6.5. Переменное электромагнитное поле

6.5.1. Уравнение непрерывности.

6.5.2. Закон сохранения заряда.

6.5.3. Уравнения Максвелла.

6.5.4. Закон Ома в дифференциальной форме.

6.5.5. Уточнение понятия о проводниках и диэлектриках.

6.5.6. Полная система уравнений Максвелла.

6.5.7. Полная система граничных условий.

6.5.8. Баланс энергий электромагнитного поля.

Общие сведения

В теории поля часто пользуются понятием точечных зарядов. Под ними будем понимать заряженные тела, размеры которых значительно меньше расстояния между телами. Если заряженные тела не удовлетворяют этому условию, то водят понятие плотности заряда. Если в элементе объема V сосредоточен заряд q^э, то под объемной плотностью будем подразумевать

, [Кл/м^3]

(6.5.1)

Поверхностная плотность:

, [Кл/м^2]

(6.5.2)

Линейная плотность:

, [Кл/м]

(6.5.3)

Направленное движение электрических зарядов называется электрическим током. Линии, вдоль которых перемещаются заряженные частицы, называются линиями тока.

Электрический ток характеризуется вектором объемной плотности тока и силой тока I^э. Объемная плотность электрического тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единичную поверхность перпендикулярно линиям тока.

Пусть в единичном объеме находится N_е электрически заряженных частиц [1/м³], тогда объемная плотность электрических зарядов .

В этом случае в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока, и соответственно, перпендикулярную вектору скорости перемещения частиц, будет проходить заряд определяемый соотношением: , [А/м²].

По аналогии вводят понятие поверхностной плотности электрического тока: , [А/м], а вектор линейной плотности электрического тока определится соотношением, [А].

Силой тока называется заряд, проходящий за единицу времени через полное сечение тела. Пусть за время t прошел заряд q^э, тогда: , [А].

6.5.1. Уравнение непрерывности

В теле с током выделим объем V, ограниченный поверхностью S. Через элемент поверхности за единицу времени проходит заряд, а через всю поверхность S проходит заряд.

Пусть за время t через поверхность прошел заряд dq^э, тогда

.

В свою очередь полный электрический заряд, сосредоточенный в объеме:

;

Будем полагать, что функция ^э характеризует распределение электрического заряда в объеме. Она и ее производная непрерывны в каждой точке. В этом случае в левой части интегрирование и дифференцирование можно поменять местами

.

В выражении используется частная производная, так как  под интегралом является функцией не только координат, но и времени.

Правую часть преобразуем по функции Остроградского-Гаусса

— это интегральное уравнение для произвольного объема V. Это возможно, если равны подынтегральные выражения:

—уравнение непрерывности

(6.5.4)

Из него, в частности, следует, что истоками или стоками являются электрические заряды. Если мы предположим, что объемная плотность электрического заряда неизменна во времени, то получим:

(6.5.5)

Поле, которое характеризуется неизменными во времени векторными или скалярными величинами, называется постоянным или стационарным. Из последнего соотношения видно, что поле постоянного тока является соленоидальным (силовые линии являются замкнутыми).