Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Математика

Файл:

лекция № 6

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

289.28 Кб

Скачать

☆

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 6

з теми: «Інтегрування трансцендентних функцій.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової

комісії інформаційних технологій та прикладної математики.

Протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач

Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.

Мета:

Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.

Науково-методичне забезпечення:

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика
Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

Організаційна частина:

відсутні;
підготовка до заняття;
перевірка д/з.

Актуалізація опорних знань: визначення трансцендентних функцій, їх види та властивості, таблиця інтегралів, методи інтегрування.
Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Інтегрування трансцендентних функцій.

Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
Закріплення нового матеріалу.
Підсумки заняття.
Домашнє завдання:

Конспект лекції № 6.

Тема: «Інтегрування трансцендентних функцій.»

План лекції № 6.

Інтеграли виду .
Інтеграли виду .
Інтеграли виду .

Інтеграли виду зводиться підстановкою до інтегралу від раціональної функції. Користуючись формулами універсальної підстановки, маємо: , . Тоді маємо: . Підставляючи отримані вирази в даний інтеграл, маємо: = , тобто отримали інтеграл від раціональної функції. Також при обчисленні інтегралів типу часто доцільно використовувати підстановки . В деяких випадках інтегрування за допомогою цих підстановок надає можливість проводити менше обчислень, ніж при використанні універсальних підстановок.
Інтеграли виду обчислюються в залежності від ступенів n та m. Розглянемо можливі випадки.

n та m – раціональні числа. Тоді підстановкою чи інтеграл зводиться до виду інтеграла від диференційного біному. Дійсно, якщо , то . Тоді .
якщо n та m – цілі числа, причому n – парне, m – непарне, то вводимо заміну та використовуємо основну тригонометричну тотожність . Дійсно, маємо = . Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції.
якщо n та m – цілі числа, причому n – непарне, m –парне, то вводимо заміну та використовуємо основну тригонометричну тотожність . Дійсно, маємо = . Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції.
якщо n та m – цілі числа, причому n – непарне, m –непарне, тобто n = 2k + 1, m = 2l + 1, то вводимо заміну . Дійсно, = Таким чином, отримали інтеграл від раціональної функції(k та l можуть бути від’ємними).
якщо n та m – цілі числа, причому n –парне, m –парне, тобто n = 2k, m = 2l, то вводимо заміну чи заміну , та користуємось формулами зниження ступеня: , . При цьому отримаємо інтеграл того ж типу, але від функцій нижчого ступеня.

Інтеграли виду обчислюються, якщо їх підінтегральні вирази спростити за формулами: ; ; .

Універсальна тригонометрична підстановка

Розглянемо деякі випадки знаходження інтеграла від тригонометричних функцій. Функцію із змінними і , над якими виконуються раціональні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) прийнято позначати , де – знак раціональної функції.

Обчислення невизначених інтегралів типу зводиться до обчислення інтегралів від раціональної функції підстановкою , яка називається універсальною.

Дійсно.

Тому

де - раціональна функція від . Звичайно, цей спосіб досить громіздкий, зате він завжди приводить до результату.

На практиці застосовують і інші, більш прості підстановки, залежно від властивостей (і вигляду) підінтегральної функції. Зокрема, зручні наступні правила:

1) якщо функція непарна відносно , тобто , то підстановку раціоналізує інтеграл;