матан 3 курс 2013 / практика / Числові ряди / практичне заняття № 15
.docМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 15
з теми: «Дослідження рядів на абсолютну та умовну збіжність.»
Модуль КЗН-02.ПР.О.03.10 Числові ряди
Дисципліна: «Математичний аналіз»
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики
протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна
|
Розробив викладач Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІI
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Дослідження рядів на абсолютну та умовну збіжність.
Мета:
-
Дидактична: виробити вміння досліджувати на абсолютну та умовну збіжність числові ряди.
-
Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.
-
Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.
Тип: практичне заняття
Вид: практичне заняття – дослідження.
Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.
Наочні посібники: -
Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.
Обчислювальні засоби: -
Література:
-
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
-
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
ХІД ЗАНЯТТЯ
-
Організаційна частина:
-
відсутні;
-
підготовка до заняття;
-
перевірка д/з.
-
Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – числовий ряд, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
-
Актуалізація опорних знань: визначення числового ряду, необхідна умова збіжності числового ряду, ознаки збіжності знакододатного числового ряду, визначення абсолютної та умовної збіжності ряду, ознаки збіжності для знакозмінних рядів.
-
Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:
-
Інструктаж щодо виконання практичної роботи.
-
Видача завдань для виконання роботи.
-
Виконання студентами практичної роботи.
-
Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.
-
Підведення підсумків. Оцінювання.
-
Домашнє завдання:
Конспект практичного заняття № 15.
Тема: «Дослідження рядів на абсолютну та умовну збіжність.»
Інструктаж щодо виконання практичного завдання.
Теоретичні відомості.
Теорема 1 (ознака Лейбніца для знакочередующегося ряду). Якщо послідовність спадає та дістає до 0, тобто , то ряд збігається, причому, якщо , , то при будь-якому n = 1, 2, … виконується нерівність .
Визначення 1. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо ряд, члени якого є абсолютними величинами членів даного ряду, тобто збігається.
Теорема 2. (критерій Коші абсолютної збіжності ряду). Для того, щоб ряд збігався абсолютно, необхідно та достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер , що для всіх та всіх цілих р ≥ 0 мало б місце
Теорема 3. Якщо ряд абсолютно збігається, то він збігається.
Теорема 4. Якщо ряд збігається абсолютно, то будь-який ряд , складений з тих самих членів, що й даний ряд, але взятих в іншому порядку, також абсолютно збігається та має ту ж саму суму,тобто =
Теорема 5. Якщо ряди та абсолютно збігаються, то ряд, складений з всіх можливих попарних добутків членів цих рядів, також абсолютно збігається, причому його сума s дорівнює добутку сум даних рядів: якщо , а , то s = s´s´´. (абсолютно збіжні ряди можна перемножать почленно.)
Визначення 2. Збіжний, але не абсолютно збіжний ряд називається умовно збіжним.
Розглянемо два ряди та . Відповідно до визначення члени цих рядів невід’ємні.
Лемма 1. Якщо ряд умовно збігається, то обидва ряди та розбігаються.
Теорема 6 (Рімана). Якщо ряд з дійсними членами умовно збігається, то для будь-якого дійсного числа s можна так переставити члени цього ряду, що сума отриманого ряду буд дорівнювати s.
Теорема Рімана показує, що одне з основних властивостей скінчених сум чисел – комутативність додавання – не переноситься на збіжні ряди, тобто на нескінченні суми: якщо ряд збігається, але не абсолютно, то його сума залежить від порядку доданків.
Теорема 1. (ознака збіжності Абеля). Якщо послідовність обмежена та монотонна, а ряд , то ряд також збігається.
Теорема 2. (ознака збіжності Дирихлє). Якщо послідовність монотонна та нескінченно мала, тобто , а послідовність сум обмежена, то ряд збігається.
Приклади виконання практичного завдання.
Практичне завдання для студентів
Завдання Дослідити збіжність знакозмінного ряду.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
Домашнє завдання: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. Т. 2. Стор. 320, № 1, 2, 3; Стор. 321, № 8; Стор. 322, № 12, 13.