Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВМ Лекции1_Изаак.doc
Скачиваний:
180
Добавлен:
11.04.2015
Размер:
3.87 Mб
Скачать

86

Введение………………………………………………………………...

4

Глава 1. Погрешности………………………………………………….

5

Лекция 1. Математические модели и численные методы………..

5

Устойчивость, корректность, сходимость……………..………….

7

Лекция 2. Абсолютная и относительная погрешности…………..

10

Погрешность суммы и разности приближенных чисел………….

15

Лекция 3. Погрешность произведения и частного

приближенных чисел……………………………………………….

16

Погрешность возведения в степень и извлечения корня из

приближенных чисел………………………………………………

17

Оценка погрешности результата вычислений по формуле……....

17

Лекция 4. О вычитании «близких чисел»…………………….…...

20

Обратная задача теории приближенных вычислений……………

21

О вычислениях без строгого учета погрешностей……………….

22

Глава 2. Численные методы решения уравнений………………….....

24

Лекция 5. Постановка задачи………………………………………

24

Метод половинного деления……………………………………….

26

Лекция 6. Понятие метрического пространства…………………..

27

Теоретическое обоснование метода простых итераций………….

29

Лекция 7. Метод простых итераций……………………………….

33

Лекция 8. Метод Ньютона………………………………………….

36

Оценка погрешности метода Ньютона…………………………….

38

Глава 3. Численные методы решения систем уравнений……………

42

Лекция 9. Постановка задачи………………………………………

42

Метод Гаусса с выбором главного элемента……………………...

43

Лекция 10. Метод прогонки решения систем алгебраических

уравнений с трехдиагональной матрицей…………………………

46

Достаточные условия применимости метода прогонки………….

48

Итерационные методы. Метод простых итераций………………..

49

Лекция 11. Метод Зейделя………………………………………….

51

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений……….

53

Глава 4. Аппроксимация функций…………………………………….

55

Лекция 12. Понятие об аппроксимации функций………………...

55

Вычисление значений многочленов……………………………….

56

Интерполирование функции многочленом………………………..

57

Лекция 13. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа….

60

Остаточный член интерполирования……………………………...

61

Лекция 14. Минимизация оценки погрешности интерполяции.

Многочлены Чебышева…………………………………………….

64

Локальная интерполяция. Сплайны……………………………….

67

Лекция 15. Линейная интерполяция………………………………

68

Квадратичная интерполяция………………………………………

69

Интерполяция кубическими сплайнами…………………………..

69

Обратная интерполяция с помощью многочлена Лагранжа……..

73

Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов…….

73

Глава 5. Численное интегрирование…………………………………..

77

Лекция 16. Определение определенного интеграла………………

77

Формулы прямоугольников………………………………………..

78

Формула трапеций………………………………………………….

79

Формула Симпсона…………………………………………………

80

Оценка погрешности квадратурных формул……………………..

82

Лекция 17. Правило Рунге практической оценки погрешности…

84

Понятие об адаптивных алгоритмах………………………………

86

Особые случаи численного интегрирования……………………...

87

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов…………………..

88

Литература……………………………………………………………...

91

Введение.

Современные электронно-вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Данный курс лекций предназначен в первую очередь для студентов дневного отделения технических вузов, изучающих вычислительную математику в объеме 34 часа лекций и 17 часов лабораторных работ, но также может быть интересен и студентам заочного отделения. Автором были рассмотрены следующие разделы вычислительной математики:

Раздел №1 Погрешности.

Раздел №2 Численные методы решения уравнений.

Раздел №3 Численные методы решения систем уравнений.

Раздел №4 Аппроксимация функций.

Раздел №5 Численное интегрирование.

Автор выражает благодарность Жумабековой К.М. и Шакалову А.Н. за помощь в создании этого курса лекций.

Глава 1.

Погрешности.

Лекция 1.

«Математические модели и численные методы.

Устойчивость, корректность, сходимость.»

Математические модели и численные методы.

Научные исследования предполагают выделение наиболее существенных черт в изучаемом явлении. Часто выделение таких черт позволяет перейти к более простому объекту, который правильно отражает основные закономерности явления и дает возможность получать о нем новую информацию. Такой объект и называется моделью.

Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.

При построении математических моделей получают некоторые математические соотношения (как правило, уравнения).

Примеры.

  1. Уравнения ,описывают свободное падение тела, которое находилось на высотеи стало двигаться с начальной скоростью.

  2. В гидродинамике известна модель на основе уравнений в частных производных Навье-Стокса, описывающая движение вязкой сжимаемой жидкости.

Имеются математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины и так далее.

С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. А это, в свою очередь, часто достигается средствами вычислительной математики, так как аналитическое решение задачи не всегда бывает возможно.

Вычислительная математика – дисциплина, изучающая численные (приближенные) методы решения математических задач.

Численные методы разрабатываются высококвалифицированными специалистами-математиками. Что касается подавляющей части студентов, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей применения.

Что же такое численные методы? Под численными методами подразумевается методы решения задач, сводящиеся к арифметическим действиям над числами, то есть к тем действиям, которые выполняют ЭВМ.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, то есть содержит некоторую погрешность. Источниками погрешностей приближенного решения являются:

  1. Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению (неадекватность математической модели).

  2. Погрешность исходных данных (входных параметров).

  3. Погрешность метода решения.

  4. Погрешности округлений в арифметике и других действиях над числами.

Погрешность в решении, вызванная первыми двумя источниками, называется неустранимой. Она может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно.

Численные методы, в большинстве случаев, сами по себе являются приближенными, то есть даже при отсутствии погрешностей во входных данных и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Это происходит потому, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая, заменяющая) исходную задачу.