Лекции по ТВ и МС(ч.1)

Лекция № 10

Абсолютно непрерывные случайные величины

¾[2] – стр. 64 — 74;

¾[3] – стр. 116 — 127.

10.7. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.

2.Плотность распределения вероятностей случайной величины. Свойства плотности распределения.

3.Основные непрерывные случайные величины. Свойство отсутствие последействия.

10.8. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9определения:

¾функции распределения случайной величины;

¾плотности распределения случайной величины;

¾абсолютно непрерывной случайной величины;

¾сингулярной случайной величины;

¾равномерной случайной величины;

¾нормальной случайной величины;

¾показательной случайной величины;

¾распределения Коши;

¾распределения Лапласа;

9свойства:

¾функции распределения случайной величины;

¾плотности распределения случайной величины;

9теоремы:

¾о необходимых и достаточных условиях функции распределения;

¾о необходимых и достаточных условиях плотности распределения;

¾Лебега о разложении функции распределения;

¾о функциях от случайных величин;

109

Абсолютно непрерывные случайные величины

Лекция № 10

уметь:

9доказывать свойства:

¾функции распределения случайной величины;

¾плотности распределения случайной величины.

10.9. Задачи и упражнения

1. Случайная величина ξ имеет функцию распределения

0,

x ≤ 0;

F(x)=

c + c

2

arcsin(x −1),

0 < x ≤ 2;

1

1,

x > 2.

Найти: а) константы

c1 и

c1 ;

б)

плотность распределения

ξ ;

в) вероятность

ξ <

1+

2

P{− 2 ≤ξ < 3}; г) вероятностьP −1 ≤

2

.

2. Случайная величина ξ имеет функцию распределения F(x)= c +

c2 x

1+

x

1

Найти: а) константы c1

и c1 ; б) плотность распределения ξ ; в) P{−1 ≤ξ < 4}.

3. Плотность распределения

случайной

величины

ξ

определена

соотношением:

π

π

а) fξ (x)= cx−4 , x ≥1;

б) fξ (x)=

c

, в)

fξ (x)= c cos x,

−

2 ≤ x ≤ 2

; .

ex + e−x

π

0, x < 0,

x

>

.

0,

2

Найти постоянную c и функцию распределения случайной величины ξ .

4.Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром

λ. Найти распределение случайных величин:

а) η = e−ξ ; б) η

2

=ξ−1 ; в) η

3

={ξ

} — целая часть; г) η

3

= [ξ] — дробная часть.

1

5. Случайная

величина ξ

имеет равномерное

распределение

на

отрезке

[0;π]. Найти распределение случайной величины η = cosξ .

6. Случайная

величина ξ

имеет равномерное

распределение

на

отрезке

[−π 2;π 2]. Найти распределение случайной величины η =

sin ξ

.

110

Лекция № 11

Математическое ожидание случайной величины

Лекция № 11

Математическое ожидание случайной величины.

Тема:

Свойства математического ожидания

Теория вероятностей — это наука,

брошенная человечеством на исследование

мира в его возможных вариантах.

Эммануил Кант

11.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть ξ — дискретная случайная величина, принимающая

значения x1, x2 ,K, причем

pk = P{ω :ξ(ω)= xk }.

Определение 11 .1

Математическим

ожиданием

дискретной случайной

величины ξ называется величина

∞

Mξ = ∑xk pk ,

k =1

если ряд справа сходится абсолютно.

Пример 11.1.

Вычислить

математическое

ожидание биномиального

распределения. Пусть P{ξ = k}= Cnk pk qn −k , k =

, Тогда

0, n

∞

n

n

kn!

Mξ = ∑xk pk = ∑kCnk pk qn −k =∑

pk qn −k =

(n − k )!k!

k =1

k =0

k =0

n

(n −1)!

pk −1q(n −1)−(k −1) ={l = k −1}=

= np∑

((n −1)−(k −1))!(k −1)!

k =1

n −1

(n −1)!

l

(n −1)−l

n −1

= np∑

p

q

=np(p + q)

= np.

((n −1)−l )!l!

l =0

Пример 11.2. Вычислить математическое ожидание геометрического распределения. Пусть P{ξ = k}= pqk , k = 0,1,K Тогда

111

Математическое ожидание случайной величины

Лекция № 11

∞

∞

k

∞

k −1

∞

k ′

1

′

pq

pq

q

M

ξ =

∑xk pk

=

∑kpq

=

pq ∑kq

=

=

=

=

=

.

2

2

pq ∑q

q

pq

1

p

p

k =1

k =0

k =0

k =0

− q

(1 − q)

Пример 11.3.

Вычислить

математическое

ожидание

Пуассона. Пусть P{ξ = k}=

λk e−λ

, k = 0,1,K Тогда

k!

∞

∞

k

−λ

∞

k −1

∞

l

Mξ = ∑xk pk = ∑k

λ e

=λe−λ ∑

λ

=λe−λ ∑λ

=λe−λ

k!

(k −1)!

k =1

k =0

k =1

l =0

l!

распределения

eλ = λ.

11.2 .Математическое ожидание произвольной случайной величины

	Случайная величина ξ называется интегрируемой,					если для
Определение 11 .2	нее при некотором h > 0 выполнено условие
	∑∞ k P{kh ≤		ξ		< (k +1)h}< ∞	(11.1)
	k =1

Для существования математического ожидания дискретной Теорема 11.1. случайной величины ξ необходимо и достаточно, чтобы при

некотором h > 0 выполнялось условие (11.1). Доказательство.

Необходимость. Так как для дискретной случайной величины

k P{kh ≤

ξ

< (k +1)h}= k

∑ pi

<

1

∑

xi

pi .

kh≤

x

<(k +1)h

h kh≤

x

<(k

+1)h

i

i

Следовательно, если ξ имеет конечное математическое ожидание, т.е.

M

ξ

= ∑

xk

pk < ∞,

(11.2)

k

тогда выполнено и (11.1).

Достаточность. Пусть хотя бы при одном h > 0 ряд (11.1) сходится, тогда сходится и ряд (11.2), так как

∞

∞

(k +1)h P{kh ≤

< (k +1)h}

∑

xi

pi < ∑ ∑

xi

pi < ∑

ξ

i

k =0 kh≤

xi

<(k +1)h

k =0

≤ h + h∑∞ k P{kh ≤ ξ < (k +1)h}.

k =0

112

Лекция № 11

Математическое ожидание случайной величины

Теорема доказана.

Если

ξ

и

η дискретные случайные величины, a , b —

Лемма 11.1.

вещественные числа, то величина

aξ +bη

интегрируема,

причем справедлива формула

M(aξ +bη)= a Mξ +b Mη .

Доказательство

. Пусть случайные величины ξ и η имеют соответственно

ряды распределения

ξ

x1

x2

…

xi

…

η

y1

y2

…

y j

…

p1

p2

…

pi

…

q1

q2

…

q j

…

тогда случайная величина

aξ +bη представима в виде (не все числа верхней

строки различны!)

aξ + bη

ax1 +by1

…

ax1 +by j

…

ax2 +by1

…

axi +by j

…

p1q1

…

p1q j

…

p2q1

…

pi q j

…

Таким

образом

M

aξ +bη

= ∑

axi +by j

pi q j ≤

a

∑

xi

pi q j +

b

∑

y j

pi q j =

a

∑

xi

pi +

b

∑

y j

q j ,

i, j

i, j

i, j

i

j

так как

∑ pi q j = pi

и ∑ pi q j = q j .

(11.3)

j

i

Следовательно, случайная величина aξ +bη интегрируема. Продолжая, с учетом формул (11.3), заметим, что

M(aξ +bη)= ∑(axi +by j )pi q j = a∑xi pi q j +b∑y j pi q j =

i, j	i, j	i, j
= a∑xi pi +b∑y j q j = Mξ + Mη.
i	j

Если ξ неотрицательная интегрируемая случайная величина,

a η <ξ , то случайная величина η также интегрируема,

Лемма 11.2.

причем

Mη ≤ Mξ .

113

Математическое ожидание случайной величины

Лекция № 11

Доказательство. Не трудно видеть, т.к. {η > c} {ξ > c}, то справедливо

∑∞ k P{kh ≤ η < (k +1)h}=∑∑∞ k P{kh ≤ η < (k +1)h}=∑∑∞ ∞ P{kh ≤ η < (k +1)h}=

k =1

k =1 r =1

r =1 k =r

∞

∞

∞ ∞

= ∑P{

η

≥ rh}≤ ∑P{ξ ≥ rh}=∑∑P{kh ≤ξ <

(k +1)h}=

r =1

r =1

r =1 k =r

∞ k

∞

= ∑∑P{kh ≤ξ < (k +1)h}=∑k P{kh ≤ξ < (k +1)h}.

k =1 r =1

k =1

Следствие 11.1. Если ξ неотрицательная случайная величина, то Mξ ≥ 0 .

Следствие 11.2. Если P{ξ = c}=1, то Mξ = c .

Для всякой интегрируемой случайной величины ξ существует

Теорема 11.2.

предел

+∞

lim

∑kh P{kh ≤ξ < (k +1)h}.

h→0

k =−∞

Доказательство

. Обозначим через ξh дискретную случайную величину, для

которой ξh = kh при kh ≤ξ < (k +1)h . Тогда при любом h > 0

0 ≤ξ −ξh < h .

Заметим, что при любых h > 0 ,

h1 > 0

ξh −ξh

≤

ξ −ξh

+

ξ −ξh

≤ h + h1 .

(11.4)

1

1

Так как случайная величина ξ интегрируема, то существует такое h > 0 , что

∑∞ k P{kh ≤ ξ < (k +1)h}< +∞.

k =1

Далее

∑∞ k P{kh ≤ ξh < (k +1)h}= ∑∞ k P{ξh = kh}=

k =1					k =1
∞					∞		(− k +1)h}≤
= ∑k P{kh ≤ξ < (k +1)h}+ ∑k P{− kh ≤ξ <
k =1					k =1
∞					∞	−1)h ≤ξ < (− k +1)h}=
≤ ∑k P{kh	≤ξ				< (k +1)h}+ ∑k P{(− k
k =1					k =1
= ∑∞ k P{kh ≤			ξ		< (k +1)h}+ ∑∞ (k +1)P{−(k +1)h <ξ < −kh}=
k =1					k =0

114

Лекция № 11 Математическое ожидание случайной величины

= 2∑∞ k P{kh ≤ ξ < (k +1)h}< +∞.

k =1

Следовательно, величина ξh интегрируема. Из соотношения (11.4) следует,

что величина ξh	интегрируема для всех h1 > 0 , т.к.
1
		ξh		≤		ξh		+ h + h1,
		1

причем Mξh1 = ∑+∞ kh1 P{kh1 ≤

ξ

< (k +1)h1}.

k =−∞

∑+∞ kh2 P{kh2 ≤

ξ

< (k +1)h2}− ∑+∞ kh1 P{kh1 ≤

ξ

< (k +1)h1}

=

k =−∞

k =−∞

=

Mξh

2

− Mξh

≤ M

ξh

2

−ξh

≤ξh

2

+ξh .

1

1

1

Следовательно,

lim

Mξh

− Mξh

= 0

h1

→0

2

1

и предел

h2

→0

+∞

≤ξ < (k +1)h}

Mξh

= lim

∑khP{kh

(11.5)

h→0

k =−∞

существует.

Математическим ожиданием интегрируемой случайной

Определение 11 .3 величины ξ называется величина

+∞

Mξ = lim ∑kh P{kh ≤ξ < (k +1)h}.

h→0 k =−∞

11.3. Свойства математического ожидания

1)Если P{ξ = c}=1, то Mξ = c .

2)Если ξ — интегрируемая неотрицательная случайная величина, то Mξ ≥ 0 .

3)Если ξ ≤ C , то M ξ ≤ C .

4)Если ξ — интегрируемая случайная величина, то aξ интегрируема и имеет место формула M aξ = a Mξ . Другими словами, постоянный множитель можно выносить из под знака математического ожидания.

115

Математическое ожидание случайной величины	Лекция № 11
5) Если ξ и η интегрируемы, то их сумма так же интегрируема, причем имеет
место формула M(ξ +η)= Mξ + Mη .
Справедливость 1) следует из того, что ξ дискретна и из	определения
математического ожидания для дискретной случайной величины.

2)	Так как если ξ ≥ 0 , то и ξh ≥ 0 для всех h > 0 по лемме 11.2 и следовательно
Mξ ≥ 0 на основании формулы 11.5.
3)	В данном случае −C − h ≤ξh ≤ C , откуда, согласно свойству 2) и формуле 11.5,
получим −C − h ≤ Mξh ≤ C или −C ≤ Mξ ≤ C .
4)	Пусть a > 0 . Тогда, если (aξ)h = kh при kh ≤ aξ < (k +1)h , то

(aξ)h = aξh и M(aξ)h = a Mξh

a a

на		основании леммы 11.1.			Пусть		a = −1.	Тогда,	полагая	(−ξ)h = kh при
kh ≤ −ξ < (k +1)h , получаем				ξ	h	+ (−ξ)	= −h ,	если ξ	— не	целое число, и
						h		h
			= 0 , если ξ — целое. Поэтому
ξ	h	+ (−ξ)
		h	h

− h ≤ Mξh + M(−ξ)h ≤ 0

на основании леммы 11.2. Переходя к пределу, получаем Mξ + M(−ξ)= 0 . Значит и для любого a < 0 .

M aξ = M(− a ξ)= −a Mξ = a Mξ .

5) Если (ξ +η)h = kh при kh ≤ξ +η < (k +1)h , то из неравенств

ξh ≤ξ <ξh + h и ηh ≤η <ηh + h

следует

ξh +ηh ≤ (ξ +η)h <ξh +ηh + 2h .

Применяя к последнему неравенству лемму 11.2, получим неравенство

Mξh + Mηh ≤ M(ξ +η)h ≤ Mξh + Mηh + 2h .

Переходя к пределу при h → 0 , получим требуемое равенство.

11.3. Вычисление математического ожидания

Альтернативное определение математического ожидания случайной величины, использующее интеграл Лебеда.

116

Лекция № 11	Математическое ожидание случайной величины
Пусть	(Ω,F, P) — вероятностное пространство, ξ(ω) —

случайная величина на нем. Говорят, что случайная величина ξ(ω) имеет математическое ожидание, если существует

Определение 11 .4 интеграл Лебега

∫ξ(ω)d P .

Ω

Этот интеграл называют математическим ожиданием случайной величины ξ(ω).

11.3.1.Дискретная случайная величина

Как нам уже известно, в этом случае математическое ожидание равно сумме

ряда

∞			∞
Mξ = ∑xk P{ξ		= xk }= ∑xk pk .
k =1			k =1
11.3.2. Абсолютно непрерывная случайная величина
Пусть случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей:
fξ (x), тогда Mξ = ∫−+∞∞ xfξ (x)dx .
Пример 11.4. Пусть случайная		величина ξ		имеет равномерное
распределение на отрезке [a;b], т.е. плотность распределения ξ равна
1			, x [a;b];
fξ (x)=
	b − a
0,			x [a;b].

+∞	b x			b2 − a2				a +b
Тогда Mξ = ∫−∞ xfξ (x)dx = ∫a			dx =				=	2	.
		b − a		2(b − a)
Пример 11.5. Пусть		случайная			величина ξ имеет показательное
распределение с параметром λ . В данном случае
						−λx
		fξ (x)= λe					, x > 0;
				0,			x ≤ 0.

117

Математическое ожидание случайной величины Лекция № 11

	Mξ = ∫+∞xfξ (x)dx = λ∫+∞ xe−λx dx = −∫+∞ xd (e−λx )= − xe−λx				+∞ + ∫+∞ e−λxdx =		1	.
	−∞	0	0		0	0	λ

11.4. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 75 — 86;

¾[3] – стр. 158 — 172.

11.5. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Математическое ожидание случайной величины.

2.Свойства математического ожидания.

11.6. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9определения:

¾математического ожидания дискретной случайной величины;

¾интегрируемой случайной величины;

¾математического ожидания произвольной случайной величины;

9свойства:

¾математического ожидания случайной величины;

9теоремы:

¾о необходимых и достаточных условиях существования математического ожидания случайной величины;

¾о существовании предела для интегрируемой случайной величины;

уметь:

9доказывать теоремы:

¾о необходимых и достаточных условиях существования математического ожидания случайной величины;

¾о существовании предела для интегрируемой случайной величины;

9доказывать свойства:

¾математического ожидания;

118