матан 3 курс 2013 / практика / Границя і неперервність функцій багатьох змінних / практичне заняття № 18

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 18

з теми: «Дослідження функцій багатьох змінних на рівномірну неперервність.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.12 Границя і неперервність функцій багатьох змінних

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Дослідження функцій багатьох змінних на рівномірну неперервність.

Мета:

• Дидактична: виробити вміння досліджувати функції багатьох змінних, а саме: знаходити їх область визначення та множину значень; знаходити границі функції в точці, досліджувати функції на неперервність та рівномірну неперервність на множині.

• Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.

• Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат – методи дослідження функцій багатьох змінних, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

3. Актуалізація опорних знань: визначення функції двох, трьох змінних, визначення області визначення функції багатьох змінних, види множин в евклідовому просторі, визначення границі функції двох змінних, визначення неперервної та рівномірно неперервної функції двох змінних, теорема Кантора.

• Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

4. Інструктаж щодо виконання практичної роботи.

5. Видача завдань для виконання роботи.

6. Виконання студентами практичної роботи.

7. Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.

8. Підведення підсумків. Оцінювання.

9. Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 18.

Тема: «Дослідження функцій багатьох змінних на рівномірну неперервність.»

Інструктаж щодо виконання практичного завдання.

Визначення 1. Множина всіх впорядкованих систем n дійсних чисел, для яких визначені операції додавання та множення на число та скалярний добуток, називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором та позначається R. Його елементи називаються n-вимірним векторами, а числа - їх координатами.

Визначення 2. Множина всіх впорядкованих систем n дійсних чисел, для яких визначена формула відстані , називається точковим n-вимірним арифметичним евклідовим простором й також позначається R. Його елементи називаються точками, а числа - їх координатами. Точка О = (0, 0, …, 0) називається початком координат цього простору.

Визначення 3. Нехай та . Сукупність всіх таких точок , що , називається n-вимірним відкритим шаром радіусу ε з центром в точці х чи ε – околом точки х в просторі R та позначається U(х; ε). Отже, - ε – окіл точки х в просторі R.

Визначення 4. Точка називається границею послідовності точок простору R, m = 1, 2, …, якщо . В цьому випадку пишуть та говорять, що послідовність збігається до точки х. Послідовність, що збігається до деякої точки простору R, називається збіжною. Для того, щоб послідовність точок простору R, m = 1, 2, … була збіжною, необхідно та достатньо, щоб вона була фундаментальною, тобто задовольняла умові Коші.

Визначення 5. Множина в n-вимірнім просторі називається обмеженою, якщо воно вміщується в деякім n-вимірнім кубі (шарі).

Визначення 6. Послідовність точок простору Rназивається обмеженою, якщо множина її значень обмежена.

З будь-якої обмеженої послідовності точок простору R можна виділити збіжну підпослідовність.

Визначення 7. Точка множини називається його внутрішньою точкою, якщо у неї існує ε – окіл, що вміщується в цій множині. Сукупність всіх внутрішніх точок даної множини називається його внутрішністю.

Визначення 8. Множина, у якої всі точки є внутрішніми, називається відкритою.

Визначення 9. Точка простору називається точкою доторкання деякої множини, якщо будь-якій її окіл вміщує хоча б одну точку цієї множини.

Визначення 10. Множина називається замкнутою, якщо вона вміщує всі свої точки доторкання.

Лема 2. Замикання всякої множини є замкнутою множиною.

Теорема 1. З будь-якої послідовності точок обмеженої замкнутої множини можна виділити збіжну до його точки підпослідовність.

Компактом називається обмежена замкнута множина.

Визначення 11. Множина , будь-які дві точки якого можна з’єднати в ній кривою, називається лінійно зв’язною множиною. Лінійно зв’язна відкрита множина називається областю.

Нехай дана множина та кожній точці ставиться дійсне число u. Тоді говорять, що на множин Х визначена числова функція . Множина Х називається областю визначення функції, х – аргумент (незалежна змінна), функція - функція n незалежних змінних.

Функція , яка може бути отримана за допомогою скінченої кількості арифметичних операцій та композицій елементарних функцій однієї змінної від змінних називається елементарною функцією n незалежних змінних.

Функція, що задана формулою – це функція, областю визначення якої є всі значення аргументу, для яких ця формула має зміст та результатом кожної операції, вказаної у формулі, є дійсне число.

Графіком функції двох змінних ƒ(х, у) = u, де (х, у) належить до множини Х називають множину всіх точок (х, у, ƒ(х, у)) простору R² .

С- рівнем (с – дійсне число) функції називається множина точок х множини Х, що задовольняє умову . С-рівні для функції двох змінних називають лініями рівня, с-рівні для функції трьох змінних – поверхнями рівня.

Нехай а є чи скінченою точкою числової осі, чи однією з точок ∞, +∞, -∞.

Визначення 12. Нехай функція ƒ задана на множині та х - скінчена чи нескінченно віддалена точка доторкання множини Х. Точка а називається границею функції ƒ в точці х, якщо для будь-якої послідовності точок множини Х, такої що , числова послідовність має своєю границею точку а, тобто .

Визначення 13. Нехай функція ƒ задана на множині та х - скінчена чи нескінченно віддалена точка доторкання множини Х. Точка а називається границею функції ƒ в точці х, якщо для будь-якого околу точки а U(а) існує такий окіл точки х, що .

.

Якщо точка х належить множині Х та , то функція називається неперервною в точці х.

Якщо число а є границею функції ƒ(х) по множині Е в точці х, то пишуть . Якщо множина х вміщує окіл точки х, окрім, можливо, самої точки х, то границя функції ƒ(х) по множині Х в точці х співпадає із звичайною границею функції ƒ(х) в цій точці. Якщо множина Х складається з точок деякої неперервної кривої Г, що проходить через точку х, то називають границею функції по кривій Г в точці х.

Границю функції двох змінних ƒ(х, у) = u в точці позначають

Властивості неперервних функцій багатьох змінних співпадають із властивостями неперервних функцій однієї змінної, окрім тих, де важливим є впорядкованість точок числової прямої (однобічні границі, неперервність монотонних функцій).

Теорема. Якщо має місце композиція g(ƒ(х)) на множині Х, та існують границі , , , то існує й границя . Об’єднуючи формули, будемо мати =. Ця формула називається формулою заміни змінної для границь функцій.

Наслідки. Якщо відображення ƒ є неперервним в точці х, а функція g неперервна в точці , то складна функція g(ƒ) також неперервна в точці х (неперервна функція від неперервної неперервна).

Елементарні функції багатьох змінних – це функції, що отримані з основних елементарних функцій однієї змінної за допомогою чотирьох основних арифметичних операцій та композиції основних елементарних функцій.

Теорема. Будь-яка елементарна функція багатьох змінних неперервна на множині свого визначення.

Функція називається неперервною на будь-якій множині, якщо вона є неперервною в кожній її точці.

Теорема . Будь-яка неперервна на компакті функція обмежена та приймає на ньому найбільше та найменше значення.

Теорема . Функція, неперервна на лінійно зв’язній множині, якщо приймає будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.

Наслідок. Функція, що неперервна на замкненні лінійно зв’язної множини, приймаючи будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.

Визначення. Функція ƒ називається рівномірно неперервною на множині , якщо для будь-якого .

Тут δ залежить тільки від ε та не залежить від вибору х та х´ з множини Х.

Теорема Кантора. Будь-яка неперервна на компакті функція рівномірно неперервна на ньому.

Наслідки. Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

Завдання для студентів.

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Знайти наступні подвійні границі:

, , , .

3. Знайти точки розриву наступних функцій:

Домашнє завдання: Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. – Том 3. - Стор. 30, № 8, стор.32, № 14, стор. 35, № 37, стор. 37, № 49, стор. 39, № 62, стор. 41, № 77.