Анализ и расчет линейных цепей переменного тока

Способы представления синусоидальных электрических величин

1. Угловая частота при T=0,01с составит…

a) =314 с-1

b) =0,01 с

c) =628 с-1

d) =100 с-1

Вообще-то правильнее было сказать циклическая частота – это же не вращательное

движение. Находим просто частоту f=1/T=1/0.01=100Гц. Циклическая частота получается

умножением на 2*PI=6.28. Тогда w=2*PI*f=6.28*100=628

2. Действующее значение напряжения составляет…

a) 110 В

b) 220 В

c) 437,4 В

d) 310,2 В

На рисунке показано амплитудное значение – 310,2 В. Для синусоидальных

токов и напряжений действующее значение в корень из 2 раз меньше

амплитудного т.е в 1.414раза. Получаем 310,2/1,414=219,3 В т.е примерно 220 В

3. Комплексное действующее значение тока

составляет…

a)

b)

c)

d)

Вопрос имеет ≪академическую≫ формулировку: на самом деле дано i(t) – функция для

мгновенных значений, а найти нужно комплексное действующее значение. Амплитудное

значение известно – оно равно 1.41, а нужно найти действующее, которое в корень из 2

раз меньше амплитудного (т.е.в1,41 раза). Таким образом действующее значение равно 1.

Под знаком синуса 314*t – это циклическая частота (314) но в комплексных значениях не

указывается. Гораздо важнее –PI/2 –это начальная фаза и должна войти в аргумент

комплекса (т.е. в показатель степени е со знаком j). Следовательно ответом будет вариант

а).

4. В алгебраической форме записи комплексное действующее значение тока

составляет:

a)

b)

c)

d)

2.6.1 Операции над комплексными числами

1) Перевод из одного вида в другой:

,

где

;

.

,

Воспользовавшись формулой получаем действительную часть числа

1,41*cos(-pi/4)=1,41/1.41=1. Мнимую часть найдём так 1,41*sin(-pi/4)=-

1,41/1,41=-1. Следовательно ответ будет 1 – j1= 1 - j

5. Если комплексное действующее значение напряжения В, то

мгновенное значение этого напряжения составляет:

a) В

b) В

c) В

d) В

Поскольку дано действующее значение (10), а нужно найти мгновенное – то требуется

определить сначала амплитудное. Оно будет в корень из двух раз больше действующего.

Среди вариантов подходят b) и d) . Далее смотрим аргумент. В задании он равен –pi/6 ,

следовательно подходит вариант b)

Резистивный, индуктивный и емкостной элементы схем замещения

1. Индуктивное сопротивление XL при угловой частоте =314 рад/с и величине

L=0,318 Гн, составит…

a) 100 Ом

b) 0,00102 Ом

c) 314 Ом

d) 0,318 Ом

Индуктивное сопротивление XL=w*L=314*0.318=99.852=100 Ом. Для ёмкости

сопротивление было бы Xc=1/(w*C)

2. При напряжении u(t)=100 sin (314t) В начальная фаза тока i(t) в емкостном

элементе С составит…

a) -/4 рад

b) 3/4 рад

c) 0 рад

d) /2 рад

Синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной,

дифференцирование заменяется умножением на jω, а интегрирование - делением на jω.

Вектор UR получается умножением Đ на действительную величину R (Аргумент

комплексной величины не изменяется, вектор имеет то же направление).

Вектор UL получается умножением Đ на jωL. (Аргумент увеличивается на π/2, т.е.

повёрнут на угол π/2 <вперед>.)

Вектор UC получается делением Đ на jωC. (Аргумент уменьшается на π/2, т.е. повёрнут на

угол π/2 <назад>.)

Часто j называют оператором поворота на π/2.

Поскольку нам дано напряжение на ёмкости, а мы видим, что ток через ёмкость опережает

напряжение на ней на pi/2 то значит начальная фаза тока будет иметь сдвиг +pi/2.

Следовательно ответ d) . Вообще этот сдвиг от частоты и амплитуды не зависит,

следовательно указанное в условии задачи выражение u(t)=100 sin (314t) нужно для

отвода глаз

3. Представленной векторной диаграмме соответствует…

a) индуктивный элемент L

b) емкостной элемент C

c) резистивный элемент R

d) последовательное соединение резистивного R и индуктивного L элементов

Поскольку угол между векторами не равен нулю (т.е они не совпадают) – смело

отбрасываем вариант с резистивным элементом R. Также, поскольку угол

сдвига фаз между напряжением и током прямой – то это либо индуктивный,

либо ёмкостный элемент. Помним, что ≪ток в индуктивности запутывается≫, т.е.

отстаёт от напряжения на угол pi/2 , а прямое направление –это против часовой

–выбираем вариант а)

4. Если емкостное сопротивление С элемента XС, то комплексное сопротивление

ZC этого элемента определяется как…

a) ZC = - j XС

b) ZC = XС

c) ZC = j XС

d) ZC = C

- индуктивное сопротивление;

- ёмкостное сопротивление.

Если цепь содержит только сопротивление, только индуктивность или ёмкость, то

комплексное сопротивление соответственно равно:

, ,

Следует заметить коварство составителей: в формуле , действительно,

присутствует Xc. Но стоит обратить внимание на j, котрый записан в знаменателе и было

бы Zc=Xc*1/j. Но накого варианта нет, следовательно, поднимаем j из знаменателя наверх

ценой добавления знака минус. Следовательно ответ будет a) ZC = - j XС

5. Если частота f увеличится в 2 раза, то емкостное сопротивление XС ...

a) увеличится в 2 раза

b) не изменится

c) уменьшится в 4 раза

d) уменьшится 2 раза

Помним, что , а так как w=2*pi*f , то окончательная формула будет

Xc=1/(2*pi*f*C). Видим, что Xc и f связаны обратной пропорциональностью, значит ответ

будет d) уменьшится 2 раза.

Сопротивления и фазовые соотношения между токами и напряжениями

ветвей

1. Полное сопротивление приведенной цепи Z определяется выражением…

a)

b)

c)

d)

Помним, что - модуль комплексного сопротивления (полное

сопротивление). Поскольку x – реактивное сопротивление для индуктивности запишем:

x=w*L и вариант ответа будет . В случае параллельного соединения

элементов похожей формулой можно было бы найти полную проводимость, а из неё и

полное сопротивление.

2. Угол сдвига фаз ϕмежду напряжением и током на входе приведенной цепи

синусоидального тока определяется как…

a)

b)

c)

d)

Угол сдвига фаз – это аргумент комплексного сопротивления – всегда арктангенс

отношения мнимой части к действительной, а следовательно, подходит вариант d). Но

можно и подробно записать Z=R+1/(j*w*C)=R – j/(w*C). arg(Z)=arctg(-1/(w*C*R)). Так как

, то можно легко видеть здесь вариант d)

3. В соответствии с векторной диаграммой для цепи с последовательным

соединением резистивного R, индуктивного L и емкостного C элементов

соотношение между XL и XC оценивается как…

a)

b)

c)

d)

Особенностью построения данной векторной диаграммы является то, что они векторы UL

,UR ,Uc – проводили не из начала координат, а один в конец другого используя правило

параллельного переноса. Эта векторная диаграмма выглядела бы так:

Очевидно вектор Uc длиннее чем UL , а поскольку

напряжение связано с током и сопротивлением прямой пропорциональностью, то надо

сделать вывод, что преобладает ёмкостная составляющая a) . Следует особо

отметит, что для параллельного соединения элементов всё решается с точностью до

наоборот.

4. Если приборы реагируют на действующее значение электрической величины

и амперметр показывает А, а вольтметр – В, то величина R

составит…

a) 50 Ом

b) 40 Ом

c) 200 Ом

d) 30 Ом

Амперметр включён последовательно с элементами, следовательно показывает

общий ток. Найдём комплексное сопротивление цепи Z=R+j*XL , а также

полное сопротивление - отношение действующего или амплитудного

напряжения к соответственно действующему или амплитудному току называется полным

сопротивлением. Для полного запишем . Таким образом составляем

(U/I)2=R2 + XL

2 . Отсюда выразим R и найдём 40 Ом

5. Представленной цепи соответствует векторная диаграмма…

a)

b)

c)

d)

Поскольку цепь последовательная через оба элемента протекает одинаковый ток. Падение

напряжения на сопротивлении совпадает по фазе с током, а значит и совпадают их

направления. Напряжение на индуктивности совпадает опережает ток на угол pi/2 ,

следовательно b) - есть правильный вариант

Резонансные е вления в электрических цепях

1. Значение угла сдвига фаз между напряжением и током на входе контура,

находящегося в режиме резонанса, равно…

a)

b)

c)

d)

Поскольку даже не было сказано какой контур – последовательный или параллельный –

значит это не важно и ответ будет одинаковым – на резонансе сдвиг фаз между общим

напряжением и общим током всегда равен нулю.

2. В схеме наблюдается резонанс напряжений. Если заданы показания приборов:

В, В, то показание вольтметра на активном сопротивлении и

катушке индуктивности равно…

a) 30 В

b) 40 В

c) 50 В

d) 70 В

Резонанс напряжений – это резонанс в последовательной RLC-цепи. Это

означает, что напряжения на индуктивности и ёмкости равны по модулю и

противоположны по фазе. Значит UL=Uc=40 В – но это действующие значения.

Индуктивность и ёмкость последовательно включённые в цепь на резонансе

взаимно уничтожаются и имеют общее падение 0В. Следовательно, всё входное

напряжение прикладывается к резистору и значит Ur=U=30В. Падение

напряжения на сопротивлении и индуктивности Uk будет определяться как

корень квадратный из суммы квадратов URи UL и значит найдём Uk =

SQRT(402+302)=50В . Ни в коем случае нельзя решать эту задачу просто

применив 2 закон Кирхгофа т.е U=Uk+Uc, потому что эти величины были

получены вольтметрами, которые показывают просто действующее значение и

не чувствительны к сдвигам фаз!!!

3. Условие возникновения резонанса напряжений имеет вид...

a)

b)

c)

d)

Главное слово в условии задачи - резонанс напряжений. То есть речь идёт о

последовательной RLC – цепи, а это значит что применяются реактивные сопротивления

(индуктивноё и емкостное сопротивления равны). Если было бы сказано

≪резонанс токов≫ - то ответом было бы равенство реактивных проводимостей .

4. Резистор с активным сопротивлением Ом, конденсатор емкостью

мкФ и катушка с индуктивностью мГн соединены

последовательно. Тогда полное сопротивление цепи при резонансе

напряжений равно...

a) Ом

b) Ом

c) Ом

d) Ом

Здесь можно ничего не считать – индуктивность и ёмкость взаимно уничтожаются на

резонансе, остаётся только резистор, следовательно полное сопротивление и будет ему

равно, т.е. 10 Ом

Более строго это выглядит так: Сопротивление последовательной RLC-цепи переменному

току:

, (3.16)

Рисунок 3.5 - Модуль и аргумент комплексного сопротивления последовательной RLC-

цепи

5. Если напряжение на зажимах контура В, то ток при резонансе в

последовательной цепи с параметрами: Ом, мГн, мкФ

равен…

a) 2 А

b) 2,5 А

c) 1 А

d) 0,5 А

На резонансе индуктивность и ёмкость взаимно уничтожаются, значит остаётся только R.

Применим закон Ома I=U/R=20/10=2A