Змістовий модуль 8.

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Тема 8.1. Невизначений інтеграл.

8.1.1. Означення невизначеного інтеграла.

8.1.2. Властивості невизначеного інтеграла.

8.1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів.

Тема 8.2. Основні методи інтегрування.

8.2.1. Метод безпосереднього інтегрування.

8.2.2. Метод інтегрування підстановкою (заміна змінної).

8.2.3. Метод інтегрування частинами.

Тема 8.3. Інтегрування раціональних функцій.

8.3.1. Поняття про раціональні функції.

8.3.2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

8.3.3. Інтегрування раціональних дробів.

Тема 8.4. Інтегрування тригонометричних функцій.

8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка.

8.4.2. Інтеграли виду .

8.4.3. Використання тригонометричних перетворень.

Тема 8.5. Інтегрування ірраціональних функцій.

8.5.1. Квадратичні ірраціональності.

8.5.2. Дробово - лінійна підстановка.

8.5.3. Тригонометрична підстановка.

8.5.4. Інтеграли виду .

8.5.5. Інтегрування диференціального бінома.

Тема 8.6. Інтеграли, що «беруться» і «не беруться».

8.1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

8.1.1. Означення невизначеного інтеграла

В диференціальному численні розв'язується задача: по даній функції знайти її похідну (або диференціал). Інтегральне числення вирішує зворотну задачу: знайти функцію, знаючи її похідну(або диференціал). Шукану функціюназиваютьпервісною функції .

Функція називаєтьсяпервісною функції на інтервалі, якщо для будь-коговиконується рівність

(або ) .

Наприклад, первісною функції,, є функція, оскільки

.

Очевидно, що первісними будуть також будь-які функції

,

де – стала, оскільки

.

Теорема 8.1.1. Якщо функція є первісною функціїна, то множина всіх первісних длязадається формулою, де– стала.

Функція є первісною. Дійсно.

Нехай - деяка інша, відмінна від, первісна функції, тобто. Тоді для будь-якогомаємо

.

А це означає (див. наслідок 25.1), що

рис. 166.

,

де – стале число. Отже,.

Множина всіх первісних функцій дляназиваєтьсяневизначеним інтегралом від функції і позначається символом.

Таким чином, за означенням

.

Тут називається підінтегральною функцією, – підінтегральним виразом, – змінною інтеграції,– знак невизначеного інтеграла.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометрично невизначений інтеграл є сімейством «паралельних кривих» (кожному числовому значенню відповідає певна крива сімейства) (див. рис. 166). Графік кожної первісної (кривої) називається інтегральною кривою.

Чи для всякої функції існує невизначений інтеграл?

Має місце теорема, що стверджує, що «будь-яка неперервна на функція має на цьому проміжку первісну», а отже, і невизначений інтеграл.

8.1.2. Властивості невизначеного інтеграла

Визначимо ряд властивостей невизначеного інтеграла, виходячи з його визначення.

1. Диференціал від невизначеного інтеграла, рівний підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла рівна підінтегральній функції:

, .

 Дійсно,

і .

Завдяки цій властивості правильність інтеграції перевіряється диференціюванням. Наприклад, рівність

правильна, оскільки .

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції рівний сумі цієї функції і довільної сталої:

.

 Дійсно, .

3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, – стала.

 Дійсно,

(Поклали ).

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа неперервних функцій рівний алгебраїчній сумі інтегралів від складових функцій:

.

 Нехай і. Тоді

, де .

5. (Інваріантність формули інтеграції). Якщо , то й, де– довільна функція, що має неперервну похідну.

 Нехай – незалежна змінна, – неперервна функція і– її первісна. Тоді. Покладемо тепер, де– функція, що неперервно диференціюється. Розглянемо складну функцію. Через інваріантність форми першого диференціала функції маємо

.

Звідси .

Таким чином, формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, чи є змінна інтеграції незалежною змінною або будь-якою функцією від неї, що має неперервну похідну.

Так, з формули шляхом заміни на одержуємо. Зокрема

,

,

.

Приклад 1. Знайти інтеграл .



, де .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

 .