матан 3 курс 2013 / лекции / Oglobina

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

У ТРЬОХ ЧАСТИНАХ

ЧАСТИНА 2

y

y=f (x)

f (b)

f (c)=0

0 a c

b

x

f (b)

Суми Видавництво СумДУ

2010

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

для напрямів підготовки 0501,0502 зі спеціальностей

6.050104 „ Фінанси”, 6.050107 „ Економіка підприємства”,

6.050108 „ Маркетинг”, 6.050201 „ Менеджмент організацій” для студентів денної та заочної форм навчання

У ТРЬОХ ЧАСТИНАХ

ЧАСТИНА 2

Затверджено на засіданні кафедри

прикладної та обчислювальної математики як конспект лекцій

з дисципліни „ Вища математика”. Протокол № 6 від 22.12.2009 р.

Суми Видавництво СумДУ

2010

Вища математика: конспект лекцій у 3 частинах / Укладач О.І. Оглобліна. – Суми: Вид-во СумДУ, 2010. – Ч.2. – 111 с.

Кафедра прикладної та обчислювальної математики

		3
		Зміст	С.
РОЗДІЛ 3		МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ........................................................	5
§ 1 ФУНКЦІЇ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ТА СПОСОБИ ЇХ ЗАВДАННЯ.....			5
1.1	ХАРАКТЕРИСТИКА ЗМІННИХ ВЕЛИЧИН..........................................................		5
1.2	ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ..................................		6
1.2.1 Способи завдання функції ...................................................................			6
1.2.2		Деякі властивості функцій................................................................	8
1.2.3		Деякі види функцій. Класифікація функцій.......................................	9
§ 2 ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ .................................................................................			13
2.1	ГРАНИЦЯ ПОСЛІДОВНОСТІ Й ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ.................		13
2.1.1		Границя послідовності. Геометричний зміст границі
послідовності..............................................................................................			13
2.1.2		Границя функції на безкінечності...................................................	15
2.1.3		Границя функції в точці...................................................................	16
2.1.4		Однобічні та нескінченні границі функції в точці.........................	18
2.1.5		Нескінченно малі та нескінченно великі величини.........................	19
2.1.6		Основні теореми про границі ..........................................................	20
2.2	НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ РОЗРИВУ ................................................		24
§ 3 ПОХІДНА .....................................................................................................			30
3.1	ЗАДАЧІ, ЩО ПРИВОДЯТЬ ДО ПОХІДНОЇ........................................................		30
3.1.1 Задача про дотичну...........................................................................			30
3.1.2 Задача про швидкість руху матеріальної точки..........................			31
3.1.3 Задача про маргінальні вартість, доход, прибуток ....................			32
3.2	ПОХІДНА, РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ, ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ ..........................		33
3.3	ОСНОВНІ ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ...................................		36
3.4	ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ .....................		37
3.5	ПРИКЛАДИ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ.................................................		38
3.6	ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ДЕЯКИХ ВИДІВ ФУНКЦІЙ ............................................		42
3.6.1		Диференціювання функції, заданої неявно.....................................	42
3.6.2		Диференціювання функції, заданої параметрично.......................	43
3.6.3		Диференціювання степенево - показникової функції y=f(x)ϕ(x) ...	45
3.7	ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ........................................................................		47
3.8	ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ.................................		49
3.9	ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ...........................		53
3.9.1 Зростання, спадання та екстремум функції................................			54
3.9.2 Найбільше та найменше значення функції....................................			62
3.9.3 Опуклість та угнутість графіка, точки перегину.......................			65
3.9.4		Асимптоти кривої...........................................................................	70
3.9.5 Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка.........			76

4

§ 4 ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ..............................................................		82
4.1	ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ, СПОСОБИ ЇХ ЗАВДАННЯ. ОБЛАСТЬ
ВИЗНАЧЕННЯ. ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ .....................................................		82
4.1.1 Поняття функції кількох змінних та області її визначення ......		82
4.1.2 Способи завдання функції декількох змінних.................................		85
4.1.3 Границя та неперервність функції декількох змінних...................		86
4.2	ЧАСТИННІ ПОХІДНІ, ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ.
ГРАДІЄНТ...........................................................................................................		88
4.2.1 Частинні похідні..............................................................................		88
4.2.2 Диференціал функції декількох змінних .........................................		90
4.2.3 Градієнт функції двох змінних. Похідна за напрямом ..................		92
4.3	ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ. ДИФЕРЕНЦІАЛ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ ....................................................................................		95
4.4	ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ...............................................	96
4.5	УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ. МЕТОД
МНОЖНИКІВ ЛАГРАНЖА..................................................................................		100
4.6	НАЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ В ЗАМКНЕНІЙ ОБЛАСТІ107
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.................................................................................		111

5

РОЗДІЛ 3 МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Математичний аналіз вивчає змінні величини та функціональні залежності між ними.

§ 1 ФУНКЦІЇ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ТА СПОСОБИ ЇХ ЗАВДАННЯ

1.1 ХАРАКТЕРИСТИКА ЗМІННИХ ВЕЛИЧИН

Означення 1

Величиною називають те, що можна виразити в певних одиницях та характеризувати числовим значенням.

Наприклад, ціна товару, кількість виробів, прибуток, довжина кола, довжина шляху, швидкість, маса.

Величини бувають розмірні і безрозмірні.

Розмірність – одиниці, через які величина виражається: грош. од., м2, кг.

Додавати і віднімати можна тільки величини однакової розмірності.

Множити та ділити можна величини будь -якої розмірності. У математиці частіше за все вивчають безрозмірні величини. Величини бувають постійні та змінні.

Означення 2

Величина, яка зберігає одне й те саме значення за умов, що розглядаються, називається постійною, або сталою.

Змінною називається величина, яка приймає різні числові значення в границях умов, що вивчаються.

6

1.2 ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ

Розглянемо	дві	множини	будь - яких	елементів
X = {x1 x2 ,..., xn } та Y = {y1 y2 ,..., yn }.
Означення
Якщо кожному елементу x X за якимсь законом				f	можна
поставити у відповідність визначений елемент y Y ,				то кажуть
що задана функція відображення множини X у множину Y :
X ¾¾®Y , або
f
y = f (x) .					(1)
Відповідно до такого означення величина x X називається
незалежною змінною, або аргументом, а величина					y Y –
залежною змінною, або значенням функції. Буквою				f	позна-

чають закон відповідності між цими величинами.

Множина X називається областю визначення (існування)

функції (ОВФ) Позначається D( f ) . Множина Y називається

областю значень функції (ОЗФ).

Якщо область визначення не обумовлена спочатку, то за ОВФ беруть область допустимих значень (ОДЗ) змінної X ,

тобто множину значень x , для якої функція y = f (x) має сенс.

Приклад

Функція y = x2 + 10 - x має ОДЗ x Î(- ¥,10]. У загальному

випадку ОВФ збігається з ОДЗ.

Якщо ж розглядається задача економічного змісту, то частіше за все на незалежну змінну накладається умова невід’ємності: x ³ 0 . Тоді ОВФ буде: x Î[0,10].

1.2.1 СПОСОБИ ЗАВДАННЯ ФУНКЦІЇ

Існує декілька способів завдання функції:

а) аналітичний спосіб: функція задається формулою виду y = f (x).

						7
Так функція		y = x2 +				10 - x задана аналітично. Треба розрі-
зняти функцію та її аналітичний вираз. Так одна функція
y =		2	,	якщо x < 0;
	f (x) = x
	2x + 5,				якщо x ³ 0
має два аналітичних вирази (якщо x < 0 , і якщо x ³ 0 ).
б) табличний спосіб являє собою таблицю значень аргуме-
нту і відповідних значень залежної змінної.
N	1			2		3	4
x	0			0.5		1.5	3
y	2			25		30	65
Тут ОВФ: x Î[0,3], ОЗФ:						y Î[2,65].
в) графічний спосіб: функція задається у вигляді графіку.
Точки графіку (x, y) і задають співвідношення між x та y .
				Суміщені графіки
						8
						6
						4
						2
						0			X
-3	-2			-1		-2 0	1	2
									3
						-4
						-6
						-8
						-10
						-12
		y1=x^2-1				y2=x^2+1		y=k*(y1/y2)

y = x 2

8

1.2.2ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ

1.Парність і непарність функції.

Означення 1

Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-якого х з ОВФ виконується рівність f (- x) = f (x) і непарною, якщо f (- x) = - f (x). Всі інші функції називаються функціями зага-

льного виду.

Приклад 1

– парна функція, оскільки f (- x) = f (x), y = x 3 – непарна функція, бо f (- x) = - f (x), y = x3 + x2 – функція зага-

льного виду, оскільки вищенаведені рівності не виконуються. Графік парної функції симетричний відносно осі ординат,

графік непарної – відносно початку координат (точки (0,0)). 2. Монотонність функції.

Означення 2

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадаючою) на проміжку [a,b], якщо більшому значенню аргументу на цьому проміжку відповідає більше (менше) значення функції. Або функція називається зростаючою на [a,b], якщо виконуються

умови:
"x1 , x2	Î[a,b]: x2	> x1	f (x2 ) > f (x1 )	(2)
відповідно функція називається спадаючою на [a,b], якщо
"x1 , x2	Î[a,b]: x2	> x1	f (x2 ) < f (x1 )	(3)

Зростаючі і спадаючі функції носять назву строго монотон- них функцій. Якщо ж в умовах (2), (3) строгі нерівності між функціями змінити на нестрогі:

"x1 , x2 Î[a,b]: x2 > x1 f (x2 ) ³ f (x1 ) ,

"x1 , x2 Î[a,b]: x2 > x1 f (x2 ) £ f (x1 ) ,

то такі функції називаються просто монотонними функціями.

9

Приклад 2

y = x2 – монотонна функція. На проміжку (− ∞,0] вона спадаюча, а на проміжку [0, ∞) вона зростаюча.

3. Обмеженість функції.

Означення 3

Функція y = f (x) називається обмеженою на проміжку [a,b], якщо існує таке додатне число M > 0 , що

f(x) ≤ M, x [a,b].

Віншому разі функція називається необмеженою.

Приклад 3

Функція y = sin x - обмежена функція, бо на всій ОВФ sin x ≤ 1 .

4. Періодичність функції.

Означення 4

Функція y = f (x) називається періодичною з періодом

T ¹ 0 , якщо "x ÎОВФ $! T ÎR, T ¹ 0 :

f (x + T ) = f (x).

Приклад 4

Функція y = sin x має період Т=2π, бо xОВФ sin( x + 2p ) = sin( x ) .

1.2.3ДЕЯКІ ВИДИ ФУНКЦІЙ. КЛАСИФІКАЦІЯ ФУНКЦІЙ

1.Функції, задані явно та неявно.

Означення 1

Функція називається явно заданою, якщо вона задається формулою, у якої в правій частині стоїть сама залежна змінна.

y = f (x).

(4)