l_10_a

Лабораторная работа 1.10

Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Молекулы газа движутся хаотически, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда.

Расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега .

На длине свободного пробега молекула движется равномерно и прямолинейно.

Среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями, называется средней длиной свободного пробега 

Оно равно

.

Чтобы найти среднюю длину свободного пробега, нужно расстояние, пройденное молекулой за единицу времени (т.е. среднюю скорость молекулы V), разделить на число столкновений Z за единицу времени:

. (1)

Найдем Z , считая, что все молекулы, кроме одной, покоятся, а единственная молекула движется по оси цилиндра. За единицу времени она столкнется со всеми молекулами, находящимися внутри цилиндра радиусом r , равным эффективному диаметру d_эфф молекулы газа и длиной, равной скорости молекулы.

Поэтому число столкновений в единицу времени определится числом молекул, которые окажутся внутри этого цилиндра. Число столкновений в единицу времени Z равно произведению концентрации n на объем цилиндра:

,

где V - средняя скорость молекулы. По построению она равна длине цилиндра. Если считать, что остальные молекулы тоже двигаются, то в расчеты достаточно добавить поправочный коэффициент . Тогда окончательно получим:

, (2)

. (3)

У воздуха при нормальных условиях (t=0 ⁰С или T=273 К, давление Р=10⁵ Па, что соответствует нормальному давлению 760 мм рт. ст.), средняя скорость - 447 м/с, число молекул в единице объема - 10²⁵ в 1 м³ , средняя длина свободного пробега - 60 10^-9 м, число столкновений в 1 секунду 1,8 10⁸ раз, эффективный диаметр молекулы составляет 310^-10 м .

Средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа (см формулу 3), давление газа пропорционально концентрации n молекул газа (p=nkT), и если , согласно (3), обратно пропорциональна концентрации n, то, следовательно, и обратнопропорциональна p.

2. Рассмотрим теперь понятие эффективного диаметра молекулы.

Между молекулами любого вещества одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания. Они называются силами молекулярного взаимодействия и имеют электрическое происхождение, поскольку ядра и электроны соседних молекул испытывают электрические силы отталкивания и притяжения. Именно силы межмолекулярного взаимодействия определяют характер теплового движения молекул твердых, жидких и газообразных тел.

В газах силы притяжения между молекулами не могут преодолеть силы отталкивания, и молекулы разлетаются во все стороны, занимая весь объем сосуда, в котором находится газ. Газы не имеют определенного объема и формы и легко сжимаются под действием внешнего давления. При столкновениях молекулы приближаются друг к другу на расстояние r =10^-10 м между их центрами. На этом расстоянии силы отталкивания резко возрастают за счет перекрытия их электронных оболочек (сила отталкивания носит квантовый характер и поэтому растет значительно быстрее электрической силы притяжения). Действие сил отталкивания приводит к такому же результату, как и столкновение молекул - молекулы отталкиваются друг от друга.

Наименьшее расстояние d, на которое приблизятся друг к другу центры молекул при столкновении, называется эффективным диаметром молекул.

На расстоянии d вся кинетическая энергия молекул полностью расходуется на совершение работы против сил отталкивания. Расстояние d тем меньше, чем больше кинетическая энергия молекул, т.е. чем выше температура газа.

3. Одним из явлений, позволяющих определить среднюю длину свободного пробега молекул газа, является внутреннее трение в газе.

Внутреннее трение возникает между слоями газа (или жидкости), движущимися с разными скоростями.

Рассмотрим газ, движущийся в трубке с малым диаметром. Ламинарное движение газа по трубке можно представить в виде слоев, в которых скорости газа постоянны. Вблизи поверхности трубки, вследствие взаимодействия молекул газа с поверхностью, скорость молекул газа вдоль трубки (скорость слоя газа) наименьшая и увеличивается по мере приближения к центру. Распределение скоростей по диаметру трубки можно представить в виде параболы.

Вследствие хаотического движения молекула переходит из одного слоя в другой, перенося с собой импульс (количество движения ). В результате, между слоями возникает сила внутреннего трения, направленная противоположно скорости слоев, и стремящаяся выравнить скорости слоев (молекула из быстрого слоя пытается ускорить, а из медленного - замедлить слой, в который она перейдет).

Сила внутреннего трения пропорциональна градиенту скорости и площади трущихся слоев и направлена против движения слоев

. (4)

Градиентом скорости называется изменение скорости на каждой единице длины в направлении, перпендикулярном скорости

.

- коэффициент внутреннего трения, равный силе внутреннего трения между слоями единичной площади при градиенте скорости, равном единице.

4. Из молекулярно-кинетического рассмотрения явления внутреннего трения вытекает, что коэффициент внутреннего трения в газе равен

,

где  - плотность газа.

Именно эта формула позволяет определить среднюю длину свободного пробега :

. (5)

Выразим ,, V через известные параметры и величины, которые можно измерить, и рассчитаем :

а) для нахождения  воспользуемся формулой Пуазейля, определяющей объем газа V, протекающего через трубку длинной l , радиусом r, за время , при перепаде давления на ее концах, равном p:

;

. (6)

б) средняя скорость молекул газа из молекулярно-кинетической теории выражается:

. (7)

в) плотность газа  найдем из уравнения состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона)

. (8)

Подставляя (6,7,8,) в (5) получим:

. (9)

Соберем все постоянные в одну и вычислим ее:

.

Окончательно получим:

. (10)

Как видно из (10), задача свелась к определению величин V,,T,p. p-перепад давления на концах трубки.

Перепад давления можно создать за счет выливания жидкости из баллона, который соединен с одним из концов трубки(капилляра) (рис.4).

Когда кран закрыт, давление воздуха внутри баллона и снаружи одинаковое, перепад давления на концах трубки капилляра равен нулю. Если кран открыть полностью, то вода начнет вытекать, давление газа внутри баллона начнет уменьшаться из-за увеличения объема газа, на концах трубки появится перепад давления. Признаком установившегося перепада давления является капание воды с полностью открытого крана. В этом случае можно считать, что количество прошедшего воздуха через трубку равно количеству воды, вытекшей из баллона.

Рис.4.

Выполнение работы

1. Откройте кран, подождите пока вода не начнет капать и не установится перепад давления p (по манометру).

2. Подставьте под капающую воду мензурку (при полностью открытом кране), одновременно включите секундомер.

3. Измерьте объем вытекшей воды и время, все данные занесите в таблицу.

4. После того как найдете среднюю длину свободного пробега, определите эффективный диаметр по формуле (3):

.

Концентрацию молекул воздуха определим из выражения

,

где Р₀, T₀ - давление и температура при нормальных условиях, T₀ = 273,15 К, Р₀ =1,013210⁵ Па = 760 мм рт.ст.;

n₀ - число Лошмидта - число молекул, находящихся в 1 см³ идеального газа при нормальных условиях, оно равно: n₀ = 2,687 10¹⁹ см^-3

P,T -давление и температура, при которых протекает опыт.

. (11)

Окончательно формула для расчета эффективного диаметра :

;

. (12)

Занесите данные в таблицу

№	,с	V,м^3	p,Па	Т,К		dэфф		ист	dист
1
2
3
Среднее значение

Контрольные вопросы

1. Дать определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

2. Какое физическое явление положено в основу работы? Сформулируйте уравнение Ньютона.

3. Каков физический смысл коэффициента внутреннего трения.?

4. Что такое градиент скорости и куда он направлен?

5. Почему вода из баллона сначала вытекает, а затем капает?

6. Объяснить формулу Пуазейля.

7. Подробно вывести рабочую формулу.

55 56