И.И. Мамаев, з.Г. Донец

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

УЧЕБНИК

Для студентов заочного бакалавриата,

Обучающихся по направлению подготовки ,,Экономика”

Ставрополь

2013

УДК 512

ББК 22.14

Л 56

Рецензенты:

Симоновский А. Я., профессор, доктор физико-математических наук

Бондарь В.В., доцент, кандидат физико-математических наук

Линейная алгебра: учебник/ И.И. Мамаев,

Л 56 , З. Г. Донец.

Ставрополь:Сервисшкола,2013.

Книга представляет собой учебник по

курсу линейной алгебры. В нем отражен

теоретический материал по разделам:

Матрицы, определители, системы линейных уравнений, линейно векторные пространства, линейные операторы , аналитическая геометрия .

Учебник соответствует Федеральному государственному

Образовательному стандарту (третьего поколения).

Предназначен для студентов заочного бакалавриата,

Обучающихся по направлению подготовки ,,Экономика”

ISBN 978-5-93078-762-2

УДК 512

ББК 22.14

ISBN 978-5-93078-767-2

Авторы, 2013

Сервисшкола,2013

Глава 1. Матрицы и определители

§1. Матрицы и их виды

Матрица обозначается заглавными латинскими буквами (А, В, С,...).

Определение 1. Прямоугольная таблица вида ,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.

- элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Виды матриц:

1. Величина называетсяразмерностью матрицы .

2. Если , матрица называетсяквадратной, ее размерность n.

3. Если все элементы матрицы нули, то матрица называется нулевой.

4. Матрица вида: , называетсядиагональной.

5. Матрица вида: , называетсяединичной.

6. Матрица вида: , называетсяматрица-строка.

7. Матрица вида: , называетсяматрица-столбец.

8. Следом trA квадратной матрицы А называется сумма её

элементов, стоящих на главной диагонали:

trA=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn.

§2. Определители 2, 3 и n-го порядка

Пусть даны две квадратные матрицы:

Определение 1. Определителем второго порядка матрицы А₁ называется число, обозначаемое ∆ и равное , где

Пример. Вычислить определитель 2-го порядка:

Определение 2. Определителем 3-го порядка квадратной матрицы А₂ называется число вида:

Это один из способов вычисления определителя.

Пример. Вычислить

Определение 3. Если определитель состоит из n-строк и n-столбцов, то он называется определителем n-го порядка.

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании (т.е. если в нем строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка следования).

2. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца, то определитель изменит только знак.

3. Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или пропорциональны.

6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример.

Определение 4. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания столбца и строки, называется минором соответствующего элемента. М_ij элемента a_{ij .}

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента а_ij , называется выражение