Невыгодное загружение линий влияния

Пусть дана линия влияния какого либо фактора (рис. 3), тогда на основании теоремы, приведенной выше, имеем

(1)

Предположим, что все силы сдвинулись вправо, тогда

(2)

Вычтем из выражения (2) значение фактора (1):

(3)

Согласно рис. 3 имеем

Δy_i= Δxtgα_i,

где i =1, 2, 3. Подставляя Δy_i в формулу (3), получаем

(4)

Предположим, что на рис. 4 изображен график измененияS_k. Рассмотрим точкуS_{k, max}. Если Δx>0, то получаем, чтоS_kуменьшается, т.е. ΔS_k < 0. Следовательно, формула (4) дает

(5)

Если же Δх< 0, тоS_k тоже уменьшается или ΔS_k < 0, а из формулы (4) получаем:

(6)

Чтобы меняла знак необходимо, чтобы при сдвижке грузов менялись значенияR_i.Это возможно, когда один из грузов находится в вершине линии влияния. Этот груз называюткритическим.Задачу решают методом попыток, т.е. постепенно все грузы ставят на вершину линии влияния.

Рассмотрим треугольную линию влияния (рис. 5). Систему грузов F_i установим так, чтобы один из грузов был в вершине. Тогда

ΔF=R_лев+R_пр+F_кр.

Пусть грузы переместились вправо, тогда на основании условия (5) запишем:

R_левtgα₁– (R_пр+F_кр)tgα₂< 0, или

R_левtgα₁– (ΣF–R_лев)tgα₂< 0,

или R_лев(tgα₁+tgα₂) <ΣF·tgα₂. (7)

Согласно рис. 5 имеем:

tgα₁ = h/a, tgα₂ = h/b.

Подставим эти значения в формулу (7): R_лев(h/a+h/b) <hΣF/b, откуда находим:

R_лев<aΣF/l.(8)

Рассмотрим сдвижку грузов влево, тогда на основании формулы (6) получаем

R_левtgα₁+F_крtgα₁>R_прtgα₂, или (R_лев+F_кр)tgα₁ > (ΣF–R_лев-F_кр)tgα₂,

или (R_лев+F_кр)(tgα₁+tgα₂) >ΣF·tgα₂.

Окончательно из последнего выражения определяем

R_лев + F_кр > ΣF(a/l). (9)

В общем случае задача решается в следующем порядке:

1) по всей длине lнаходятΣF; 2) проверяют выполнение неравенств (8) и (9); 3) если эти неравенства не выполняются, то берут заF_крдругую силуF_i, и одновременно проверяют не меняется лиΣF.

Л е к ц и я 4

Плоские статически определимые фермы

Фермойназывается стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирами.

В фермах стержни соединены в узлах или на болтах, или на сварке, т.е. жестко. Однако, как показывают сравнительные расчеты при действии на ферму узловой нагрузки усилия в ферме с шарнирными узлами и жесткими узлами мало отличаются. Например, усилия в идеальной ферме с шарнирами на 10% больше усилий в болтовых фермах. Будем рассматривать только фермы с идеальными шарнирами. В таких фермах при узловом действии нагрузки в стержнях будут возникать только сжимающие или растягивающие усилия.

Классификация ферм

1. По назначению:

а) фермы пролетных строений мостов; б) крановые фермы; в) фермы каркасов промышленных зданий; г) фермы башенного типа.

2. По характеру опорных закреплений:

а) балочные, б) арочные, в) консольные, г) неразрезные.

3. По очертанию опорных поясов:

а) фермы с параллельными поясами, б) фермы с полигональными поясами.

4. По системе решетки:

а) фермы с треугольной решеткой, б) шпренгельные фермы, в) фермы с раскосной решеткой, г) многорешетчатые фермы, д) фермы с ромбической решеткой.

5. По методу расчета:

а) статически определимые, б) статически неопределимые.

До определения усилий в стержнях ферм необходимо вычислить общее число неизвестных n: n = C + C₀, где С – число стержней фермы,С₀– число опорных стержней. Для каждого узла фермы составляются два уравнения равновесия:Σx = 0 иΣy= 0, следовательно, общее число уравнений равно 2Y, гдеY– число узлов. Таким образом, для статически определимой фермы необходимо выполнение условия:

2Y=С+С₀илиW= 2Y–С–С₀. (1)

Формула (1) дает возможность провести кинематический анализ. В структурном анализе надо доказать, что диски фермы соединены между собой по закону жесткого треугольника.