра к сигналу, т. е. непосредственно фильтрация.

Выберите исходный сигнал sig1 в списке сигналов. Далее выбирается рассчитанный фильтр filt1. Нажмите кнопку ”применить” и назовите сигнал на выходе фильтра sig2.

При помощи программы sptool выполняется сравнение входного и выходного сигналов фильтра в частотной области.

В окне SPtool signals выбрать исходный сигнал sig1. В окне Spectra создать диаграмму spectr1 и открыть окно просмотра спектра.

54

Нажмите Применить (Apply) для вычисления спектра сигнала sig1. Выполните аналогичные действия для сигнала на выходе фильтра sig2.

Получите спектр выходного сигнала. Сравните временные диаграммы sig1 и sig2.

При необходимости, измените параметры цифрового фильтра и проведите вычисления выходного сигнала.

Результаты выполнения работы оформите в виде временных и спектральных диаграмм входных и выходных сигналов цифрового фильтра. Укажите параметры фильтра.

55

Практическая работа № 6

ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОСКОРОСТНЫХ ФИЛЬТРОВ

Цель работы. Изучение основ проектирования и моделирования цифровых фильтров, применяемых в системах многоскоростной обработки сигналов. Практическое применение среды Matlab, пакетов sptool и fdatool. Изучение спектральных характеристик при преобразованиях. Проведение экспериментального исследования процесса фильтрации сигналов.

Вопросы для подготовки к лабораторной работе

1Многоскоростные системы ЦОС.

2Децимация. Фильтры при децимации.

3Интерполяция. Фильтры при интерполяции.

4Преобразование частоты дискретизации в дробное число раз. Требования

кфильтрам.

Описание работы

Практическая работа реализована на персональном компьютере с программным обеспечением MATLAB с применением пакета Signal Processing, в котором имеется программа FDATool (Filter Design and Analysis), реализующая графический интерфейс для расчета фильтров и просмотра их характеристик.

Запуск системы

Для запуска программных пакетов SPTool и FDATool нужно предварительно запустить систему MATLAB. На командной строке системы MATLAB с одним командным окном необходимо набрать имя программы

>>fdatool >>sptool

Порядок выполнения работы Выполнить операцию преобразования частоты дискретизации для

входного сигнала. Входной сигнал состоит из суммы двух гармонических составляющих с частотами F1 и F2. Получить реализацию сигнала на длительности 1 сек.

Определить параметры цифрового ФНЧ фильтра-интерполятора и филь- тра-дециматора для предотвращения наложения спектральных составляющих при интерполяции и децимации (определить порядок фильтра и границы полос). Выбрать фильтр, отвечающий требованиям, как интерполяции, так и децимации. Метод расчета – весовых окон или частотной выборки. Подавление в полосе задерживания – 50 дБ. Порядок интерполяции l и децимации m.

Расчет, построение временных и спектральных диаграмм в точках преобразований можно выполнять при помощи пакетов Matlab fdatool и sptool.

Интерполяция и децимация с соответствующей фильтрацией выполняется при помощи команды y = upfirdn(x,h,l,m), где y – выходной сигнал, х – входной, h – вектор отсчетов импульсной реакции фильтра, l – коэффициент интерполя-

56

ции, m – коэффициент децимации. При интерполяции коэффициент децимации m выбирается равным 1, аналогично при децимации коэффициент интерполяции l выбирается равным 1.

Привести результаты проектирования

Структурная схема преобразования частоты дискретизации.

Параметры цифровых фильтров интерполяции и децимации, общего фильтра.

Отрезок входного сигнала. Спектр входного сигнала.

Спектр сигнала после интерполяции. АЧХ, ФЧХ и ИР рассчитанного фильтра.

Отрезок выходного сигнала после децимации. Спектр сигнала после децимации.

57

4 Приложение 1

Задание на контрольную работу по дисциплине МоЦОС 3 курс МРМ.

ЗАДАЧА 1

Выполнить дискретизацию радиосигнала S(t) методом полосовой дискретизации.

Параметры радиосигнала – частота несущего колебания fc N МГц.

N – номер группы.

Полоса частот радиосигнала, B, МГц, выбирается в соответствии с вариантом

№	1	2	3	4	5
B, МГц	12	8	10.6	6	14.4
№	6	7	8	9	10
B, МГц	9.8	11	15.2	17	20
№	11	12	13	14	15
B, МГц	16	14.5	22	12.8	10
№	16	17	18	19	20
B, МГц	12.6	16.2	14.2	6.6	8.4
№	21	22	23	24	25
B, МГц	12.8	18.8	16.6	10.4	12.2

1.Определить диапазон целочисленных значений коэффициента k.

2.Определить диапазоны возможных частот дискретизации.

3.Построить спектральные диаграммы дискретизированного сигнала для полученных значений k и частот дискретизации. Обозначить на спектре положение частоты дискретизации и пронумеровать соответствующие полосы дискретизации для всех k.

58

ЗАДАЧА 2

Задание на выполнение контрольной работы. Вычисление ДПФ.

1.	Получите	последовательность отсчетов	периодического сигнала
s(t) cos(2 ft) ,		f=M (гр) +n (журн), Гц, (T – период сигнала) с интерва-
лом дискретизации Td T / 16 длительностью			Ts N Td . Количество от-

счетов N выберите из условия получения периодичных дискретных отсчетов. Приведите графическое изображение дискретных отсчетов s(n).

2.Вычислите ДПФ (команда fft ) по дискретным отсчетам s(n) для

длительности сигнала Ts T 2 , Ts T 2.5, Ts T 4 , Ts T 4.5, Ts T 8 , Ts T 8.5 . Изобразите односторонний и двусторонний спектры (команда

fftshift).

3.

Для

дискретных

отсчетов

сигнала

из

части 2 при

Ts T 8 ,

Ts

T 8.5

вычислить

ДПФ

с

применением

взвешивающих

оконных

функций w(n):

1 окно Ханна

w(n)

1

1 cos

2 n

, n=0,1,2…N-1;

2

N

1

2 окно Хэмминга

2

w(n) 0.54 0.46 cos

n

N

1

, n=0,1,2..N-1;

3 окно Блэкмана

2

4

w(n)

0.42 0.5 cos

n

0.08 cos

n , n=0,1,2..N-1.

1

N 1

N

Привести временные диаграммы отсчетов сигнала и диаграммы ДПФ – модуль спектра и фазовый спектр. Сравнить спектр ДПФ с результатом 2 задачи, сделать выводы.

4.	Получите дискретный сигнал s n A1 cos 2 f1tn A2 cos 2 f2tn
для	tn n Td , n=0..N-1.

Частота f1 = из первой части, f2 = f1+ (20…50) Гц. N = 128, отношение амплитуд сигналов – 8-20.

4.1 Вычислить ДПФ данной суммы сигналов. Постройте график модуля

ДПФ.

4.2Дополните отсчеты сигнала нулевыми значениями до 1024 и вычислите ДПФ дополненного нулями сигнала. Постройте график модуля ДПФ.

4.3Выполните пункт 4.2, применив весовое окно. Постройте график модуля ДПФ.

По каждому пункту сделайте выводы.

59

ЗАДАЧА 3

Задание на проектирование цифрового фильтра со строго линейной ФЧХ:

1.По заданному варианту выполнить проектирование ЦФ в среде Matlab. Применить два метода – метод весовых окон и метод частотной выборки. Выполнить предварительный расчет по оценке порядка фильтра. Используйте команды fir1 и fir2. Для вывода результатов удобно использовать команду freqz.

2.Привести результаты проектирования в виде графиков ИР, АЧХ, ФЧХ при условии невыполнения требований к фильтру и при выполнении требований. Порядок фильтра выбирается минимально необходимым для снижений вычислительной сложности при реализации.

3.Получите сигнал, состоящий из суммы двух гармонических колебаний с частотами, находящимися в полосе пропускания и задерживания. Изобразите спектр суммы сигналов (задача 2).

Примените рассчитанный фильтр к входному сигналу (функция filter), получите выходной сигнал и постройте его спектр.

4.Привести текст программы расчета фильтра с комментариями.

		Затухание	Частотные		Ширина	Частота
Номер	Тип	в полосе	характеристики		переходной	дискретиза-
варианта	фильтра	задерживания,	F1, Гц	F2, Гц	полосы	ции
		А, дБ			f, Гц	fд, Гц
1	2	3	4	5	6	7
1	фнч	40	1200		600	7200
2	фвч	40	2400		900	9600
3	пф	40	600	1800	500	4800
4	фвч	70	5000		4500	18000
5	пф	33	1200	1800	450	4800
6	фвч	45	3000		900	8000
7	фнч	55	350		200	1200
8	фвч	53	2400		1500	9600
9	фнч	60	2400		2400	14000
10	пф	36	600	1200	450	4800
11	фнч	80	5800		4800	19200
12	фнч	77	5000		3600	14400
13	фвч	75	4500		3700	15500
14	пф	44	1200	2500	860	7200
16	фвч	56	2000		1500	9000
17	фнч	65	4800		3200	16000
18	фвч	70	3400		3100	14400
19	фнч	65	2600		1800	9600
20	фнч	57	1500		750	5000
21	фнч	45	800		260	2400
			60