- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Замечание о поиске 2-х производных
III. Производная и исследование функций
§ 6. Основы дифференцирования функций
Производная от функции – это предел, или, что то же самое,. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точкиx) функция меняется быстрее, чем аргумент.
Значение производной в точке – это число, обозначаемое. Производная в общем виде – это новая функция, обозначаемая как. Возможны также обозначенияили, если.
Замечание 1. Значение производной зависит от единиц измерения аргумента и функции. Например, если цену измерять в рублях, скорость изменения спроса будет в 100 раз выше, чем при измерении цены в копейках. Этим производная отличается от таких понятий, как эластичность, темп прироста, относительный прирост, и некоторых других, применяемых в экономических приложениях.
Производные от основных элементарных функций
1) ; 2); 3);
4) ; 5); 6);
7) .
Во 2-й и 3-й формулах и. Полезно запомнить частные случаи:
;
(поскольку).
Производные других функций получают на основе правил дифференцирования.
Основные правила дифференцирования (в сокращённой записи):
1) ; 2)для любого;
3) ; 4).
Производная сложной функции. Если даны функции и, то производная сложной функции, определённой как, обладает свойствоми находится обычно по этой формуле.
На основе этого правила получается
Обобщённая таблица основных производных
1) ; 2); 3);
4) ; 5); 6);
7) ,
а также частные случаи, аналогичные приведённым выше.
Как следствия из основных свойств получаются производные
;
.
Правила дифференцирования отражают объективные свойства функций и помогают найти производную наиболее простым образом. Любая попытка «исправить правило» (например, решить, что ) приведёт к противоречию.
ОД1. Даны функция , точкаи приращение аргумента. Найдитеи– значения функции в точкахи, приращение функциии отношение.
Замечание 2. При решении примеров с чётными номерами (2, 4, 6, 8 и 10) воспользуйтесь результатами примеров 1, 3, 5, 7, 9 соответственно.
1) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
2) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
3) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
4) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
5) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
6) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
7) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
8) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
9) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е);
10) ;
а) ; б); в);
г) ; д); е).
Замечание 3. В примерах 9 и 10 число 2 добавлено во избежание деления на 0 в примере 10. На величину в примере 9 оно не влияет.
Пример 1а. Пусть ,, тогда
а) ; б);
в) ; г);
д) (значение точное).
Пусть теперь , но по-прежнему, тогда
а) ; б);
в) ; г);
д)
(обратите внимание на применение знаков точного и приближённого равенства).
Пример 1б. Пусть ,, тогда
а) ; б);
в) ; г);
д) .
Пусть теперь при тех жеи:
а) ; б);
в) ; г);
д) .
ОД2. Найдите производные от суммы, разности, произведения и частного функций и, а также производные от их линейных комбинацийи:
1) , при этом
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з);
2) , при этом
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з);
3) , при этом
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 2. Пусть и даны функции
а) ; б); в).
Найдём – эта производная понадобится во всех трёх случаях;
а) для пары идополнительно находим, тогда
;;
;
;
;
.
Обратите внимание, что и(по таблице производных). Полученные выше результаты совпадают с табличными;
б) для пары инаходим, тогда
;;
;
;
;
;
в) для пары инаходим, тогда
;;
;
;
;
.
ОД3. Найдите производную функции , применив правило:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 3. Напомним, что :
а) пусть , тогда;
б) пусть , тогда;
в) пусть , тогда.
ОД3а. Для функций из задания ОД3 составьте функцию, представьтекаки найдите производную по правилу.
Пример 3а. Пусть даны функции
а) ; б); в); г).
Учтём, что :
а) если , то, тогда;
б) если , то, тогда;
в) если , тои;
г) если , тои.
ОД4. Найдите производную функции , зная производнуюдля функциии применив правило дифференцирования:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Таким же образом найдите производные для функций задания ОД3 и сравните с уже известными результатами.
Пример 4. Пусть даны функции
а) ; б); в);
а) если , то, при этоми
;
б) если , то, при этоми
;
в) если , то, при этоми
.
Заметим, что , что совпадает с полученной выше производной. Также
.
Проще и надёжнее искать производные от степенной функции, а не от дроби.
ОД5. Найдите производную функции , если:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 5. Воспользуемся указанным выше правилом:
а) пусть , тогда;
б) пусть , тогда;
в) пусть , тогда.
Заметьте, что по свойствам логарифма и по свойствам производной также будет
и .
ОД6. Найдите производную функции по правилу:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 6. По правилу дифференцирования показательной функции:
а) пусть , тогда
;
б) пусть , тогда;
в) пусть , тогда.
ОД7. Применяя свойство логарифма и правило, где– любое число, продифференцируйте функцию:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 7. По правилу дифференцирования логарифма некоторой функции
а) если , то, поэтому;
б) если , то, и;
в) если , то, поэтому
.
ОД8. Представив функции как квадраты, т.е. считая, что, где– некоторая более простая функция, найдите производные функцийпо правилу дифференцирования:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з).
Пример 8. По правилу дифференцирования квадрата некоторой функции
а) если , то;
б) если , то
;
в) если , то.
ОД9. Представив функции как, где– более простая функция, а– некоторый показатель степени (число), найдите производные функцийпо правилу дифференцирования:
а) ; б); в); г);
д) ; е); ж); з);
и) ; к); л); м).
Пример 9. Найдём производные функций, возведённых в степень:
а) пусть , тогда
;
б) пусть , или, тогда
;
в) если , или, то
.
ОД10. Задание то же, что в ОД9, но число – дробное:
а) ; б); в);
г) ; д); е);
ж) ; з); и);
к) ; л); м).
Пример 10. Продифференцируем функции, стоящие под знаком корня:
а) пусть , т.е., тогда
;
б) пусть , т.е., тогда
;
в) если , т.е., то
.