Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матан 3 курс 2013 / лекции / viznachenij_integral.docx
Скачиваний:
108
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
1.67 Mб
Скачать

Змістовий модуль 9

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Тема 9.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.

Тема 9.2. Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла.

Тема 9.3. Формула Ньютона – Лейбніца.

Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла.

Тема 9.5. Обчислення визначеного інтеграла.

9.5.1. Формула Ньютона – Лейбніца.

9.5.2. Інтегрування підстановкою.

9.5.3. Інтегрування частинами.

9.5.4. Інтегрування парних і непарних функцій в симетричних межах.

Тема 9.6. Невласні інтеграли.

9.6.1. Інтеграл з нескінченним проміжком інтегрування.

9.6.2. Інтеграл від розривної функції (невласний інтеграл роду).

Тема 9.7. Геометричне і фізичне застосування визначеного інтеграла.

9.7.1. Схеми застосування визначеного інтеграла.

9.7.2. Обчислення площ плоских фігур.

9.7.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

9.7.4. Обчислення об’єму тіла.

9.7.5. Обчислення площі поверхні обертання.

9.7.6. Механічне застосування визначеного інтеграла.

Тема 9.8. Наближене обчислення визначеного інтеграла.

9.8.1. Формула прямокутників.

9.8.2. Формула трапецій.

9.8.3. Формула парабол (Сімпсона).

Тема9.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

(рис.167)

Нехай функція визначена на відрізку . Виконаємо наступні дії.

  1. За допомогою точок розіб'ємо відрізок

на n частинних відрізків (дивися рис. 167).

  1. В кожному частинному відрізку виберемо довільну точку

і обчислимо значення функції в ній, тобто величину .

  1. Помножимо знайдене значення функції на довжину

відповідного частинного відрізка: .

  1. Складемо суму всіх таких добутків:

. (9.1.1)

Сума вигляду (9.1.1) називається інтегральною сумою функції на відрізку .

Позначимо через довжину найбільшого частинного відрізка: .

  1. Знайдемо границю інтегральної суми (1.1), коли так, щоб .

Якщо при цьому інтегральна сума має границю, яка не залежить ні від способу розбиття відрізкана частинні відрізки, ні від вибору точок в них, то вона називаєтьсявизначеним інтегралом від функції на відрізкуі позначається

. (9.1.2)

Числа іназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування,- підінтегральною функцією,- підінтегральним виразом,- змінною інтегрування, відрізок- областю (відрізком) інтегрування.

Функція для якої на відрізкуіснує визначений інтеграл, називається інтегрованою на цьому відрізку.

Сформулюємо тепер теорему існування визначеного інтеграла.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна на відрізку , то визначений інтеграл існує.

Відзначимо, що неперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості. Проте визначений інтеграл може існувати і для деяких розривних функцій, зокрема для всякої обмеженої на відрізку функції, що має на ній скінчене число точок розриву.

Вкажемо деякі властивості визначеного інтеграла, які безпосередньо випливають з його означення (9.1.2).

  1. Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування: . Це випливає з того, що інтегральна сума (9.1.1), а отже, і границя (9.1.2) не залежать від того, якою буквою позначається аргумент даної функції.

  2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування рівний нулю: .

  3. Для будь-якого дійсного числа : .

Соседние файлы в папке лекции