МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ОРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Е.П. ВИНОГРАДОВА

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Оренбург

2008

УДК 510

ББК 21.131 + 74.58

В 49

Научный редактор:

Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике Орского гуманитарно-технологического института (филиал) ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет».

Рецензенты:

Мендыгалиева А.К., кандидат педагогических наук, доцент ГОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»;

Швецова Р.Ф., кандидат педагогических наук, доцент ГОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет».

В

В 49

иноградова, Е.П.

Системы счисления. Отношение делимости: учебно-методическое пособие / Е.П. Виноградова. – Оренбург: ГУ «РЦРО», 2008. – 73 с.

ISBN 978-5-91442-018-2

Данное методическое пособие посвящено рассмотрению различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел, операций над ними, а также вопросов, связанных с величинами и их измерениями.

Пособие адресовано студентам факультета педагогики и методики начального образования и призвано оказать им помощь в организации самостоятельной работы по предмету, в проверке полученных знаний.

УДК 510

ББК 22.131 + 74.58

ISBN 978-5-91442-018-2

© Е.П. Виноградова, 2008 г.

Введение

Дать студентам факультета педагогики и методики начального образования подготовку, необходимую для успешного обучения математике младших школьников, – назначение данного курса математики.

Основным стержнем начального курса математики являются целые неотрицательные числа и действия над ними, величины и их измерение, понятие текстовой задачи и методов ее решения. Поэтому центральное место в курсе математики на факультете педагогики и методики начального образования занимает изучение различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел, операций над ними, законов этих операций, а также вопросов, связанных с величинами и их измерениями.

Число в начальном курсе математики рассматривается с различных позиций (порядковое, количественное, мера величины, результат вычислений). В курсе математики дается обоснование этих подходов. Существующие в настоящее время трактовки понятия числа и величины требуют от студентов овладения рядом общих понятий математики, таких как «множество», «отношение», «функция» и другие.

Овладеть курсом математики, приобрести необходимые умения и навыки можно лишь в процессе решения задач. Поэтому понятию «текстовая задача», ее структуре, различным способам ее решения арифметическим методом отводится особое место в процессе математической подготовки учителей начальных классов.

Данное методическое пособие призвано оказать помощь студентам факультета педагогики и методики начального образования в организации самостоятельной работы по предмету, в проверке полученных знаний. Оно является продолжением пособий по математике, изданных ранее:

«Множества, элементы комбинаторики», «Математические понятия, математические предложения, математические доказательства, алгоритмы», «Элементы алгебры», «Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел», «Расширение понятия числа», «Текстовые задачи и методы их решения», «Величины и их измерение», «Математика: решения, программы самостоятельной работы», «Комбинаторные задачи и способы их решения».

Учебно-методическое пособие «Системы счисления. Отношение делимости» представлено темами «Позиционные и непозиционные системы счисления», «Основы теории делимости». К каждой теме предложен комплект проверочных работ.

Тема 1. Системы счисления Лекция 1. Позиционные и непозиционные системы счисления План

1. Краткие исторические сведения о системах счисления.

2. Запись чисел в позиционных системах счисления.

Содержание

1. С древнейших времен, одновременно с возникновением понятия числа, возникла необходимость в названии и записи чисел. Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними в математике называют системой счисления.

Для записи натуральных чисел применялись различные системы счисления, которые можно разбить на две группы: непозиционные системы и позиционные.

В непозиционных системах счисления значение каждого применяемого знака не зависит от его места в записи числа. Из многочисленных непозиционных систем счисления до настоящего времени сохранила некоторое значение только римская нумерация.

Римская нумерация возникла в средние века и до сих пор используется для обозначения небольших чисел: глав книги, чисел на циферблате часов и т.п. В этой системе для записи чисел используются буквы латинского алфавита: I – единица, V – пять, X – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысяча.

Предположительно, знак для единицы означает один палец, для пяти – раскрытую ладонь, для десяти – две ладони. Знаки для ста и тысячи – первые буквы латинских слов: centum – сто и mille – тысяча.

Правила записи чисел в римской системе счисления заключаются в следующем:

а) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака, изображающего большее число, то производится сложение этих чисел:

VI = 5 + 1 = 6, XV = 10 + 5= 15, MCCV= 1000 + 100+100 + 5 = 1205,

MMCCCLXVIII = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 2368;

б) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед знаком, изображающим большее число, то производится вычитание:

IV = 5 – 1 = 4, IX = 10 – 1 = 9, MCDXXXIV = 1000 + 500 – 100 + 10 + 10 + 10 + 5 – 1 = 1434.

Римская система счисления имеет целый ряд недостатков: записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить невозможно и т.д.

Непозиционной была система счисления и у древних греков. Они обозначали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 первыми девятью буквами греческого алфавита: и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 применяли следующие девять букв (например, = 10), а для обозначения чисел 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последние девять букв (например, ).

Культура древней Руси была тесно связана с греческой культурой, поэтому и принцип обозначения чисел был похож на греческий. Числа обозначались с помощью букв, над которыми ставился особый знак, называемый «титло».

Эта нумерация, называемая алфавитной, была наиболее прогрессивной среди всех непозиционных систем. Однако она также оказалась неудобной из-за того, что в ней непосредственно нельзя было записывать достаточно большие числа.

В настоящее время непозиционные системы принадлежат далекой истории, им на смену в математику вошли позиционные системы счисления. В таких системах значение применяемых символов зависит от места (позиции), которое этот символ занимает в записи числа.

Впервые позиционная система счисления возникла в Индии, была заимствована арабами и через арабские страны перешла в Европу. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называться арабскими.

Своеобразным толчком к распространению десятичной системы счисления в России послужила книга Л.Ф. Магницкого (1669 – 1739) «Арифметика сиречь наука числительная». Книга была напечатана в 1703 г. на славянском языке. В то время она стала энциклопедией математики. В ней были изложены арифметика, основы алгебры, сведения по геометрии, тригонометрии, мореходной астрономии и навигации с необходимыми таблицами и задачами. Все вычисления в книге произведены при помощи цифр арабской (индийской) нумерации.

2. Основным преимуществом позиционных систем счисления является то, что любое как угодно большое натуральное число х записывается с помощью небольшого набора символов. Каждая позиционная система характеризуется некоторым числом, которое называют основанием системы счисления. В качестве основания может быть принято любое натуральное число р ≥ 2. Система счисления с основанием р называется р-ичной. В р-ичной системе счисления числа записываются с помощью р цифр (символов). Мы будем пользоваться цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если р < 10. Так, в семеричной системе используются семь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; в двоичной – две цифры: 0 и 1 – и так далее.

Если основание системы – р > 10, то для записи чисел кроме обычных десятичных цифр будем использовать десятичную запись чисел, заключенную в скобки. Например, в тринадцатеричной системе используются следующие тринадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11), (12).

Определение 1. Записью произвольного натурального числа х в системе счисления с основанием р называется представление его в виде

х = а_пр^п + а_п-1р^п-1 + ... + а₁р + а₀, (1)

где 0 ≤ а_i ≤ р – 1 (i = 0, l, 2, ..., n), а_п ≠ 0.

Символически формулу (1) записывают в виде последовательности цифр с черточкой наверху и индексом р внизу:

. (2)

При записи конкретных чисел черта опускается. Если число записано в десятичной системе счисления, то индекс 10 не ставится.

Так, запись 3546₇, которую следует читать: «Три, пять, четыре, шесть в семеричной системе счисления», обозначает число 3 · 7³ + 5 · 7² + 4 · 7 + 6 = 1308.

В системе счисления с основанием р место, занимаемое цифрой, называется разрядом. Разряды считаются справа налево. Число содержит а₀ единиц первого разряда, а₁ единиц второго разряда, а₂ единиц третьего разряда и так далее. Каждые р единиц одного разряда образуют единицу следующего разряда.

Теорема 1. Любое натуральное число х может быть записано в системе счисления с основанием р ≥ 2, причем единственным образом.

Доказательство существования. Обе части доказательства проведем методом математической индукции.

Представление числа х в виде (1) возможно и единственно для первых р – 1 натуральных чисел 1, 2, ..., р – 1, поскольку в этом случае n = 0 и запись (1) совпадает с самим числом.

Предположим теперь, что все натуральные числа х ≤ k представимы в виде (1). Здесь k – некоторое произвольно выбранное натуральное число.

Пользуясь предположением, докажем, что число k + 1 также представимо в виде (1).

Для этого разделим число k + 1 с остатком на р:

k + 1 = pq + r, 0 ≤ r ≤ р – 1. (3)

Здесь q – неполное частное, а r – остаток. Поскольку делитель р ≥ 2, то q ≤ k, а это означает, что, по предположению индукции, q представимо в виде (1):

, (4)

где 0 ≤ а_i ≤ р – 1 (i = 0, 1, ..., п), а_п ≠ 0.

Подставляя равенство (4) в равенство (3), получим

, (5)

где 0 ≤ а_i ≤ р – 1 (i = 0, 1, ..., п), а_п ≠ 0, 0 ≤ r ≤ р – 1.

Равенство (5) дает представление числа k + 1 виде (1). Действительно, принимая обозначения a_i = b_i+1 (i =0, 1, 2, …, n), r = b₀, получим равенство

. (6)

Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Доказательство единственности. Для чисел 1, 2, 3, …, р – 1 единственность представления (1) очевидна. Предположим, что для всех натуральных чисел х ≤ k, где k – некоторое произвольно выбранное натуральное число, представление (1) единственно.

Пользуясь предположением, докажем, что число k + 1 может быть представлено в виде (1) только одним способом.

Действительно, если допустить, что число k + 1 имеет два различных представления, то получим:

(7)

и

. (8)

Переписывая равенства (7) и (8) в виде

и

,

замечаем, что

, как неполные частные и остатки при делении k + 1 на р.

Поскольку q₁ = q₂ ≤ k, то, по предположению индукции, представление их в виде единственно, то есть m – 1 = п – 1, а_i = b_i, (i = 1, 2, …, n – 1). Таким образом, получено противоречие с допущением, что число k + 1 имеет два различных представления – (7) и (8). Следовательно, число k + 1 представляется в виде (1) единственным образом. Итак, индукция проведена, и вторая часть теоремы доказана.