Лекция по сопромату

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Р.П. Моисеенко

ЛЕКЦИИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Часть I

Учебное пособие

Томск Издательство ТГАСУ

2010

УДК 539.3/.6 (076.6) М 74

Моисеенко, Р.П. Лекции по сопротивлению материалов. Часть I [Текст] : учебное пособие / Р.П. Моисеенко ; под ред. В.Н. Барашкова. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2010. – 136 с. – ISBN 978-5-93057-378-7.

В учебном пособии представлен конспект лекций по сопротивлению материалов. Объём каждой лекции составляет 7–8 страниц, что соответствует отведённому на лекцию времени в два академических часа. Курс состоит из шестнадцати лекций согласно рабочей программе. Рассматриваются простые виды деформации. В качестве основной методики преподавания впервые использована схема решения задач Р. Декарта. Эта схема позволяет значительно повысить методический уровень лекций, объединяя все разделы Сопротивления материалов в единую систему.

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей СДМ, АиАХ, МИАС.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ТГАСУ.

Научный редактор докт. физ.-мат. наук, профессор В.Н. Барашков.

Рецензенты:

докт. техн. наук, профессор Б.А. Люкшин, ТУСУР; докт. техн. наук, профессор В.И. Максак, ТГАСУ.

ISBN 978-5-93057-378-7	© Томский государственный
	архитектурно-строительный
	университет, 2010
	© Р.П. Моисеенко, 2010

2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................................................	7
Лекция 1. Математическая модель стержня ...........................	8
1.1. Факторы, влияющие на прочность конструкции,
и их идеализация........................................................................	9
1.2. Внутренние силы и внутренние усилия...........................	12
1.3. Напряжения.......................................................................	14
Вопросы для самопроверки.........................................................	15
Лекция 2. Уравнения математической модели.
Геометрические характеристики плоских сечений..............	16
2.1. Зависимость между внутренними усилиями
и напряжениями.......................................................................	16
2.2. Геометрические характеристики плоских сечений .........	19
2.3. Зависимость между статическими моментами
относительно параллельных осей координат.........................	20
2.4. Вычисление статических моментов сложных фигур.......	22
2.5. Вычисление координат центра тяжести
сложной фигуры.......................................................................	23
Вопросы для самопроверки.........................................................	24
Лекция 3. Моменты инерции простых и сложных фигур....	25
Пример 1 ......................................................................................	25
3.1. Вычисление моментов инерции простых фигур..............	27
3.2. Зависимость между моментами инерции
относительно параллельных осей ...........................................	28
3.3. Вычисление моментов инерции сложных фигур
относительно центральных осей.............................................	29
Вопросы для самопроверки.........................................................	31
Лекция 4. Главные моменты инерции ...................................	32
Пример 2 ......................................................................................	32
4.1. Зависимость между моментами инерции
при повороте осей....................................................................	34
Пример 3 ......................................................................................	37
Вопросы для самопроверки.........................................................	38
	3

Лекция 5. Внутренние усилия и напряжения
при растяжении-сжатии ...........................................................	39
5.1. Растяжение-сжатие............................................................	39
5.2. Определение продольных сил..........................................	40
Пример 4 ......................................................................................	42
Вопросы для самопроверки.........................................................	46
Лекция 6. Прочность при растяжении-сжатии .....................	47
6.1. Определение напряжений от заданной нагрузки.............	47
Пример 5 ......................................................................................	47
6.2. Напряжённое состояние в точке
при растяжении-сжатии...........................................................	49
6.3. Основные механические характеристики материала.......	50
6.4. Условие прочности при растяжении-сжатии...................	53
Пример 6 ......................................................................................	55
Вопросы для самопроверки.........................................................	56
Лекция 7. Статически неопределимые системы
при растяжении-сжатии ...........................................................	57
7.1. Перемещения при растяжении-сжатии............................	57
Пример 7 ......................................................................................	58
7.2. Статически неопределимые системы,
работающие на растяжение-сжатие........................................	59
Пример 8 ......................................................................................	60
Пример 9 ......................................................................................	62
Вопросы для самопроверки.........................................................	65
Лекция 8. Внутренние усилия при плоском изгибе..............	66
8.1. Плоский изгиб...................................................................	66
Пример 10 ....................................................................................	67
Пример 11 ....................................................................................	70
8.2. Дифференциальная зависимость между
изгибающим моментом и поперечной силой..........................	71
Вопросы для самопроверки.........................................................	72
Лекция 9. Эпюры внутренних усилий
при плоском изгибе балок........................................................	73

4

9.1. Построение эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил.....................................................................	73
Пример 12 ....................................................................................	73
Вопросы для самопроверки.........................................................	80
Лекция 10. Эпюры внутренних усилий
при плоском изгибе рам............................................................	81
Пример 13 ....................................................................................	81
10.1. Построение эпюр внутренних усилий в рамах ..............	83
Пример 14 ....................................................................................	84
Вопросы для самопроверки.........................................................	88
Лекция 11. Прочность при плоском изгибе...........................	89
11.1. Напряжения при чистом изгибе......................................	89
11.2. Напряжения при поперечном изгибе..............................	93
Вопросы для самопроверки.........................................................	96
Лекция 12. Расчёты на прочность при изгибе.
Сдвиг, расчёт заклёпочных и болтовых соединений............	97
Пример 15 ....................................................................................	97
12.1. Чистый сдвиг.................................................................	100
12.2. Расчёт заклёпочных (болтовых) соединений...............	102
Вопросы для самопроверки.......................................................	104
Лекция 13. Сварные соединения. Кручение........................	105
Пример 16 ..................................................................................	105
13.1. Расчёт сварных соединений..........................................	106
Пример 17 ..................................................................................	107
13.2. Кручение стержней с круглым
поперечным сечением............................................................	108
Вопросы для самопроверки.......................................................	112
Лекция 14. Прочность при кручении.
Статически неопределимые системы при кручении..........	113
14.1. Условие прочности при кручении................................	113
Пример 18 ..................................................................................	113
14.2. Перемещения при кручении валов...............................	116
Пример 19 ..................................................................................	117
	5

14.3. Статически неопределимые системы,
работающие на кручение.......................................................	118
Вопросы для самопроверки.......................................................	120
Лекция 15. Виды напряжённого состояния в точке ...........	121
15.1. Плоское напряжённое состояние в точке.....................	121
Вопросы для самопроверки.......................................................	126
Лекция 16. Сводка схем Декарта
для простых видов деформации............................................	127
16.1. Подведение итогов за семестр......................................	127
Вопросы для самопроверки.......................................................	134
Вопросы для самостоятельной работы.....................................	134
Библиографический список...................................................	135

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

В подготовке специалистов технических университетов «Сопротивление материалов» характеризуется как общеобразовательная дисциплина, на которой основано несколько предметов специального профиля. В свою очередь «Сопротивление материалов» базируется на высшей и прикладной математике, физике, теоретической механике, инженерной графике.

Традиционно «Сопротивление материалов» делится на две части. В первой части рассматриваются теоретические основы и простые виды деформации, во второй части – сложные виды деформации, устойчивость сжатых стержней и прочность при динамических нагрузках. Цель данного пособия – сформировать у студента научный способ мышления на примере такой универсальной дисциплины, как «Сопротивление материалов». В качестве метода достижения поставленной цели впервые использована схема решения задач, разработанная Р. Декартом. В этом состоит методическая новизна пособия. Схема Р. Декарта позволяет применить индуктивный метод обучения наиболее наглядно, переходя от простых понятий к сложным математическим выражениям.

Содержание пособия основано на многолетнем опыте автора, читающего лекции по сопротивлению материалов с использованием схемы Р. Декарта. Этот опыт показывает, что студенты без затруднений воспринимают и усваивают лекционный материал, касающийся теоретических основ, если им сразу показан путь рассуждений от реального объекта до числа, характеризующего какое-то свойство этого объекта. Студентам рекомендуется при использовании пособия обратить внимание на логические связи, представленные в таблицах. Усвоение логических связей способствует запоминанию формул и развитию навыков практических вычислений.

7

ЛЕКЦИЯ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕРЖНЯ

Любая прикладная наука, основанная на математике, представляет собой систематизированное движение мысли от реального объекта до числа, характеризующего какое-то свойство объекта. Наиболее полно это движение мысли обозначил французский учёный Рене Декарт (1596–1650) в своей схеме решения задач. Схема состоит из трёх пунктов .

1)Задачи любого вида сводятся к математической задаче.

2)Математическая задача любого вида сводится к алгебраической задаче.

3)Любая алгебраическая задача сводится к решению одного уравнения.

Первый пункт отражает начальное движение мысли от реального объекта через принятые допущения до математической модели. Свойства математической модели записываются с помощью дифференциальных или интегральных уравнений. Эти уравнения и составляют математическую задачу. Второй пункт подразумевает применение методов решения дифференциальных или интегральных уравнений. В результате решения получается несколько или одно алгебраическое уравнение. Третий пункт сформулирован неудачно, логичнее следующий вариант: любая алгебраическая задача сводится к арифметической задаче, т. е. вычисляется одно или несколько чисел, характеризующих свойства объекта.

Схема Декарта неприменима в гуманитарных науках или медицине, но физические науки точно следуют ей. Об этом иными словами сказал Иммануил Кант (1724–1804): «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики».

Схема Декарта с исправленным третьим пунктом отвечает на вопрос «Зачем это надо?» на любой стадии изучения науки,

Пойа Д. Математическое открытие. М., 1976. 448 с.

8

поэтому в курсе лекций пояснения основных действий повторяют схему Декарта.

1.1.Факторы, влияющие на прочность конструкции,

иих идеализация

Сопротивление материалов – это наука о прочности, жёсткости и устойчивости стержневых конструкций.

Уже в этом начальном определении используются понятия, имеющие точный физический смысл. Однако формулировать понятия прочности или стержня в начале изложения материала невозможно, потому что в этих формулировках используются другие, ещё не введённые определения. В связи с этим пока приходится использовать бытовые представления о прочности, жёсткости, устойчивости, стержне, сформировавшиеся у любого человека в результате какого-то жизненного опыта. Эти представления сводятся к следующему.

1)Прочность – способность материала сопротивляться разрушению под действием нагрузки.

2)Жёсткость – способность конструкции сопротивляться деформации под действием нагрузки.

3)Устойчивость – способность конструкции сохранять заданное положение равновесия под действием нагрузки.

4)Стержень – тело, у которого один размер (длина) значительно больше поперечных размеров.

Несмотря на свой упрощённый характер, эти определения позволяют начать анализ задачи сопротивления материалов. Наиболее простым для понимания является понятие прочности, поэтому дальнейшее изложение основано на анализе прочности.

Простые рациональные рассуждения приводят к выводу

отом, что прочность конструкции зависит от четырёх факторов: нагрузки, вида закрепления (опоры), геометрических размеров, свойств материала. Все эти факторы должны быть учтены в ка-

9

ком-то неизвестном пока уравнении, из которого будет определяться величина, характеризующая прочность. Из опыта решения математических и физических задач известно, что в уравнения входят так называемые абстрактные величины, которые получаются из реальных объектов с помощью идеализации. Следовательно, факторы, влияющие на прочность, также должны быть идеализированы.

Нагрузка и закрепление конструкции уже идеализированы по курсу теоретической механики. Результаты идеализации представлены в виде абстрактных видов нагрузки и опор.

Нагрузки	F (кН).
Сосредоточенная сила
Сосредоточенный момент	M (кНм).
			q (кН/м).
Равномерно распределённая нагрузка

Другие виды нагрузок в курсе лекций не рассматриваются.

Опоры

Подвижный шарнир

Одна реакция

Неподвижный шарнир

Две реакции

Три реакции Жёсткая заделка (защемление)

10