zads

	стр. 1 из 11
Содержание
Задача 3................................................................................................................................................	1
Задача 4................................................................................................................................................	4
Задача 7................................................................................................................................................	4
Задача 14..............................................................................................................................................	6
Задача 16..............................................................................................................................................	7
Задача 18..............................................................................................................................................	9

Задача 3

На входе фильтра, согласованного с дискретным сигналом вида 1,-1,1,-1,1 имеющим амплитуду 1 вольт и общую длительность 5 мкс, действует сигнал и белый шум со спектральной плотностью G( f )=1мкВт /Гц . Изобразить временную диаграмму заданного сигнала и определить отношение сигнал/шум на выходе.

Рис. 1: Временная диаграмма исходного сигнала

Импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отражением временной диаграммы сигнала (относительно вертикальной оси), сдвинутой вправо на длительность сигнала.

В данном случае из-за симметрии импульсная характеристика выглядит точно так же, как временная диаграмма сигнала.

Определим отклик фильтра: Шаг 1

Сигнал	1	-1	1	-1	1									Сумма
Фильтр					1	-1	1	-1	1
Произв					1									1

стр. 2 из 11

Шаг 2

Сигнал		1	-1	1	-1	1								Сумма
Фильтр					1	-1	1	-1	1
Произв					-1	-1								-2

Шаг 3

Сигнал			1	-1	1	-1	1							Сумма
Фильтр					1	-1	1	-1	1
Произв					1	1	1							3

Шаг 4

Сигнал				1	-1	1	-1	1						Сумма
Фильтр					1	-1	1	-1	1
Произв					-1	-1	-1	-1						-4

Шаг 5

Сигнал					1	-1	1	-1	1					Сумма
Фильтр					1	-1	1	-1	1
Произв					1	1	1	1	1					5

Дальше из-за симметрии сигнала и характеристик отклик фильтра зеркально повторяется. Полный отклик фильтра, совмещённый по времени с изображением входного сигнала:

стр. 3 из 11

Рис. 2: Отклик согласованного фильтра (внизу) на входной сигнал (вверху)

Отношение сигнал/шум на входе фильтра:									h2= Ес / N o	,
где	N o				- спектральная плотность помехи,				Eс= Pс T	. - энергия элемента сигнала, Pс
- мощность сигнала, Т =5мкс/5=1мкс– длительность элемента сигнала.
Принимаем входное сопротивление фильтра R=1 Ом,
тогда:
Pс=			U 2		=	12	−6	Дж
			R			1	=1 Вт , Eс= Pс T =1 10
2			Е с		10−6
h	=			=10−6 =1
		N o
h=1
Отношение сигнал/шум на выходе фильтра:									h=1 5=5 .

стр. 4 из 11

Задача 4

При заданной реализации принимаемого сигнала z(t) апостериорные вероятности передаваемых символов 1 и 0 равны 0,7 и 0,3 соответственно. Какой символ зарегистрирует приёмник, оптимальный по критерию максимального правдоподобия?

Апостериорная вероятность означает, что по принятому значению можно предположить, что с вероятностью 0,7 передавалась единица и с вероятностью 0,3 передавался нуль. Поэтому приёмник по критерию максимального правдоподобия зарегистрирует наиболее правдоподобный ответ («1») из двух альтернатив.

Приёмник имеет лишь две возможности: зарегистрировать 1 или зарегистрировать 0.

Если при приёме заданной реализации принимаемого сигнала z(t) зарегистрировать 1, то решение будет верным в 70% случаев и неверным в 30% случаев. Если зарегистрировать 0, то решение будет неверным в 70% случаев. Критерий максимального правдоподобия минимизирует среднюю вероятность ошибки, поэтому приёмник должен регистрировать 1.

Задача 7

Закодировать сообщения источника с зависимыми сообщениями x1 и x2 для передачи:

-равномерным двоичным кодом;

-оптимальным кодом Шеннона-Фано, объединяя по два элемента

Вычислить производительность источника и избыточность в обоих случаях и сравнить их между собой для следующих исходных данных: p (x1)=0,7 , p (x2)=0,3 ,

вероятности переходов p (x1 x2)=0,4 , p (x2 x1)=0,1 . Полная энтропия источника H (x )=0,57 бит/символ

Определим вероятности появления пар элементов. Задано, что вероятность появления

x1	после x2		равна 0,4.	Соответственно, вероятность непоявления x1 после x2
равна		1−0,4=0,6 . Само		x2	возникает с вероятностью 0,3.
Отсюда		P (x2 x1)=0,4 0,3=0,12			,	P (x2 x2)=0,6 0,3=0,18
Аналогично, вероятность появления						x2 после	x1 равна 0,1 , а вероятность непоявления
x2	после x1		равна 1−0,1=0,9			. Само x1	возникает с вероятностью 0,7
Отсюда		P (x1 x2)=0,1 0,7=0,07			,	P (x1 x1)=0,9 0,7=0,63

Кодирование равномерным кодом:

стр. 5 из 11

x1 x1 →00

x1 x2 →01

x2 x1 →10

x2 x2 →11

Энтропия принимаемого сообщения

H(s)=−∑i p (si)log2 ( p (si))

H(s)=−0,63 log2 0,63−0,07 log2 0,07−0,18 log2 0,18−0,12 log2 0,12=1,5 бит/символ

Производительность источника двоичных сообщений

H ' (s)= T1 H (s)=9600 1,5=14400 бит/с

где T=1/9600 c — интервал времени для передачи элементарного сообщениям Избыточность описывается коэффициентом избыточности

χ=1− H	(s)	=1−1,5 =0,25
	H max		2
где H max=log2 4=2			- максимальная энтропия источника с алфавитом из 4-х символов.
Заметим, что если бы			x1 и x2 были независимыми, то вероятности появления пар были

бы 0,49; 0,21; 0,21; 0,09 с энтропией источникам

H (s)=−0,49log2 0,49−0,21log2 0,21−0,21log2 0,21−0,09log2 0,09=1,767 бит/символ ,

то есть, для передачи независимых сообщений требовалось бы больше бит. Зависимость сообщений уменьшает энтропию сообщения.

Кодирование по методу Шеннона-Фано x1 x1 →0 (p=0,63)

x2 x2	→10	(p=0,18)
x2 x1	→110	(p=0,12)
x1 x2	→111	(p=0,07)

Число элементов кода, приходящееся на одно сообщение

1 0,63+2 0,18+3 0,12+3 0,07=1,56 бит

Таким образом, использование оптимального кодирования уменьшает среднее число элементов в одном сообщении на 2−1,56=0,44 бита

стр. 6 из 11

Задача 14

По каналу связи без памяти передаются двоичные сигналы

a1

и a2

с

вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. Этим символам соответствуют сигналы

s1 (t)

и

s2(t )

с амплитудами 0,02 В. В канале действует гауссовский шум с

дисперсией

σ2=10−4

Вт. Какой символ будет зарегистрирован приёмником,

принимающим решение по однократному отсчёту z(t)=s(t)+n(t) на интервале T и

работающим по правилу: a) идеального наблюдателя; б) максимального правдоподобия.

Значение принятого сигнала в момент принятия решения равно

z (t0)=12 мВ

Пороговое отношение правдоподобия

λ0=

p(s2)

=

0,3

=0,428

p(s1)

0,7

Плотности вероятностей сигнала z(t)=s(t)+n(t) при передаче s1

и

s2

1

−( x)2

w (x/ s1)=

exp(

2σ2 )

√

2 π

w (x / s2)=

1

exp(

−(x− A)2

)

√

2 σ2

2 π

Отношение правдоподобия

λ=

w (x/ s1)

=exp

A2−2 A x

=exp

0,022

−2 0,02 0,012

=0,67

w (x/ s2)

2 σ2

2 10−4

Поскольку

λ>λ0

, регистрируется сигнал

s1 .

Критерий идеального наблюдателя

если (x−s1)2−2 σ2 ln P(s1)<(x−s2)2−2 σ2 ln P (s2),то s1

В данном случае

(0,012−0)2−2 10−4 0,7=2,153 10−4

(0,012−0,02)2−2 10−4 0,3=3,048 10−4

Таким образом, приёмник на критерии идеального наблюдателя также даст

s1

стр. 7 из 11

Задача 16

Показать, что в каналах связи с неопределённой фазой и флуктуационной помехой типа белого шума максимальную помехоустойчивость имеет система связи с активной паузой и ортогональными сигналами. Вычислить вероятность ошибки для двоичной системы связи с параметрами: полоса пропускания канала связи 2 кГц, спектральная плотность

мощности шума G( f )=10−11 Вт/ Гц , коэффициент передачи канала связи 10−8 ,

мощность передаваемого сигнала Pc=10 Вт

. Определить энергетический проигрыш,

связанный с незнанием фазы сигнала.

В системах с пассивной паузой один из сигналов (

s2 ) равен нулю. Энергия сигнала

EЭ=∫ s12 dt=E1

Отсюда отношение амплитуд сигнала и помехи

√

E1

=√

E1

h0

=

2 N 0

2 N 0

√

2

В системах с активной паузой передаются оба сигнала. Энергия

EЭ =∫(s1−s2)2 dt=∫ s12 dt−2∫s1 s2 dt+∫ s22 dt=E1−2 s1 s2+ E2

Корреляция между сигналами уменьшает сумму. Максимальный выигрыш достигается при отрицательной корреляции, но для этого фаза должна быть предопределённой. Если фаза неопределённая, то минимальное значение корреляционной функции — нуль. В частности, равна нулю корреляция двух белых шумов. Сигналы, для которых корреляционная функция равна нулю, являются ортогональными.

Отношение амплитуд сигнала и помехи для ортогональных сигналов

√	E1+E2	=√	2 E1	=h0
	2 N 0		2 N 0

Для приёмника:

средняя вероятность ошибки при приёме ДФМ

	p	ош	=	1 exp	E
					N 0
				2

где E/N0 — отношение спектральной мощности сигнала к мощности помехи

Мощность в точке приёма P=Pc 10−8=10 10−8=10−7 Вт Энергия сигнала E=P / F =10−7/ 2000=5 10−11 Дж Тогда вероятность ошибки

p	ош	=	1 exp−	E		=	1 exp	−5 10−11	=0,00337
				N
			2		0		2	10−11

стр. 8 из 11

При когерентном приёме уровень ошибки

Pош=Q(√

) где Q( x)=

1

∫∞x exp(

−t2

)dt

2 E

N 0

√

2

2

π

Подстановка E=P / F =10−7/ 2000=5 10−11 Дж даёт

pош=Q(√

))=7,83 10−4

(10

Для получения прежней вероятности ошибки должно быть

2 E =7,34

N 0

Отсюда E=7,34 /2=3,67 10−11 Дж

Знание фазы позволяет получить ту же самую вероятность ошибки при 5/3,67=1,36 раза меньшей мощности сигнала

стр. 9 из 11

Задача 18

Сигнал на входе оптимального фильтра имеет вид дискретной последовательности 1,1,-1,-1,-1,1,-1. Найти и изобразить на рисунке форму сигнала на выходе фильтра.

Сигнал	1	1	-1	-1	-1	1	-1													Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							-1													-1
Сигнал		1	1	-1	-1	-1	1	-1												Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							1	-1												0
Сигнал			1	1	-1	-1	-1	1	-1											Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							-1	1	1											1
Сигнал				1	1	-1	-1	-1	1	-1										Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							-1	-1	-1	1										-2
Сигнал					1	1	-1	-1	-1	1	-1									Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							-1	-1	1	-1	1									-1
Сигнал						1	1	-1	-1	-1	1	-1								Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							1	-1	1	1	-1	-1								0
Сигнал							1	1	-1	-1	-1	1	-1							Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв							1	1	1	1	1	1	1							7

																			стр. 10 из 11
Сигнал								1	1	-1	-1	-1	1	-1							Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв								1	-1	1	1	-1	-1								0
Сигнал									1	1	-1	-1	-1	1	-1						Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв									-1	-1	1	1	1								1
Сигнал										1	1	-1	-1	-1	1	-1					Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв										-1	-1	-1	1								-2
Сигнал											1	1	-1	-1	-1	1	-1				Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв											-1	1	1								1
Сигнал												1	1	-1	-1	-1	1	-1			Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв												1	-1								0
Сигнал													1	1	-1	-1	-1	1		-1	Сумма
Фильтр							1	1	-1	-1	-1	1	-1
Произв													-1								-1