MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 3

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 1+ 3 ; б) f (x) = 3sin(2x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = 5 ln3 (ax +b)−5 (1 −3x)2 ;

в) y = (ln(x +3))2x 3 ;

д) = arccos (π 6 −t 2 ); y

t −1

				x
			sin
б) y =	4	1 − x	+3	2	;
	3	x + 2
г) y =			2x −1			;
		cos(3x) ln		2

е) arctg(x + y)= x ;	ж)	y = t − arcctgt				.
				2	)
			+t
		x = ln(1

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = sin (2x )+ cos x , x0			;		3		;	в)sin y = x + y .
	=	π		б) x = t	2	− 2t
		2
				y = t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

		1					2
						x = 2t −t
	ра: а) y =		x2	−3x − 6 , x0	= 4 ;	б)		, t0 =1.
		2					3
						y = 3t −t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)	lim			π						;	б)
				π x
	x→0
			x ctg
							2
г)			1		1			;			д)
	lim			−
					x
	x→0 tgx

lim			1 − cos (2x)		;
x→0 cos (7x)− cos (3x)
2			x
lim			arctgx .
x→∞ π

в) lim cos π2x ln(1 − x) ; x→1

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 4 −x x .

120

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 4

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x x−1 ; б) y = 5cos(2x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а)	y =	3	2e x	− 2 x +1 + ln5	1		;
					x

в) y = (tg(2x)) x 2 +1 ;

д) y = (sin(0.8 x))3 5 3x − 2x2 ;

б)

г)

е)

y = x3

+ 4cos 2 (5x);

1 + x2

y= arcctg(3t 2 );

π−t

				1
			x =
	e y = x + y ;	ж)		t +1 .
				t
			y =	t +1

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

1 + x

2

а)

y =

, x0

= 2 ;

б)

x = t

;

в) cos y = x + y .

1

− x

3

−8t

y = t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x2 −3x −1 , x0	= 4 ; б) x = t −sin t	, t0	=	π .
	y =1 −cos t			3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)

lim

ln(sin(2x))

;

б)

lim

3x2 −5x

;

в) lim (tg (5x)ln (tg (5x )));

ln(sin x)

sin(3x)

x→0

x→0

x →0

г)

1

−

1

;

д)

lim (ctg(3x))sin(3x).

lim

x

x→0 sin x

x →0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x2+x2 .

121

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 5

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 3x2 +1 ; б) f (x) = cos(2x +1) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = sin 3x + ln( x +5 1 + 2x ); б) y =						2
	x −1					arctg			;
					+3	x
		3
	sin		x

в) y = (arctg(

x ))x 2 ;

г) y = cos (5x) ln(3 −2x);

3at

);

y

y =

π

−

1 +t 3

д) y =

x = a ;

ж)

.

sin

− 2t arccos (t 4

е) ln x + e

at 2

4

x =

1 +t

3

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

		x	2			3		t
а) y 2					x = 2sin					в)sin(x + y)= y .
	=			, x0 =1;	б)				;
		2a	− x				3
								t
					y = 2 cos

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x3 , x0 = 2 ;	б) x = 3cos t ,	t0	=	π .
	y = 4sin t			3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)	lim	ln x ;
	x→∞	3 x
г)			1			1		;
	lim				−
						x2
	x→0 tg x

б)

д)

lim	1 − cos3 x		;
x→0		4x2
π		1
				x	.
lim		− arctgx
x→∞ 2

в)			1		;
	lim x ln
		x
	x→0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x −x 2 .

122

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 6

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 2x3 − x +3 ; б) f (x) = 3sin(5x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = ln(2x −7)+ xex + x ;

в) y = (sin(8x))3 x −1 ;

д) y = 7	7 arctg 2			π	−t 3		;
		cos
				7

x8

3

б) y =

ctg

;

+ 4

x

8 (1 − x2 )4

г) y = x2 arcsin(ln(3x));

x − y

− t

sin(2 t )

е) y3 =

;

ж)

x = e

.

x + y

t

cos (2t )

y = e

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = ln(2x + 7), x0 = 0 ;		2		;	в) cos(x + y)= x + 2 y .
	б) x = t		3
				+ 6
	y = 2 t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x3 , x0 =1;			t	, t0 = 0 .
	б) x = 2 e
		−t
	y = e

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

e x

;

б)

2 x −1

;

в)

1

;

lim

lim

tg(x +1)ln

5

x +1

x→ ∞

x

x→0 ln(1 + 2 x)

x→ −1

1

1

1

;

д)

lim (e3x + x)3x .

г) lim

−

2

x→0

tg(2x)

x →0

x

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 8x − 2x .

123

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 7

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 2 −9x + 2 ; б) f (x) = 2 cos (3x).

2.Продифференцировать указанные функции.

a) y =	1	sin(		1		+ ln(3 − x);	б)
	5		x )−cos
				x
в) y = (x3 + 2x) 3x ;							г)
			4t 2 −	π 2	;		е)
д) y = arcsin5
				4

	sin(ax)					1
				3		2 −		;
y =							x
			+
	cos ( bx )			4

y = e x 2 −x arctg 2 (13 −5x);

	ln y =	x	−c ;	ж) x = 2 ln(ctg t)+1 .
		y
				y = tg t + ctg t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

		ln(x − 2)						2 t
	а) y =					x = 3e
				, x0	=1 ;	б)			;	в) arctg y = x + y .
		x − 2					5 t
						y = e

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

	3				3	+1
				x = t
ра: а) y =		, x0	= −2 ;	б)			, t0	= 0 .
	x				2
				y = t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)	lim					ln x				;
	x→∞ x 2					+ x −1
г)			1			5			;
	lim				−
	x→0					tgx
		x

б)	lim		4x		;
	x→0 tg(π(2 + x))
		1
д)	lim x		ln(ex −1 ).
	x→0

в) lim (sin(x +1)ln(x +1));

x→ −1

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =1 + x 2−1 .

124

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 8

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 1+3 ; б) f (x) = ln(5x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = 5e− x + cos(x2 )+3 3 − 1x ;

в) y = (3 − 2x)x 3 ;

д) = arcctg 2 (t −π); y

t 2

		1	+		x	2	+1
б) y = ln										+sin(1 + 2x);
					x
			x	2	+1			arctg(			x );
г) y = ln
			x −1
е) x2 y 2 +5xy + 4 = 0 ;											ж)

	3	t	3	−t
y =					.
		+		1
x = 2				t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x3e4 x + 3 , x0 =1;	б)		2	t ;	в) 5 arcsin y = x + y .
		x = cos
		y = 2 sin t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

	ра: а) y =	1	x2	+1 , x0 = 4 ;	б) x = 2 cos t ,	t0	= −	π .
		2
					y = sin t			3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)	lim		ln(5x)		;
	x→∞ x + 3
г)			1			1		;
	lim				−
						x
	x→0 e x −1

б)

д)

lim cos (2x)−cos x ; x→0 1 −cos x

3

lim x 4 + ln x .

x→0

в) lim (4 − x2 )tg π4x ;

x→2

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =	1	−	1	.
	x 2
			x

125

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 9

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 4−1 ; б) f (x) = 3sin(5x).

2. Продифференцировать указанные функции.

а) y = (3 − 2sin(4x))2 + x +6

в) y = (arctg( x ))1−x ;

д) = arccos(3π − 2t); y

π t 2

			x
		tg				+1			1 −	1
		; б) y = ln	2						+ 2	x ;
	x		3 − x

г) y = 3 x − 8x2 e− x + 2 ;

е) 2 x = 2 x+y − 2 y ;

y = tg(2 t )			.
ж)	2	( t )
x = cos

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x5 ln x , x0 =1;	б)		2	t ;	в) ln(x + y)= 3x ;
		x = sin
		y = 2 cos t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

1

3

t

π

ра: а) y =

x2

+1 , x0

= 0 ;

б)

x = 8sin

,

t0 =

.

2

3

6

t

y = 8cos

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim		2x +1			;
x→∞ ln(3x)
		1			1			;
г) lim			−
x→0 2 x −1						tgx

	б) lim	1 − cos x		;
		(e3x −1 )	2
	x→0

tg π x

д) lim (2 − x) 2 .

x→1

	π
в) lim arccos x −	2	ctgx ;
x→0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x − πx .

126

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 10

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а)

f (x) =

x −1

; б) f (x) = x2 −5x +10 ;

x +1

2. Продифференцировать указанные функции.

а) y = 1 + 3 4 −5x2

1 +sin(x2 )

x

+ e− x ;

б) y = ln

+5

;

2

1 −sin(x2 )

2x

в) y = (1 − x2 )arccos(x3 );

г) y = cos3 (5x)ln(

x );

π

1

е) y3 +3y + 2ax = 0 ;

y =

t −1 .

д) y = arctg 6 cos

8

+t 2 ;

ж)

2 −t

2

x =

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (x +3)ln x(x +3), x0 =1;	б) x = tg t ;	в) ln(2x + y)= y .
	y = t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x2 − 4x +5 +1 , x0 = 0 ;		2		t , t 0		π .
	б) x = sin		2		=
				t		6
	y = cos

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

x2 + 3x

;

б)

lim

x 2 −1

;

в) lim (sin(3x)ln(tg(3x)));

ln x

ln x

x→∞

x→0

x→0

г) lim

1

1

;

д)

lim (tg x)2x

−π .

−

x

π

x→0 2 x −1

x→2

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx +− 24 .

127

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 11

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

	ем производной: а) f (x) =	1	; б) f (x) = sin(3x +1).
		(x −1)3

2. Продифференцировать указанные функции.

e x

x2 − 2x

2

sin x

а) y =

− 4

− x ;

б) y = ln

;

x2

9x5

+

8

x 2 +1

3

в) y = (cos( x ))arctg x ;

г) y = sin 6 (5x −12)

7

;

x −1

д) y =

t 2

;

е) x sin y + cos 2 y = cos y ;

t −

π

3

arcctg

ж)	x = ln(3			−t 2 )		.
		2			−t
			+ e
	y = t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

		t +3
а) y = (2x +1)cos x , x0 = π ;	x =		;	в)tg(x + y)= 2x .
	б)	2
	y = t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x2 − 4x +5 , x0 = 4 ;			2	,	t 0 = 2 .
	б) x =1	−t	3
		−t
	y = t

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim				tgx			;
	x→π tg(5x)
	2
г)				1			1				;
	lim				−
									π
	π	cos x						x −
	x→2								2

б) lim 2 x −16 ; x→4 sin(π x)

1

д) lim (1 + x2 )x .

x→0

в) lim(2x ln x);

x→0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x + 1x .

128

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 12

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) =

1

; б) f (x) = sin(5x −1).

x2

2. Продифференцировать указанные функции.

а) y =

11

5

9

− x + 2

;

б) y =

1

2

;

9 +

x

+ e

(1 + cos(2x))+ ln 5

x3

x

в) y = (x2 +3) x .

г) y = 5 tg (3x−1)ln(2x − x2 );

π

−t

sin

7

+t

2

3

−1

x = e

д) y = arcctg

;

е) y

= a tg

x (cos x)

;

ж)

+sin( t )

.

π 2

−t

2 t

= e

y

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x ln 2 x ,

x0

= e ;

б) x = 5 cos t

;

в)

2x − y = 2 y .

y = 4sin t

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = (2 + x)3 , x0 = 0 ;	б) x = sin t	, t 0	=	π .
	y = cos(2t)			6

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

x 2 +1

;

б)

lim

ln(tgx)

;

в) lim (tgx ln(sin x));

x→∞ e x + 2

π cos(2x)

x→0

x→4

1

1

lim (ctg x)sin x .

г) lim

−

;

д)

x→0

x→0 tgx

sin(2x)

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 2 −4 x .

129