Прямые и плоскости в пространсттве
.docxПрямые и плоскости в пространстве.
§22 Различные способы задания плоскости в пространстве. Общий подход к решению задач на составление уравнений плоскости.
Плоскость в пространстве однозначно определяется заданием:
-
ее точки и нормального вектора перпендикулярного = α(М0, )
-
ее точкой и двумя направляющими векторами(не параллельно , P1и P2 параллельно α)= α(M0, ,)
-
Тремя ее точками M1,M2,M3=α(M1,M2,M3)
22.1 Уравнение плоскости заданное точкой и нормальным вектором.
α(М0, ) R(o,) M0(x0,y0,z0) (a,b,c)
(22,1)
(22,1)=> ax+by+cz+d=0, d=(-ax0-by0-cz0) (22,2)
(22,2)- обще уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов, в котором, a, b и с состоит в том, что это и есть координаты.
Теорема (22.1)
Плоскость есть поверхность первого порядка.
Доказательство: действительно в пункте (22,1) мы доказали то уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0, d=(-ax0-by0-cz0).
Теорема(22.2)(О классификации плоскостей первого порядка)
Любое уравнение вида (22.2) в котором определяет плоскость.
Доказательство: Т.к. то уравнение(22.2) имеет один корень (x0,y0,z0). ax+by+cz+d=0(22,3). Вычитаем (22,3) из (22,2)=> А это и есть уравнение (22,1), которое определяет плоскость проходящую через
22.2 Уравнение плоскости, проходящей через M0, ,.
α(M0, ,), M0(x0,y0,z0), (p1,p2,p3),
(22,4)
22.3 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
α(M1, M2 , M3), M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)
(22,5)
Общий подход к решению задач: Плоскость.
-
Вычислите один из способов задания плоскости: 1) α(М0, ) 2) α(M0, ,) 3) α(M1, M2 , M3)
-
Запишите уравнение, соответствующее выбранному способу:
1)
2)
3)
-
Запишите в общем виде.
ax+by+cz+d=0
Замечание: в решении задач на составление уравнений плоскостей, не всегда удается сразу найти способ задания плоскости, но часто для нее нахождение объектов, определяющих плоскость, помогают формулу вычисления расстояния от точки до плоскости и вычисление угла между плоскостями.
§23 Прямая линия в пространстве. Различные способы задания прямой в пространстве и ее уравнения. Общий подход к решению задач на составление уравнений прямых
Прямая в пространстве однозначно определяется заданием:
-
ее точки и направляющего вектора, l (М0,)
-
двух ее точек, l (M1,M2)
-
двух плоскостей по которым она пересекается, l(α,β)
23.1 Уравнение прямой, заданной l (М0,)
l (М0,), M0(x0,y0,z0), (p1,p2,p3)
(23,1)-каноническое; (23,2)-параметрическое
23.2 Уравнение прямой, проходящей через М1, М2
l (M1,M2)
23.3 Уравнение прямой заданной двумя плоскостями
l(α,β), (23,4) (23,4)- общее уравнение прямой
Рассмотрим переход от (23,4) к (23,1)
Пусть - направляющий вектор l,
В качестве точки M0(x0,y0,z0) можно взять точку одну из координат у которой можно взять произвольно, а две другие найдутся как решение системы.
Пример:
l(α,β),
Пусть произвольная ;
Общий подход к решению задач: Прямая.
-
Выделите один из трех способов задания прямой.
а) l (М0,)
б) l (M1,M2)
в) l(α,β)
-
Запишите уравнение, соответствующее выбранному способу
-
Запишите уравнение в каноническом виде.
23.4 Вычисление расстояния от точки до прямой.
23.5 Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми
Параллелепипед:
23.6 Нахождение угла
Пример: Составьте уравнение прямой
§24 Метод координат в решении геометрических задач
-
Через точку М(0,-1,1), провести прямую перпендикулярную прямой ,
2) Записать уравнение
-
Составить уравнение прямой проходящей через М(0,-1,1) и пересекающие прямые l1 и l2.
,
Пусть
3)
-
Составить уравнение прямой проходящей через М(0,-1,1), перпендикулярную l1 и пересекающую l2
1)
l(α,β)
2) ,
3)
-
Даны две плоскости
Составьте уравнение плоскостей, делящих двугранные углы этих плоскостей пополам.(Биссектриса плоскости)
Пусть δ- биссекторная плоскость, для α и β. δ= Г.М.Т.