матан 3 курс 2013 / лекции / Невизначений інтеграл / лекция № 5

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 5

з теми: «Інтегрування деяких ірраціональностей, підстановка Ейлера.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування деяких ірраціональностей, підстановка Ейлера.

Мета:

• Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: поняття ірраціональної функції, таблиця інтегралів, основні методи інтегрування.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Інтегрування деяких ірраціональностей, підстановка Ейлера.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 5.

План лекції № 5.

1. Інтегрування ірраціональностей підстановкою Ейлера.

Тема: «Інтегрування деяких ірраціональностей, підстановка Ейлера..»

1. Інтеграли виду , де R – багаточлен чи раціональний алгебраїчний дріб, приводяться до інтегралу від раціональної функції за допомогою підстановки Ейлера.

Розглянемо три випадки.

• Перша підстановка застосовується у випадку, коли а > 0. Вважаємо, що . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

• Друга підстановка застосовується у випадку, коли с > 0. Вважаємо, що . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

• Третя підстановка застосовується у випадку, коли багаточлен має різні дійсні корені , тобто може бути представлений у вигляді . Тоді, вважаємо . Далі, підводимо обидві частини до квадрату, отримаємо . З рівності для змінної х отримаємо: . При підстановці цих виразів в даний інтеграл він зведеться до інтегралу від раціонального алгебраїчного дробу відносно змінної t.

Приклади.

Обчислити інтеграл .

Вважаємо Підставимо отримані вирази в даний інтеграл, получимо:

.