1.пределы, производная
..docМатематический анализ.
§1. Функция. Предел функции
Определение 1. Функция, заданная уравнением , называется явной.
Пример: у=2х, у=sinx - явные функции,
У явно выражен через Х
Определение 2. Функция, заданная уравнением , называется неявной
Например, - неявная функция от х.
У явно не выражен через Х
Определение 3 (по Гейне). Число b называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента х, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функций сходится к числу b.
Обозначение:
b = lim f(x)
x a
Если , то х может оставаться меньше а или больше а.
В связи с этим существуют так называемые односторонние пределы:
Пример.
Если функция в данной точке непрерывна, то односторонние пределы равны.
§2. Теоремы о пределах
-
Предел постоянной:
-
Предел алгебраической суммы функций.
-
Предел произведения функций:
Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела:
-
Предел частного функций: где
-
Предел степени :
§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция - бесконечно большая при значении , если .
Определение 2. Функция - бесконечно малая при значении , если .
Свойства б. м. ф. и б. б. ф.
1. Сумма, разность, произведение б.м.ф., а также произведение б.м.ф. на постоянную величину – б.м.ф.
- является неопределенностью вида
2. , , - б.б.ф.
, - являются неопределенностями.
3. Если - б. б. ф. при значении , то - б. м. ф. при значении , где , .
4. Если - б. м. ф. при значении , то - б. б. ф. при значении , где , .
5. Соотношения вида , , , , , тоже являются неопределённостями.
§4. Раскрытие неопределенности вида при вычислении пределов.
Непосредственное вычисление пределов.
Вместо аргумента х подставляют его предельное значение в функцию.
Пример:
Правило раскрытия неопределенности вида
Если дробь содержит многочлены, то их следует разложить на линейные множители и выполнить сокращение.
Пример:
Если под знаком предела есть иррациональные выражения, то нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженные множители к этим выражениям.
§5. Раскрытие неопределенности вида при вычислении пределов.
Состоит в почленном делении числителя и знаменателя на переменную в наивысшей степени.
Пример:
Замечание:
-
Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.
-
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю.
-
Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности.
§6. Два замечательных предела
-
Первый замечательный предел.
или
Он раскрывает неопределенность вида .
Пример: .
-
Второй замечательный предел.
или
Он раскрывает неопределенность вида (е ≈ 2, 718281828459045…..).- неперово число.
(е ≈ 2, 72).
Пример:
§7. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Определение 1. Функция называется непрерывной в некоторой точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
Определение 2. Функция , непрерывная в каждой точке некоторого интервала , называется непрерывной на всем интервале.
Определение 3. Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва.
Существуют точки разрыва 1-го и 2-го рода.
-
Если односторонние пределы функции в данной точке не равны и конечные, то такая точка называется точкой разрыва 1-го рода.
Скачок функции в этой точке равен модулю разности односторонних пределов:
Пример:
– точка разрыва 1-го рода. Можно указать скачок функции:
-
Если в данной точке хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то такая точка называется точкой разрыва 2-го рода.
§8. Свойства функций, непрерывных на отрезке
1)
Функция , непрерывная на отрезке , достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, одно такое значение , что .
3) Если две функции и непрерывны на отрезке , то непрерывны , , на этом отрезке.
§9. Производная функции. Дифференцируемость функций
Определение 1. Производной функции называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
Обозначения:
Определение 2. Функция , имеющая в точке производную, называется дифференцируемой в этой точке.
Определение 3. Функция , дифференцируемая в каждой точке интервала , дифференцируема на этом интервале.
Связь непрерывности и дифференцируемости функции.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то в этой точке она и непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.к. есть функции непрерывные в точке, но не имеющие производной в этой точке.
Пример:
Функция в точке непрерывна, но не имеет производной.
Таблица основных производных
-
15.
-
16.
-
17.
-
18.
-
19.
-
20.
-
21.
-
22.
-
23.
-
-
-
-
-
§10. Производная сложной и обратной функции
1. производная сложной функции Если и , то - сложная функция от х, где
u - промежуточный аргумент,
х - конечный аргумент.
Теорема. Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу u умноженной на производную промежуточного аргумента по конечному аргументу х, т.е.
или
Пример.
(sinU)′ = cosU U′
(sin3х)′ = cos3х (3х)′
2. производная обратной функции
Пусть дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке х. Тогда функция - ей обратная функция.
Теорема. Производная обратной функции равна:
.
§11. Производные высших порядков
Пусть задана некоторая дифференцируемая функция . Тогда:
-
- производная 1-го порядка.
Если - это опять функция от х, то от нее можно найти производную:
-
- производная 2-го порядка.
-
- производная 3-го порядка.
… …………. …………………………... .
n) - производная n-го порядка.
Пример:
§12. Дифференцирование неявных функций
- функция, заданная неявно, т.е. функция не разрешена относительно у.
Чтобы найти производную неявной функции, следует все члены выражения продифференцировать по х, а затем выразить у´ через х; у и const, помня, что , а .
Пример:
Аналогично можно находить производную 2-го порядка . Для этого выражение (1) нужно еще раз продифференцировать по х и выразить у´´ через х; у; у´ и const. Затем в полученное выражение подставить значение у´.
§12А. Геометрический смысл производной
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке:
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
, где ( - точка касания.
12б Производная – это мгновенная скорость изменения функции
§13. Понятие дифференциала
Пусть дана функция . По определению: . По теореме о пределах имеем: если , то - значит , получим: .
Определение 1. Главная часть приращения , линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается dy:
.
.
Рассмотрим функцию . . Следовательно, формула дифференциала функции в конечном результате имеет вид:
.
Пример:
С геометрической точки зрения дифференциал функции равен
приращению ординаты касательной.
§14. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям
Пусть задана функция . Воспользуемся приближенным равенством:
.
Сравнивая (1) и (2) выражения, получим:
- формула для приближенного вычисления значений функции.
Можно доказать, что абсолютная погрешность этой формулы не превышает величины .
Пример: Вычислить .
Пусть
§15. Правило Лопиталя при вычислении пределов
Пусть заданы некоторые функции и , дифференцируемые на некотором интервале , а в точке обращающиеся в ноль. Тогда имеет место равенство:
-для
раскрытия неопределенностей и - правило Лопиталя
Пример1: Найти предел.
;
Пример2: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;