Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2 курс 1 часть / теория вероятности / методичка / Теория вероятностей. ч.2 Случайные величины, уч. пособие.doc
Скачиваний:
346
Добавлен:
11.04.2015
Размер:
1.3 Mб
Скачать

Оглавление

Предисловие 4

Определение и классификация случайных величин 5

Закон распределения дискретной случайной величины 6

8

Функция распределения случайной величины и ее свойства 8

Плотность вероятности 13

Функция от случайной величины 17

Понятие о системе случайных величин. Сумма и произведение случайных величин 20

Числовые характеристики случайных величин 27

Математическое ожидание случайных величин 28

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Ковариация и коэффициент корреляции 40

40

Мода и медиана случайных величин 53

Некоторые важные законы распределения случайных величин 55

Биномиальный закон распределения 55

Распределение Пуассона 57

Равномерное распределение 60

Нормальное распределение 63

Закон больших чисел 69

Предисловие

Данное пособие включает в себя вторую часть курса теории вероятностей и посвящена случайным величинам. В рамках дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» издано учебное пособие, состоящее из трех частей. Первая часть, посвященная случайным событиям, была выпущена в 2005 году. Третья часть пособия выходит одновременно с настоящей второй частью и содержит основные понятия и приложения математической статистики. Характерной чертой данного пособия является, на наш взгляд, попытка неформального изложения материала, стремление сделать изложение максимально доступным для понимания. Оно должно помочь читателю как разобраться в отдельных темах (быть может, не до конца понятых во время лекций), так и достичь хорошего интуитивного понимания основных понятий и методов теории вероятностей, имеющих широкое практическое применение. Поэтому при изложении упор сделан не на формальную строгость изложения (некоторые доказательства утверждений опущены), а на достижение неформального понимания сути самих утверждений, тонких (а потому часто неусваеваемых) мест теории, на демонстрацию логической естественности и необходимости введения основных понятий. Изложение сопровождается большим количеством примеров, многие из которых содержат подробное решение. В третьей части пособия, кроме изложения основного материала, приводится сборник задач по всему курсу теории вероятностей и математической статистики, примерный список вопросов для подготовки к зачету, список литературы и словарь терминов, в котором при необходимости легко найти определение того или иного встреченного понятия или термина.

Определение и классификация случайных величин

Часто исход случайного эксперимента выражается некоторым числом. Например, эксперимент по подбрасыванию кубика. Результатом эксперимента можно считать число выпавших очков. Если исход опыта не описывается числом, можно «принудительно» приписать каждому исходу некоторое числовое значение. Так, при бросании монеты можно договориться, что «орел» обозначается единицей, а «решка» нулем. А можно просто рассмотреть количество выпавших орлов при подбрасывании монеты. Получим то же самое. Таким образом, каждому (элементарному) исходу эксперимента соответствует некоторое число. Но так как заранее неизвестно, какой элементарный исход реализуется в эксперименте, то заранее и неизвестно, какое число возникнет в результате эксперимента. Введем следующее определение. Случайная величина – это функция (заданная на множестве элементарных исходов случайного эксперимента и переводящая их в некоторое множество чисел), которая в результате испытания принимает числовое значение, заранее неизвестное, зависящее от случайных факторов. Поскольку словосочетание «случайная величина» будет встречаться в тексте достаточно часто, введем для него сокращение «с.в.». Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, … , а ими принимаемые значения строчными буквами: х1, х2, …; у1, у2, …; z1, z2, … (обозначение значений случайной величины соответствует обозначению самой случайной величины). Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные в зависимости от характера множества значений, которые они могут принимать. Если, например, с.в. Х – число очков на кубике, то множество ее возможных значений конечно: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Если же, скажем, с.в. Y – длина выловленной в озере рыбы, то возможные ее значения полностью заполняют некоторый числовой интервал. Конечно, можно переловит всю рыбу в озере, измерить их длины, записать на листке, отпустить рыбу обратно и снова ловить по одной. Тогда с.в. Y будет принимать конечный (хотя и очень большой) набор значений из составленного списка. Но удобнее (и проще!) считать набор возможных значений заполняющим некоторый интервал. С.в. Х называется дискретной случайной величиной (сокращенно «д.с.в.»), если ее возможные значения образуют конечное (или, в крайнем случае, счетное) множество. С.в. Х называется непрерывной случайной величиной (сокращенно «н.с.в»), если ее возможные значения полностью заполняют некоторый числовой интервал (таким образом, множество значений несчетно).

Приведем примеры дискретных случайных величин.

  1. Х – число очков на кубике.

  2. Х – сумма очков на двух подброшенных кубиках.

  3. Х – число дорожных происшествий в городе завтра.

  4. Х – число попаданий в мишень из 10 выстрелов.

  5. Х – число подбрасываний кубика до выпадения шестерки (число возможных значений счетно: {1, 2, 3, 4, ...}).

Приведем примеры непрерывных случайных величин.

  1. Х – длина выловленной в озере рыбы.

  2. Х – координата точки, случайно брошенной на отрезок [0, 1] на числовой оси х.

  3. Х – срок службы лампочки.

  4. Х – размер выточенной детали.

  5. Х – рост случайно встреченного человека.