kletenik_doc / kletenik_39

§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости

«в отрезках»

Каждое уравнение первой степени

Ах + By + Сz + D = 0

(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноимённа с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с теку­щими координатами (какие—либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноимённые с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в уравнении плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение мо­жет быть преобразовано к виду

,

где

суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости в «отрезках».

940. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку М₁(2; — 3; 3) параллельно плоскости Оху;

2) через точку М₂(l; —2; 4) параллельно плоскости Oxz;

3) через точку М₃(—5; 2; —1) параллельно плоскости Oyz.

941. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через ось Ох и точку М₁(4; —1; 2);

2) через ось Оу и точку М₂(1; 4; —3);

3) через ось Oz и точку М₃(3; —4; 7).

942. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точки М₁(7; 2; —3) и М₂(5; 6; —4) параллельно оси Ох;

2) через точки P₁ (2; —1; 1) и Р₂(3; 1; 2) параллельно оси Оу;

3) через точки Q₁ (3; —2; 5) и Q₂(2; 3; 1) параллельно оси Oz.

943. Найти точки пересечения плоскости 2х — 3у — 4z— 24 = 0 с осями координат.

944. Дано уравнение плоскости х + 2у — 3z — 6 = 0. Написать для неё уравнение «в отрезках».

945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3х — 4у — 24z + 12 = 0 на координатных осях.

946. Вычислить площадь треугольника, который отсекает пло­скость

5х—6у + 3z + 120 = 0

от координатного угла Оху.

947. Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2х — 3у + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.

948. Плоскость проходит через точку M₁(6; —10; 1) и отсе­кает на оси абсцисс отрезок a = — 3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

949. Плоскость проходит через точки M₁(1; 2; —1) и M₂(—3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b — 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

950. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; —3; —4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок на­правленным из начала координат).

951. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M₁(—1; 4; —1), М₂(—13; 2; —10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

952. Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку M₁ (4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

953. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz от­резок с = — 5 и перпендикулярной к вектору п = {—2; 1; 3 }.

954. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2; 1; —1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, b = — 2.

955. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к пло­скости 2х — 2у + 4z — 5 = 0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = — 2, b =.