матан 3 курс 2013 / лекции / Екстремуми функцій багатьох змінних / лекция №38

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 38

з теми: «Умовний екстремум. Прямий метод відшукання точок умовного екстремуму, метод невизначених множників Лагранжа.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.14 Екстремуми функцій багатьох змінних

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Умовний екстремум. Прямий метод відшукання точок умовного екстремуму, метод невизначених множників Лагранжа.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття умовного екстремуму функцій багатьох змінних, розглянути методи знаходження та умови існування умовних екстремумів функцій багатьох змінних.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: математичний аналіз

• Дисципліни, що забезпечуються: дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення екстремуму функцій однієї змінної, необхідна та достатні умови існування екстремуму функції однієї змінної в точці; визначення екстремуму функції багатьох змінних, необхідна та достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Умовний екстремум. Прямий метод відшукання точок умовного екстремуму, метод невизначених множників Лагранжа.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функцій багатьох змінних для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання.

План лекції № 38.

1. Поняття умовного екстремуму.

2. Метод множників Лагранжа для знаходження точок умовного екстремуму.

Конспект лекції № 38.

Тема: «Умовний екстремум. Прямий метод відшукання точок умовного екстремуму, метод невизначених множників Лагранжа.»

План лекції № 38.

1. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

2. Метод множників Лагранжа для знаходження точок умовного екстремуму.

Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:

1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;

3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .

Приклад. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:

, , , .

Розв’язання.

 Тут

1. Знаходимо всі критичні точки:

Розв’язком системи є точки

Жодна із знайдених точок не належить області .

2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок .

На ділянці : , , де

, , . Значення функції , .

На ділянці :

, , де ,

, . Значення функції , .

На ділянці : ,

; ; . Значення функції

На ділянці : ,

Значення функції

3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а