2 курс 1 часть / отц / экзамен / шпоры / билет 25 / многополюсники и четырехполюсники
.doc7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
7.1. Классификация четырёхполюсников
Значительное место в теории цепей занимает исследование многополюсников с двумя сторонами (2x2-полюсников), которые отечественной литературе называются проходными четырехполюсниками (рис. 7.1). В виде проходных четырехполюсников могут быть представлены различные устройства, имеющие две пары внешних зажимов, служащих для подключения источника энергии и нагрузки. Уравнения электрического равновесия четырёхполюсника формируются и решаются только относительно токов и напряжений на внешних зажимах. Это даёт возможность устранить из рассмотрения участки цепи, токи и напряжения которых не представляют интереса в рамках решаемой задачи, что позволяет существенно сократить число одновременно решаемых уравнений электрического равновесия. Теория четырёхполюсников реализует именно такой подход. Далее будем полагать, что четырёхполюсник находится под действием гармонических токов и напряжений, и токи и напряжения на его зажимах полностью характеризуются их комплексными амплитудами.
Рис. 7.1. Схема четырёхполюсника с выбранными положительными направлениями токов и напряжений
Четырехполюсники подразделяют на
-
линейные и нелинейные (нелинейный четырёхполюсник содержит хотя бы один нелинейный элемент),
-
активные и пассивные (к активным относятся четырёхполюсники, содержащие нескомпенсированные источники энергии)
-
автономные и неавтономные (к автономным относятся четырёхполюсники, содержащие неуправляемые источники энергии),
-
взаимные и невзаимные (взаимные четырёхполюсники отвечают условиям теоремы взаимности)
-
симметричные и несимметричные (у симметричных четырёхполюсников невозможно при помощи внешних измерений установить разницу между зажимами 1-1’ и 2-2'. Достаточное условие симметрии: схема симметрична относительно вертикальной оси),
-
уравновешенные и неуравновешенные ( для уравновешенного четырёхполюсника токи и напряжения во внешней цепи не изменятся, если произвести взаимную замену зажимов 1 и 1’, 2 и 2'. Достаточное условие уравновешенности – симметрия схемы относительно продольной оси).
На рис. 7.2, а) представлен симметричный четырёхполюсник, на рис. 7.2, б) – уравновешенный четырёхполюсник.
Рис. 7.2. Схемы четырёхполюсников
а) – симметричного, б) - уравновешенного
Если один из внешних зажимов четырехполюсника является общим для обеих сторон, то такой четырехполюсник является предельно неуравновешенным (рис. 7.2, а).
7.2. Основные уравнения и первичные параметры неавтономных четырёхполюсников
Основные уравнения четырехполюсников составляются в терминах токов и напряжений внешних по отношению к четырехполюсникам ветвей, подключенных к зажимам 1 - 1`и 2 - 2`. В зависимости от решаемой задачи положительные направления токов этих ветвей можно выбирать различным образом (рис. 7.1).
В связи с тем, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон, зависимость между токами и напряжениями на зажимах проходного четырехполюсника может быть описана с помощью системы из двух независимых основных уравнений. Вид этих уравнений зависит от того, какие величины рассматриваются в качестве независимых переменных, а какие - в качестве зависимых. Учитывая, что число сочетаний из четырех токов и напряжений по два равно шести, приходим к заключению, что основные уравнения проходного четырехполюсника могут быть записаны в шести различных формах.
Форма Y:
(7.1)
Форма Z:
(7.2)
Форма H:
(7.3)
Форма G:
(7.4)
Форма А:
(7.5)
Форма B:
(7.6)
Каждый из параметров имеет физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики проходного четырехполюсника, определяемой в режиме короткого замыкания или холостого хода.
Например, параметр Y11 имеет физический смысл комплексной входной проводимости четырехполюсника со стороны зажимов 1 – 1` в режиме короткого замыкания на зажимах 2 – 2`:
,
а параметр A11 - физический смысл величины, обратной комплексному коэффициенту передачи по напряжению от зажимов 1 – 1` к зажимам 2 – 2` при холостом ходе на зажимах 2 – 2`:
Системы уравнений (7.1) - (7.6) являются равносильными, поэтому коэффициенты уравнений связанны между собой с помощью элементарных алгебраических соотношений. Для определения этих соотношений соответствующие уравнения должны быть разрешены относительно одних и тех же токов и напряжений. Например, разрешая уравнения (7.1) относительно напряжений и , имеем
(7.7)
где - определитель системы уравнений в форме Y. Сравнивая коэффициенты уравнений (7.2) и (7.7), Z-параметры неавтономного проходного четырехполюсника можно выразить через Y-параметры того же четырехполюсника:
(7.8)
Соотношения типа (7.8) называются формулами перехода.
7.3. Определение первичных параметров четырёхполюсников
Первичные параметры проходных четырехполюсников, как и первичные параметры любых неавтономных многополюсников, могут быть определены в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания.
При известной схеме четырёхполюсника матрицы первичных параметров определяются непосредственно из анализа основной системы уравнений.
Пример 7.1. Найдем А-параметры Г-образного четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 7.3, а.
а)
б) в)
Рис. 7.3. К примеру 7.1, а) – схема четырёхполюсника,
б) – схема для определения параметров А11 и А21,
в) – схема для определения параметров А22 и А12
Как следует из основных уравнений четырехполюсника в форме А (7.5), параметры
и
определяются в режиме холостого хода (рис. 7.3, б), а параметры
и
определяются в режиме короткого замыкания на зажимах 2 – 2` (рис. 7.3, в).
Из схем, приведенных на рис. 7.3, б, в, видно, что в режиме холостого хода
,
В режиме короткого замыкания
.
или
А =
Пример 7.2. Найдем А-параметры идеального трансформатора (см рис. 7.4). Токи и напряжения первичной и вторичной обмоток идеального трансформатора связанны соотношениями
(7.9)
представляющими собой не что иное, как основные уравнения трансформатора в форме А. Сравнивая уравнения (7.9) и (7.5), получаем
.
Рис. 7.4. Схема идеального трансформатора