МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 1
з теми: «Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла.»
Модуль кзн-02. Пр.О.03.07 Невизначений інтеграл.
Дисципліна: «Математичний аналіз»
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики.
Протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.
|
Розробив викладач Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІIІ
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла.
Мета:
Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.
Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.
Тип: лекція
Вид: лекція – дослідження.
Методи та форми проведення заняття: мовні, наглядні, проблемно – пошукові.
Науково-методичне забезпечення:
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.
Між предметні зв’язки:
Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика, лінійна алгебра та аналітична геометрія.
Дисципліни, що забезпечуються: дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Організаційна частина:
відсутні;
підготовка до заняття;
перевірка д/з.
Актуалізація опорних знань: таблиця похідних елементарних функцій, правила знаходження похідної, властивості похідної.
Вивчення нового матеріалу:
Тема лекції: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла.
Мотивація вивчення матеріалу: основний математичний апарат – невизначений інтеграл - дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.
Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
Закріплення нового матеріалу.
Підсумки заняття.
Домашнє завдання:
Конспект лекції № 1.
Тема: Первісна та невизначений інтеграл. Основні властивості інтеграла.
План лекції № 1.
Первісна та невизначений інтеграл.
Основні властивості інтеграла.
Табличні інтеграли.
Нехай Δ – скінчений чи нескінчений проміжок числової осі (відрізок, полу інтервал, інтервал) та на Δ визначені функції ƒ та F.
Визначення 1. Функція F називається первісною функцією чи первісною функції ƒ на проміжку Δ, якщо F – диференційована на Δ та в кожній точці інтервалу похідна F′(х) = ƒ(х), х Δ.
Лемма. Для того, щоб дві диференційовані на деякому проміжку функції були первісними однієї й тієї ж функції, необхідно та достатньо, щоб вони на цьому проміжку відрізнялись на сталу величину.
Тобто, F(х) та Φ(х) – є первісними функції ƒ на проміжку Δ, якщо F(х) = Φ(х) + С, де С – стала. (доведення розібрати самостійно)
Визначення 2. Нехай функція ƒ задана на деякому проміжку Δ. Сукупність всіх її первісних на цьому проміжку називається невизначеним інтегралом від функції ƒ та позначається ∫ƒ(х)dх. Якщо F(х) – деяка первісна функції ƒ на проміжку Δ, то пишуть ∫ƒ(х)dх = F(х) + С.
Якщо F(х) – деяка первісна функції ƒ на проміжку Δ, то під знаком інтегралу стоїть диференціал функції F: dF(х) = F′(х)dх = ƒ(х)dх. Відповідно до цього маємо: ∫ƒ(х)dх = ∫F′(х)dх = ∫dF(х).
Нехай всі функції, що розглядаються, визначені на фіксованому проміжку Δ. Розглянемо властивості інтеграла, що послідкують з його визначення.
Якщо функція F диференційована на проміжку Δ, то ∫dF(х) = F(х) + С, тобто ∫F′(х)dх = F(х) + С.
Нехай функція ƒ має первісну на проміжку Δ; тоді для всіх х Δ має місце рівністьd(∫ƒ(х)dх) = ƒ(х)dх.
Якщо функції ƒта ƒмають первісні на проміжку Δ, то й функція ƒ+ ƒмає первісну на цьому проміжку, причому ∫(ƒ(х) + ƒ(х))dх =∫ƒ(х)dх +∫ƒ(х)dх.
Якщо функція ƒ має первісну на проміжку Δ та k – стала, то функція kƒ також має на Δ первісну та при k ≠ 0 вірна рівність ∫kƒ(х)dх = k∫ƒ(х)dх.
Наслідки. Якщо функції ƒта ƒмають первісні на проміжку Δ, а λта λ- дійсні числа, причому λ²+λ² > 0, то функція λƒ+ λƒтакож має первісну на проміжку Δ, причому ∫(λƒ(х) + λƒ(х)dх) = λ∫ƒ(х)dх + λ∫ƒ(х)dх.
З будь – якої формули для похідної деякої функції F′(х) = ƒ(х) прослідкує формула для невизначеного інтегралу ∫ƒ(х)dх = F(х) + С.
Таким чином отримаємо табличні інтеграли:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.