Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Практикум по высшей математике_часть 2

.pdf
Скачиваний:
230
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
7.85 Mб
Скачать

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Румянцев Н.В., Медведева М.И., Полшков Ю.Н., Пелашенко А.В.

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Учебное пособие

ЧАСТЬ 2

Утверждено на заседании Ученого совета экономического факультета Донецкого национального университета протокол № 2 от 24.10.2008 г.

Донецк – 2009

1

ББК 22.1

УДК 516+517(076.1)

Практикум по решению задач курса «Высшая математика»: Учебное пособие. Часть 2/Сост. Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко.

Донецк: ДонНУ, 2009. – 226 с.

Впрактикуме приведены задания для самостоятельной и индивидуальной работы по всем основным темам курса «Высшая математика». Рассмотрены подробные решения типовых задач, а также необходимый теоретический материал. Практикум составлен в соответствии с программой курса “Математика для экономистов”, изучаемой студентами всех экономических специальностей. Пособие может быть использовано преподавателями при подготовке и проведении практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов любой формы обучения.

Рецензенты: д.ф-м.н., проф. Горр Г.В., д.т.н., проф. Улитин Г.М.

Ответственный за выпуск: Румянцев Н.В., к.ф-м.н., д.э.н., проф.

©Донецкий национальный университет, 2009

©Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко

2

РАЗДЕЛ 5

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение функции многих переменных

Пусть дано некоторое числовое множество D R2 . Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y , если каждой паре чисел

(x, y) из множества D ={(x, y)} поставлено в соответствие, согласно некоторому закону f , единственное значение z из множества Z R .

Функциональную зависимость z от переменных x и y записывают в виде z = f (x, y), z = F(x,y) .

Совокупность значений независимых переменных x и y (множество D ={(x, y)}), при которых функция z = f (x, y) имеет действительные значения,

называется областью определения или областью существования функции z . Мно-

жество Z называется множеством значений функции. Переменные x и y на-

зываются независимыми переменными (аргументами),

а z

зависимой пере-

менной (функцией).

 

 

Аналогично можно определить функцию трех

и

более переменных

f (x1 , x2 ,..., xn ) , где (n > 2) . Если каждой точке (x1, x2 ,..., xn )

множества D из n -

мерного пространства Rn поставлено в соответствие, согласно некоторому закону f , единственное число z Z R , то говорят, что в области D Rn задана функция n независимых переменных z = f (x1, x2 ,..., xn ) .

Согласно определению, функцию z = f (x1, x2 ,..., xn ) можно рассматривать как функцию одной переменной точки M (x1, x2 ,..., xn ) и писать z = f (M ) .

Графическое изображение функции двух переменных. Линии уровня

Графиком функции двух переменных z = f (x, y) , называется множество всех точек (x, y, f (x, y)) R3 . Чаще всего графиком является некоторая поверх-

ность в пространстве R3 (рис. 5.1).

Множество всех точек плоскости в которых функция принимает равные значения, т.е. z = f (x, y) = C , C = const , называется линией уровня.

3

z

z = f (x, y)

0

y

M(x, y)

х

Рис. 5.1. График функции z = f (x, y)

При построении графика функции часто пользуются методом сечений. При x = 0 строят линию в плоскости Oyz , при y = 0 – в плоскости Oxz , при

z =C (C = const ) – в плоскости Oxy .

Предел и непрерывность функции двух переменных

Расстоянием между двумя точками M1(x1, y1) и M2 (x2 , y2 ) пространства R2 называется число

ρ(M1, M2 ) = (x2 x1)2 + ( y2 y1)2 .

Множество точек {M R2 : ρ(M , A) < r} называется открытым кругом радиуса r с центром в точке A, множество точек {M R2 : ρ(M , A) = r} – ок-

ружностью радиуса r с центром в точке A.

Открытый круг радиуса δ с центром в точке А0 (х0 , у0 ) называется δ

окрестностью точки A0 .

Точки, принадлежащие δ – окрестности, удовлетворяют неравенству

(хх0 )2 +( уу0 )2 <δ2 .

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой δ – окрестности точки А0 (х0 , у0 ) , за исключением, быть может, самой точки А0 (х0 , у0 ) . Число A на-

зывается двойным пределом функции z = f (x, y) в точке А0 (х0 , у0 ) , если для любого ε > 0 и для любой точки B(x, y) из δ – окрестности точки A0 выполняется неравенство | f (x, y) A |.

4

Обозначают

lim f (x, y) = А или

lim f (x, y) = А.

xx0

( x, y)( x0 , y0 )

yy0

 

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке А0 (х0 , у0 ) , если она определена в некоторой окрестности этой точки и

lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) .

xx0 yy0

Точка (х0 , у0 ) называется точкой разрыва функции z = f (x, y) , если

1)

функция z = f (x, y)

не определена в точке (х0 , у0 ) ;

2)

функция z = f (x, y)

определена в точке (х0 , у0 ) , но lim f (x, y) не

 

 

( x, y)( x0 , y0 )

существует или lim f (x, y) существует, но lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .

 

( x, y)( x0 , y0 )

( x, y)( x0 , y0 )

Примеры решения задач

Пример 5.1. Найти область определения функции двух переменных и дать ее геометрическую интерпретацию:

1) z = 25 (x2 + y2 ) ;

2) ln(x y) .

 

1 x2

Решение. 1) Так как подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, то 25 (x2 + y2 ) 0 или x2 + y2 25 . Следовательно, областьопределенияфункции– замкнутыйкругсрадиусом r = 5 (рис. 5.2), т.е.

D ={(x, y) R2 : x2 + y2 25}.

у

у

5

-5

5

х

-1

1

х

 

 

 

 

-5

 

 

 

 

Рис. 5.2. Иллюстрация к примеру 1.1

Рис. 5.3. Иллюстрация к примеру 1.2

5

2) Область определения функции задается множеством

D ={(x, y) R2 :1 x2 > 0, x y > 0}

или

D ={(x, y) R2 : 1 < x <1, x > y}.

Найденная область представлена на рис. 5.3. Пример 5.2. Построить линии уровня функции z = xy .

Решение. Уравнения линий уровня данной функции имеют вид xy = c или y = c x . Полагая c = 0, ±1, ± 2,..., получаем линии уровня (рис. 5.4).

y

c = 2 c =1 x c = 0

Рис. 5.4. Линии уровня функции z = xy

Пример 5.3. Найти следующие пределы:

1) lim(2x2 y2 ) ;

2) lim sin xy .

x1

x1

4xy

y2

y0

 

Решение. 1) Так как lim x2 =1 и lim y2 = 4 , то

x1

x1

y2

y2

lim(2x2 y2 ) = 2 1 4 = −2 .

x1 y2

2) Обозначим xy =t . Тогда t 0 при (x, y) (1,0) . Отсюда

lim sin xy

= lim sin t

=

1 .

x1

4xy

t0 4t

 

4

y0

 

 

 

 

6

Пример 5.4. Используя метод сечений, построить график функции z = x2 + y2 .

Решение. Пусть x = 0 , тогда функция принимает вид z = y2 . Следовательно, в плоскости Oyz получаем параболу. Аналогично при y = 0 в плоскости Oxz получаем параболу z = x2 . При z = C получаем окружность x2 + y2 =C радиуса C . Таким образом, искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 5.5).

z

у

х

Рис.5.5. Параболоид вращения

ТЕМА 2

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные производные

Пусть функция z = f (x, y) непрерывна в некоторой области D ={(x, y)}

и (x0 , y0 ) D . Обозначим через x приращение аргумента x . Приращению x

соответствует приращение функции по переменной x (частное приращение по переменной x ):

x z = f (x0 +∆x, y0 ) f (x0 , y0 ) .

Частной производной функции z = f (x, y) по независимой переменной x

называется конечный предел

lim

x z

=

lim

f (x0 + ∆x, y0 ) f (x0 , y0 )

,

x

x0

x

 

x0

 

вычисленный при условии, что значение переменной y – постоянно ( y = const ).

7

Частную производную по переменной x обозначают одним из следующих символов:

zx (x0 , y0 ),

fx(x0 , y0 ),

z(x0 , y0 )

,

f (x0 , y0 ) .

 

 

x

 

y

Аналогично определяется частная производная по переменной y .

Частной производной функции f (x, у) по независимой переменной y на-

зывается конечный предел

lim

уz

= lim

f (x0 , y0

+ ∆y)f (x0

, y0 )

,

y

 

y

 

y0

y0

 

 

 

вычисленный при условии, что значение x – постоянно ( x = const ). Обозначают

zy (x0 , y0 ),

fy(x0 , y0 ),

z(x0 , y0 )

,

f (x0 , y0 ) .

 

 

y

 

y

Аналогично определяют и обозначают частные производные функции трех и более переменных.

Таким образам, частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение других переменных фиксировано. Поэтому для вычисления частных производных используют правила дифференцирования и таблицу производных функции одной переменной.

Полный дифференциал функции двух переменных

Разность

 

z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) f (x0 , y0 )

(5.1)

называется полным приращением функции z = f (x, y)

по переменным x и y в

точке (x0 , y0 ) .

Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (x0 , y0 ) , если ее полное приращение z в этой точке можно представить в виде:

z = Ax + By +αx + βy ,

(5.2)

где A и B – некоторые числа, α, β – бесконечно малые при x 0 , y 0 . Главная часть приращения Ax + By в выражении (5.2), линейно зави-

сящая от x и y , называется полным дифференциалом функции. Полный дифференциал обозначают dz и dz = Ax + By .

8

Дифференциалом независимой переменной x или y называют ее при-

ращение, т.е. x = dx и y = dy .

 

Если функция

z = f (x, y)

дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и

dz = Ax + By , то в точке

(x0 , y0 )

существуют частные непрерывные произ-

водные

 

 

 

f (x0 , y0 )

= A,

f (x0 , y0 ) = B .

x

 

y

Следовательно, полный дифференциал функции принимает вид

dz = f (x0 , y0 ) dx + f (x0 , y0 ) dy .

x

 

y

Отсюда и из равенства (5.2) следует, что полное приращение функции можно приближенно вычислить по формуле

z dz =

f (x0 , y0 ) dx +

f (x0 , y0 ) dy .

(5.3)

 

x

y

 

Аналогично определяется полный дифференциал функции трех и более переменных. В частности, для функции u = f (x, y, z) трех переменных полный

дифференциал равен

du =

f (x0 , y0 , z0 ) dx + f (x0 , y0 , z0 ) dy + f (x0 , y0 , z0 ) dz .

 

x

y

z

 

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция z = f (x, y)

имеет в точке (x0 , y0 )

непрерывные частные

производные.

Производной функции z = f (x, y) в данном направлении l (cosα,cos β)

(производной по направлению единичного вектора l (cosα,cos β) ) называется число

 

z

=

f (x0 , y0 ) cosα +

f (x0 , y0 ) cos β .

(5.4)

 

 

 

 

 

 

l

 

x

y

 

Здесь α , β

– углы между вектором

 

и осями Ox ,

Oy соответственно.

l

Напомним (см. (1.10)), что косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

9

Градиентом функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) называется вектор с началом в точке O(0,0) , координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в точке M0 (x0 , y0 ) . Обозначают

 

z(x0 , y0 ) ,

z(x0 , y0 )

 

 

z

 

 

, z

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

grad z =

 

=

 

 

 

.

 

x

y

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

M0

 

M0

 

 

 

 

 

 

Градиент – вектор, указывающий направление самого быстрого роста функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) .

 

 

Свойства градиента

1.

grad (u + v)= grad u + grad v ;

2.

grad (u +C)= grad u,

C = const ;

3.

grad (Cu)=C grad u,

C = const ;

4.

grad C = 0, C = const ;

 

5.grad (u v)= v grad u +u grad v ;

6.grad un = nun1grad u ;

7.

u

=

v grad u u grad v

.

grad

v

2

 

v

 

 

 

Аналогично определяются производная по направлению единичного вектора и градиент функции трех и более переменных.

В частности для функции трех переменных u = f (x, y, z) производная по направлению равна

ul = ux cosα + uy cos β + uz cosγ ,

где α , β , γ – направляющие косинусы вектора

 

 

(

 

= (cosα, cos β, cosγ )).

l

 

l

Соответственно градиент функции трех переменных u = f (x, y, z) опре-

деляется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x0 , y0 , z0 )

;

u(x0 , y0 , z0 )

;

u(x0 , y0 , z0 )

 

grad u =

=

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

u

 

;

u

 

 

;

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

x

 

y

 

 

z

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

M0

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10