Практикум по высшей математике_часть 2
.pdfДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Румянцев Н.В., Медведева М.И., Полшков Ю.Н., Пелашенко А.В.
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Учебное пособие
ЧАСТЬ 2
Утверждено на заседании Ученого совета экономического факультета Донецкого национального университета протокол № 2 от 24.10.2008 г.
Донецк – 2009
1
ББК 22.1
УДК 516+517(076.1)
Практикум по решению задач курса «Высшая математика»: Учебное пособие. Часть 2/Сост. Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко.
–Донецк: ДонНУ, 2009. – 226 с.
Впрактикуме приведены задания для самостоятельной и индивидуальной работы по всем основным темам курса «Высшая математика». Рассмотрены подробные решения типовых задач, а также необходимый теоретический материал. Практикум составлен в соответствии с программой курса “Математика для экономистов”, изучаемой студентами всех экономических специальностей. Пособие может быть использовано преподавателями при подготовке и проведении практических занятий, а также для самостоятельной работы студентов любой формы обучения.
Рецензенты: д.ф-м.н., проф. Горр Г.В., д.т.н., проф. Улитин Г.М.
Ответственный за выпуск: Румянцев Н.В., к.ф-м.н., д.э.н., проф.
©Донецкий национальный университет, 2009
©Н.В.Румянцев, М.И.Медведева, Ю.Н.Полшков, А.В.Пелашенко
2
РАЗДЕЛ 5
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕМА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение функции многих переменных
Пусть дано некоторое числовое множество D R2 . Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y , если каждой паре чисел
(x, y) из множества D ={(x, y)} поставлено в соответствие, согласно некоторому закону f , единственное значение z из множества Z R .
Функциональную зависимость z от переменных x и y записывают в виде z = f (x, y), z = F(x,y) .
Совокупность значений независимых переменных x и y (множество D ={(x, y)}), при которых функция z = f (x, y) имеет действительные значения,
называется областью определения или областью существования функции z . Мно-
жество Z называется множеством значений функции. Переменные x и y на-
зываются независимыми переменными (аргументами), |
а z |
– зависимой пере- |
менной (функцией). |
|
|
Аналогично можно определить функцию трех |
и |
более переменных |
f (x1 , x2 ,..., xn ) , где (n > 2) . Если каждой точке (x1, x2 ,..., xn ) |
множества D из n - |
мерного пространства Rn поставлено в соответствие, согласно некоторому закону f , единственное число z Z R , то говорят, что в области D Rn задана функция n независимых переменных z = f (x1, x2 ,..., xn ) .
Согласно определению, функцию z = f (x1, x2 ,..., xn ) можно рассматривать как функцию одной переменной точки M (x1, x2 ,..., xn ) и писать z = f (M ) .
Графическое изображение функции двух переменных. Линии уровня
Графиком функции двух переменных z = f (x, y) , называется множество всех точек (x, y, f (x, y)) R3 . Чаще всего графиком является некоторая поверх-
ность в пространстве R3 (рис. 5.1).
Множество всех точек плоскости в которых функция принимает равные значения, т.е. z = f (x, y) = C , C = const , называется линией уровня.
3
z
z = f (x, y)
0 |
y |
M(x, y)
х
Рис. 5.1. График функции z = f (x, y)
При построении графика функции часто пользуются методом сечений. При x = 0 строят линию в плоскости Oyz , при y = 0 – в плоскости Oxz , при
z =C (C = const ) – в плоскости Oxy .
Предел и непрерывность функции двух переменных
Расстоянием между двумя точками M1(x1, y1) и M2 (x2 , y2 ) пространства R2 называется число
ρ(M1, M2 ) = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 .
Множество точек {M R2 : ρ(M , A) < r} называется открытым кругом радиуса r с центром в точке A, множество точек {M R2 : ρ(M , A) = r} – ок-
ружностью радиуса r с центром в точке A.
Открытый круг радиуса δ с центром в точке А0 (х0 , у0 ) называется δ –
окрестностью точки A0 .
Точки, принадлежащие δ – окрестности, удовлетворяют неравенству
(х− х0 )2 +( у− у0 )2 <δ2 .
Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой δ – окрестности точки А0 (х0 , у0 ) , за исключением, быть может, самой точки А0 (х0 , у0 ) . Число A на-
зывается двойным пределом функции z = f (x, y) в точке А0 (х0 , у0 ) , если для любого ε > 0 и для любой точки B(x, y) из δ – окрестности точки A0 выполняется неравенство | f (x, y) − A |<ε.
4
Обозначают
lim f (x, y) = А или |
lim f (x, y) = А. |
x→x0 |
( x, y)→( x0 , y0 ) |
y→y0 |
|
Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке А0 (х0 , у0 ) , если она определена в некоторой окрестности этой точки и
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) .
x→x0 y→y0
Точка (х0 , у0 ) называется точкой разрыва функции z = f (x, y) , если
1) |
функция z = f (x, y) |
не определена в точке (х0 , у0 ) ; |
2) |
функция z = f (x, y) |
определена в точке (х0 , у0 ) , но lim f (x, y) не |
|
|
( x, y)→( x0 , y0 ) |
существует или lim f (x, y) существует, но lim f (x, y) ≠ f (x0 , y0 ) . |
||
|
( x, y)→( x0 , y0 ) |
( x, y)→( x0 , y0 ) |
Примеры решения задач
Пример 5.1. Найти область определения функции двух переменных и дать ее геометрическую интерпретацию:
1) z = 25 −(x2 + y2 ) ; |
2) ln(x − y) . |
|
1 − x2 |
Решение. 1) Так как подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, то 25 −(x2 + y2 ) ≥ 0 или x2 + y2 ≤ 25 . Следовательно, областьопределенияфункции– замкнутыйкругсрадиусом r = 5 (рис. 5.2), т.е.
D ={(x, y) R2 : x2 + y2 ≤ 25}.
у |
у |
5
-5 |
5 |
х |
-1 |
1 |
х |
|
|
|
|||
|
-5 |
|
|
|
|
Рис. 5.2. Иллюстрация к примеру 1.1 |
Рис. 5.3. Иллюстрация к примеру 1.2 |
5
2) Область определения функции задается множеством
D ={(x, y) R2 :1 − x2 > 0, x − y > 0}
или
D ={(x, y) R2 : −1 < x <1, x > y}.
Найденная область представлена на рис. 5.3. Пример 5.2. Построить линии уровня функции z = xy .
Решение. Уравнения линий уровня данной функции имеют вид xy = c или y = c x . Полагая c = 0, ±1, ± 2,..., получаем линии уровня (рис. 5.4).
y
c = 2 c =1 x c = 0
Рис. 5.4. Линии уровня функции z = xy
Пример 5.3. Найти следующие пределы:
1) lim(2x2 − y2 ) ; |
2) lim sin xy . |
|
x→1 |
x→1 |
4xy |
y→2 |
y→0 |
|
Решение. 1) Так как lim x2 =1 и lim y2 = 4 , то |
|
x→1 |
x→1 |
y→2 |
y→2 |
lim(2x2 − y2 ) = 2 1 − 4 = −2 .
x→1 y→2
2) Обозначим xy =t . Тогда t → 0 при (x, y) → (1,0) . Отсюда
lim sin xy |
= lim sin t |
= |
1 . |
|
x→1 |
4xy |
t→0 4t |
|
4 |
y→0 |
|
|
|
|
6
Пример 5.4. Используя метод сечений, построить график функции z = x2 + y2 .
Решение. Пусть x = 0 , тогда функция принимает вид z = y2 . Следовательно, в плоскости Oyz получаем параболу. Аналогично при y = 0 в плоскости Oxz получаем параболу z = x2 . При z = C получаем окружность x2 + y2 =C радиуса C . Таким образом, искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 5.5).
z
у
х
Рис.5.5. Параболоид вращения
ТЕМА 2
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные
Пусть функция z = f (x, y) непрерывна в некоторой области D ={(x, y)}
и (x0 , y0 ) D . Обозначим через ∆x приращение аргумента x . Приращению ∆x
соответствует приращение функции по переменной x (частное приращение по переменной x ):
∆x z = f (x0 +∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) .
Частной производной функции z = f (x, y) по независимой переменной x
называется конечный предел
lim |
∆x z |
= |
lim |
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) |
, |
|
∆x |
||||||
∆x→0 |
∆x |
|
∆x→0 |
|
вычисленный при условии, что значение переменной y – постоянно ( y = const ).
7
Частную производную по переменной x обозначают одним из следующих символов:
z′x (x0 , y0 ), |
fx′(x0 , y0 ), |
∂z(x0 , y0 ) |
, |
∂f (x0 , y0 ) . |
|
|
∂x |
|
∂y |
Аналогично определяется частная производная по переменной y .
Частной производной функции f (x, у) по независимой переменной y на-
зывается конечный предел
lim |
∆уz |
= lim |
f (x0 , y0 |
+ ∆y)− f (x0 |
, y0 ) |
, |
∆y |
|
∆y |
|
|||
∆y→0 |
∆y→0 |
|
|
|
вычисленный при условии, что значение x – постоянно ( x = const ). Обозначают
z′y (x0 , y0 ), |
fy′(x0 , y0 ), |
∂z(x0 , y0 ) |
, |
∂f (x0 , y0 ) . |
|
|
∂y |
|
∂y |
Аналогично определяют и обозначают частные производные функции трех и более переменных.
Таким образам, частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение других переменных фиксировано. Поэтому для вычисления частных производных используют правила дифференцирования и таблицу производных функции одной переменной.
Полный дифференциал функции двух переменных
Разность |
|
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) |
(5.1) |
называется полным приращением функции z = f (x, y) |
по переменным x и y в |
точке (x0 , y0 ) .
Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (x0 , y0 ) , если ее полное приращение ∆z в этой точке можно представить в виде:
∆z = A∆x + B∆y +α∆x + β∆y , |
(5.2) |
где A и B – некоторые числа, α, β – бесконечно малые при ∆x → 0 , ∆y → 0 . Главная часть приращения A∆x + B∆y в выражении (5.2), линейно зави-
сящая от ∆x и ∆ y , называется полным дифференциалом функции. Полный дифференциал обозначают dz и dz = A∆x + B∆y .
8
Дифференциалом независимой переменной ∆x или ∆ y называют ее при-
ращение, т.е. ∆x = dx и ∆ y = dy . |
|
||
Если функция |
z = f (x, y) |
дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и |
|
dz = A∆x + B∆y , то в точке |
(x0 , y0 ) |
существуют частные непрерывные произ- |
|
водные |
|
|
|
∂f (x0 , y0 ) |
= A, |
∂f (x0 , y0 ) = B . |
|
∂x |
|
∂y |
|
Следовательно, полный дифференциал функции принимает вид |
|||
dz = ∂f (x0 , y0 ) dx + ∂f (x0 , y0 ) dy . |
|||
∂x |
|
∂y |
Отсюда и из равенства (5.2) следует, что полное приращение функции можно приближенно вычислить по формуле
∆z ≈ dz = |
∂f (x0 , y0 ) dx + |
∂f (x0 , y0 ) dy . |
(5.3) |
|
∂x |
∂y |
|
Аналогично определяется полный дифференциал функции трех и более переменных. В частности, для функции u = f (x, y, z) трех переменных полный
дифференциал равен
du = |
∂f (x0 , y0 , z0 ) dx + ∂f (x0 , y0 , z0 ) dy + ∂f (x0 , y0 , z0 ) dz . |
||
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
Производная по направлению. Градиент |
||
Пусть функция z = f (x, y) |
имеет в точке (x0 , y0 ) |
непрерывные частные |
производные.
Производной функции z = f (x, y) в данном направлении l (cosα,cos β)
(производной по направлению единичного вектора l (cosα,cos β) ) называется число
|
∂z |
= |
∂f (x0 , y0 ) cosα + |
∂f (x0 , y0 ) cos β . |
(5.4) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
∂l |
|
∂x |
∂y |
|
|||||
Здесь α , β |
– углы между вектором |
|
и осями Ox , |
Oy соответственно. |
||||||
l |
Напомним (см. (1.10)), что косинусы этих углов называются направляющими косинусами.
9
Градиентом функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) называется вектор с началом в точке O(0,0) , координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в точке M0 (x0 , y0 ) . Обозначают
|
∂z(x0 , y0 ) , |
∂z(x0 , y0 ) |
|
|
∂z |
|
|
, ∂z |
|
|
(5.5) |
|
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
grad z = |
|
= |
|
|
|
. |
|||||
|
∂x |
∂y |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
M0 |
|
M0 |
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
Градиент – вектор, указывающий направление самого быстрого роста функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) .
|
|
Свойства градиента |
1. |
grad (u + v)= grad u + grad v ; |
|
2. |
grad (u +C)= grad u, |
C = const ; |
3. |
grad (Cu)=C grad u, |
C = const ; |
4. |
grad C = 0, C = const ; |
|
5.grad (u v)= v grad u +u grad v ;
6.grad un = nun−1grad u ;
7. |
u |
= |
v grad u −u grad v |
. |
|
grad |
v |
2 |
|||
|
v |
|
|
|
Аналогично определяются производная по направлению единичного вектора и градиент функции трех и более переменных.
В частности для функции трех переменных u = f (x, y, z) производная по направлению равна
∂∂ul = ∂∂ux cosα + ∂∂uy cos β + ∂∂uz cosγ ,
где α , β , γ – направляющие косинусы вектора |
|
|
( |
|
= (cosα, cos β, cosγ )). |
|||||||||||||
l |
|
l |
||||||||||||||||
Соответственно градиент функции трех переменных u = f (x, y, z) опре- |
||||||||||||||||||
деляется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u(x0 , y0 , z0 ) |
; |
∂u(x0 , y0 , z0 ) |
; |
∂u(x0 , y0 , z0 ) |
|
||||||||||||
grad u = |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|||
|
∂u |
|
; |
∂u |
|
|
; |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M0 |
|
|
M0 |
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10