gosy_voprosy / вопрос _20
.docxКритерии устойчивости
[править] Критерий Рауса
Основная статья: Критерий устойчивости Рауса
Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:
Коэффициенты |
Строки |
столбец 1 |
столбец 2 |
столбец 3 |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
3 |
||||
4 |
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.
[править] Критерий Гурвица
Основная статья: Критерий устойчивости Гурвица
— Определитель Гурвица
Теорема: Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при
[править] Критерий Михайлова
Заменим , где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.
Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах , проходила последовательно через n квадрантов.
Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)
1) Корень характеристического уравнения — отрицательное вещественное число
Соответствующий данному корню сомножитель
2) Корень характеристического уравнения — положительное вещественное число
Соответствующий данному корню сомножитель
3) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью
Соответствующий данному корню сомножитель
, где
4) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с положительной вещественной частью
Соответствующий данному корню сомножитель
, где
[править] Критерий Найквиста
Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.
Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома
тогда сделаем подстановку и получим:
Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду:
При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.
Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции
Сомножитель |
||
k |
k |
0 |
p |
ω |
|
После чего построим годограф для вспомогательной функции , для чего будем изменять
При , а при (так как n<m и )
Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя и знаменателя
Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции , соответственно, точку с координатами