- •Введение.
- •Глава 1.
- •Устойчивость, корректность, сходимость.
- •Лекция 2.
- •«Абсолютная и относительная погрешности.
- •Погрешность суммы и разности приближенных чисел.»
- •Абсолютная и относительная погрешности.
- •Погрешность суммы и разности приближенных чисел.
- •Лекция 3.
- •Погрешность возведения в степень и извлечения корня из приближенных чисел.
- •Оценка погрешности результата вычислений по формуле.
- •Лекция 4.
- •Обратная задача теории приближенных вычислений.
- •О вычислениях без строгого учета погрешностей.
- •Глава 2.
- •Метод половинного деления.
- •Лекция 6.
- •«Понятие метрического пространства.
- •Теоретическое обоснование метода простых итераций.»
- •Понятие метрического пространства.
- •Теоретическое обоснование метода простых итераций.
- •Лекция 7. «Метод простых итераций.» Метод простых итераций.
- •Var x1,x2:real;
- •Оценка погрешности метода Ньютона.
- •Глава 3.
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента.
- •Лекция 10.
- •Достаточные условия применимости метода прогонки.
- •Итерационные методы. Метод простых итераций.
- •Лекция 11.
- •«Метод Зейделя.
- •Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.»
- •Метод Зейделя.
- •Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
- •Глава 4.
- •Вычисление значений многочленов.
- •Интерполирование функции многочленом.
- •Лекция 13.
- •«Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
- •Остаточный член интерполирования.»
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
- •Остаточный член интерполирования.
- •Лекция 14.
- •Локальная интерполяция. Сплайны.
- •Лекция 15.
- •Квадратичная интерполяция.
- •Интерполяция кубическими сплайнами.
- •Обратная интерполяция с помощью многочлена Лагранжа.
- •Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.
- •Глава 5.
- •Формулы прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Формула Симпсона.
- •Оценка погрешности квадратурных формул.
- •Лекция 17.
- •Понятие об адаптивных алгоритмах.
- •Особые случаи численного интегрирования.
- •Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.
- •Используемая литература.
- •Рекомендуемая литература
- •Дополнительная литература
Введение………………………………………………………………... |
4 |
Глава 1. Погрешности…………………………………………………. |
5 |
Лекция 1. Математические модели и численные методы……….. |
5 |
Устойчивость, корректность, сходимость……………..…………. |
7 |
Лекция 2. Абсолютная и относительная погрешности………….. |
10 |
Погрешность суммы и разности приближенных чисел…………. |
15 |
Лекция 3. Погрешность произведения и частного приближенных чисел………………………………………………. |
16 |
Погрешность возведения в степень и извлечения корня из приближенных чисел……………………………………………… |
17 |
Оценка погрешности результата вычислений по формуле…….... |
17 |
Лекция 4. О вычитании «близких чисел»…………………….…... |
20 |
Обратная задача теории приближенных вычислений…………… |
21 |
О вычислениях без строгого учета погрешностей………………. |
22 |
Глава 2. Численные методы решения уравнений…………………..... |
24 |
Лекция 5. Постановка задачи……………………………………… |
24 |
Метод половинного деления………………………………………. |
26 |
Лекция 6. Понятие метрического пространства………………….. |
27 |
Теоретическое обоснование метода простых итераций…………. |
29 |
Лекция 7. Метод простых итераций………………………………. |
33 |
Лекция 8. Метод Ньютона…………………………………………. |
36 |
Оценка погрешности метода Ньютона……………………………. |
38 |
Глава 3. Численные методы решения систем уравнений…………… |
42 |
Лекция 9. Постановка задачи……………………………………… |
42 |
Метод Гаусса с выбором главного элемента……………………... |
43 |
Лекция 10. Метод прогонки решения систем алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей………………………… |
46 |
Достаточные условия применимости метода прогонки…………. |
48 |
Итерационные методы. Метод простых итераций……………….. |
49 |
Лекция 11. Метод Зейделя…………………………………………. |
51 |
Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений………. |
53 |
Глава 4. Аппроксимация функций……………………………………. |
55 |
Лекция 12. Понятие об аппроксимации функций………………... |
55 |
Вычисление значений многочленов………………………………. |
56 |
Интерполирование функции многочленом……………………….. |
57 |
Лекция 13. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа…. |
60 |
Остаточный член интерполирования……………………………... |
61 |
Лекция 14. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева……………………………………………. |
64 |
Локальная интерполяция. Сплайны………………………………. |
67 |
Лекция 15. Линейная интерполяция……………………………… |
68 |
Квадратичная интерполяция……………………………………… |
69 |
Интерполяция кубическими сплайнами………………………….. |
69 |
Обратная интерполяция с помощью многочлена Лагранжа…….. |
73 |
Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов……. |
73 |
Глава 5. Численное интегрирование………………………………….. |
77 |
Лекция 16. Определение определенного интеграла……………… |
77 |
Формулы прямоугольников……………………………………….. |
78 |
Формула трапеций…………………………………………………. |
79 |
Формула Симпсона………………………………………………… |
80 |
Оценка погрешности квадратурных формул…………………….. |
82 |
Лекция 17. Правило Рунге практической оценки погрешности… |
84 |
Понятие об адаптивных алгоритмах……………………………… |
86 |
Особые случаи численного интегрирования……………………... |
87 |
Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов………………….. |
88 |
Литература……………………………………………………………... |
91 |
Введение.
Современные электронно-вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.
Данный курс лекций предназначен в первую очередь для студентов дневного отделения технических вузов, изучающих вычислительную математику в объеме 34 часа лекций и 17 часов лабораторных работ, но также может быть интересен и студентам заочного отделения. Автором были рассмотрены следующие разделы вычислительной математики:
Раздел №1 Погрешности.
Раздел №2 Численные методы решения уравнений.
Раздел №3 Численные методы решения систем уравнений.
Раздел №4 Аппроксимация функций.
Раздел №5 Численное интегрирование.
Автор выражает благодарность Жумабековой К.М. и Шакалову А.Н. за помощь в создании этого курса лекций.
Глава 1.
Погрешности.
Лекция 1.
«Математические модели и численные методы.
Устойчивость, корректность, сходимость.»
Математические модели и численные методы.
Научные исследования предполагают выделение наиболее существенных черт в изучаемом явлении. Часто выделение таких черт позволяет перейти к более простому объекту, который правильно отражает основные закономерности явления и дает возможность получать о нем новую информацию. Такой объект и называется моделью.
Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.
При построении математических моделей получают некоторые математические соотношения (как правило, уравнения).
Примеры.
Уравнения ,описывают свободное падение тела, которое находилось на высотеи стало двигаться с начальной скоростью.
В гидродинамике известна модель на основе уравнений в частных производных Навье-Стокса, описывающая движение вязкой сжимаемой жидкости.
Имеются математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины и так далее.
С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. А это, в свою очередь, часто достигается средствами вычислительной математики, так как аналитическое решение задачи не всегда бывает возможно.
Вычислительная математика – дисциплина, изучающая численные (приближенные) методы решения математических задач.
Численные методы разрабатываются высококвалифицированными специалистами-математиками. Что касается подавляющей части студентов, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей применения.
Что же такое численные методы? Под численными методами подразумевается методы решения задач, сводящиеся к арифметическим действиям над числами, то есть к тем действиям, которые выполняют ЭВМ.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, то есть содержит некоторую погрешность. Источниками погрешностей приближенного решения являются:
Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению (неадекватность математической модели).
Погрешность исходных данных (входных параметров).
Погрешность метода решения.
Погрешности округлений в арифметике и других действиях над числами.
Погрешность в решении, вызванная первыми двумя источниками, называется неустранимой. Она может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно.
Численные методы, в большинстве случаев, сами по себе являются приближенными, то есть даже при отсутствии погрешностей во входных данных и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Это происходит потому, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая, заменяющая) исходную задачу.