матан 3 курс 2013 / практика / Екстремуми функцій багатьох змінних / практичне заняття № 21

Міністерство освіти і науки України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 21

з теми: «Екстремум функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.14 Екстремуми функцій багатьох змінних

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової циклової комісії ПМ

комісії «Прикладна математика». Велікодна О. В.

протокол № ____ від _______200__ р.

Голова циклової

комісії ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Екстремум функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.

Мета:

• Дидактична: виробити вміння досліджувати функції багатьох змінних на екстремум та умовний екстремум.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів:

3. Актуалізація опорних знань:

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 21.

Тема: «Екстремум функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.»

Інструктаж щодо виконання практичного завдання.

Визначення 1. Нехай функція ƒ визначена на множині .Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму), якщо існує такий окіл , що для всіх виконується нерівність (відповідно нерівність ). Якщо окрім того, для , то точка називається точкою строгого локального максимуму (мінімуму). Точки локального максимуму та мінімуму називають точками локального екстремуму.

Теорема. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція ƒ визначена в околі точки та якщо в цій точці існує частинна похідна , то вона дорівнює 0, тобто .

Визначення 2. Точка , в якій всі частинні похідні функції ƒ існують та дорівнюють 0: називається критичною точкою функції ƒ.

Квадратична форма називається додатно (від’ємно) визначеною, якщо для будь-якого виконується нерівність . Додатно чи від’ємно визначена квадратична форма називається знаковизначеною, інакше – знакозмінною.

Теорема (достатня умова екстремуму).Нехай функція ƒ(х), , двічі неперервно диференційована в околі своєї критичної точки . Тоді, якщо другий диференціал функції ƒ є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то є точкою строгого мінімуму (максимуму). Якщо ж другий диференціал – знакозмінна квадратична форма, то в точці екстремуму немає.

Користуючись критерієм Сільвестрі, маємо: для того, щоб квадратична форма була додатно визначеною, необхідно та достатньо, щоб . Для того, щоб квадратична форма А(х) була від’ємно визначена, необхідно та достатньо, щоб квадратична форма була додатно визначеною.

Для функції двох змінних z=ƒ(х,у) визначимо умови існування чи відсутності локального екстремуму в даній точці.

Нехай функція ƒ(х,у) двічі неперервно диференційована в околі точки та ця точка є критичною. . Відповідні частинні похідні другого порядку в точці позначимо . Якщо - квадратична форма додатна, якщо - квадратична форма від’ємна. В силу достатньої умови існування екстремуму маємо: якщо - точка є точкою строгого локального мінімуму, якщо - точка є точкою строгого локального максимуму. Якщо ж - квадратична форма знакозмінна та екстремуму в точці не існує. Якщо - то точка може як бути точкою екстремуму, так й не бути єю.

Завдання для студентів.

Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. – Том 3. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

Стор. 117 – 118, №№ 1 – 8 , стор. 120, №№ 25 – 26.