матан 3 курс 2013 / лекции / Екстремуми функцій багатьох змінних / лекция № 36

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 36

з теми: «Необхідні, достатні умови екстремуму функцій багатьох змінних.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.14 Екстремуми функцій багатьох змінних

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Необхідні, достатні умови екстремуму функцій багатьох змінних.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття екстремуму функцій багатьох змінних, розглянути необхідні та достатні умови існування екстремумів функцій багатьох змінних.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення екстремуму функцій однієї змінної, необхідна та достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної в точці.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Необхідні, достатні умови екстремуму функцій багатьох змінних.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функцій багатьох змінних для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 36.

Тема: «Необхідні, достатні умови екстремуму функцій багатьох змінних.»

План лекції № 36.

1. Необхідні умови існування екстремуму функції багатьох змінних.

2. Достатня умова існування екстремуму функції багатьох змінних.

Визначення 1. Нехай функція ƒ визначена на множині . Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму), якщо існує такий окіл , що для всіх виконується нерівність (відповідно нерівність ). Якщо окрім того, для , то точка називається точкою строгого локального максимуму (мінімуму). Точки локального максимуму та мінімуму називають точками локального екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо функція ƒ визначена в околі точки та якщо в цій точці існує частинна похідна , то вона дорівнює 0, тобто .

Визначення 2. Точка , в якій всі частинні похідні функції ƒ існують та дорівнюють 0: називається критичною точкою функції ƒ.

Квадратична форма називається додатно (від’ємно) визначеною, якщо для будь-якого виконується нерівність . Додатно чи від’ємно визначена квадратична форма називається знаковизначеною, інакше – знакозмінною.

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай функція ƒ(х), , двічі неперервно диференційована в околі своєї критичної точки . Тоді, якщо другий диференціал функції ƒ є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то є точкою строгого мінімуму (максимуму). Якщо ж другий диференціал – знакозмінна квадратична форма, то в точці екстремуму немає.

Користуючись критерієм Сільвестрі, маємо: для того, щоб квадратична форма була додатно визначеною, необхідно та достатньо, щоб . Для того, щоб квадратична форма А(х) була від’ємно визначена, необхідно та достатньо, щоб квадратична форма була додатно визначеною.

Для функції двох змінних z=ƒ(х,у) визначимо умови існування чи відсутності локального екстремуму в даній точці.

Нехай функція ƒ(х,у) двічі неперервно диференційована в околі точки та ця точка є критичною. . Відповідні частинні похідні другого порядку в точці позначимо . Якщо , то квадратична форма додатна,

якщо , то квадратична форма від’ємна.

В силу достатньої умови існування екстремуму маємо: якщо - точка є точкою строгого локального мінімуму, якщо - точка є точкою строгого локального максимуму. Якщо ж - квадратична форма знакозмінна та екстремуму в точці не існує. Якщо - то точка може як бути точкою екстремуму, так й не бути єю.

Зразки розв’язання задач

1. Дослідити функції на екстремум:

а) .

Обчислимо частинні похідні функції: , .

Знайдемо стаціонарні точки. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

або

Визначаючи з першого рівняння і підставляючи його вираз у

друге, маємо: , звідки , . Тоді , .

Отже, точки і - стаціонарні. Обчислимо частинні похідні другого порядку даної функції: , , .

Знайдемо їх значення в стаціонарних точках:

, , ;

, , .

Враховуємо, що , отже, в точці

екстремуму немає. Обчислимо та , а тому в точці дана функція має мінімум, причому .

б) .

Частинні похідні першого порядку: та . Знайдемо

стаціонарні точки:

, звідки

Отже, точка є стаціонарною. Частинні похідні другого порядку:

, , .

Тоді , , . Обчислимо .

Отже, в точці є екстремум. Так як , то в точці функція має мінімум:

.