матан 3 курс 2013 / лекции / Числові ряди / лекция № 21

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 21

з теми: «Знакозмінні ряди. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.10 Числові ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Знакозмінні ряди. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди.

Мета:

• Дидактична: розглянути поняття числового ряду, різновиди числових рядів. Вивчити поняття збіжності ряду та достатні умови збіжності рядів з знакозмінними членами. Розглянути поняття абсолютної та умовної збіжності.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення числового ряду, часткових сум числового ряду, суми числового ряду, визначення збіжного та розбіжного числових рядів, необхідна умова збіжності числового ряду, властивості збіжного числового ряду, критерій Коші збіжності числового ряду, приклади збіжних та розбіжних числових рядів, достатні умови збіжності знакододатних числових рядів (ознаки збіжності інтегральна, зрівняння, Д’Аламбера, Коші).

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Знакозмінні ряди. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження числових рядів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 21.

Тема: Знакозмінні ряди. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди.

План лекції № 21.

1. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

2. Абсолютно збіжні ряди.

3. Умовно збіжні ряди.

Визначення. Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як додатні, так і від‘ємні.

Визначення. Знакозмінний ряд називається знакочергуючим, якщо додатні та від‘ємні члени ряду чергуються, тобто ряд має вигляд

де - додатні.

Оскільки серед членів такого ряду є як додатні, так і від‘ємні, то для дослідження збіжності не можуть бути використані достатні ознаки, розглянуті у попередньому параграфі. Для таких рядів вводиться поняття абсолютної та умовної збіжності.

Визначення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо ряд, члени якого є абсолютними величинами членів даного ряду, тобто збігається.

Теорема 1 (критерій Коші абсолютної збіжності ряду). Для того, щоб ряд збігався абсолютно, необхідно та достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер , що для всіх та всіх цілих р ≥ 0 мало б місце

Теорема 1. Якщо ряд абсолютно збігається, то він збігається.

Теорема 3. Якщо ряд збігається абсолютно, то будь-який ряд , складений з тих самих членів, що й даний ряд, але взятих в іншому порядку, також абсолютно збігається та має ту ж саму суму,тобто =

Теорема 4. Якщо ряди та абсолютно збігаються, то ряд, складений з всіх можливих попарних добутків членів цих рядів, також абсолютно збігається, причому його сума s дорівнює добутку сум даних рядів: якщо , а , то s = s´s´´. (абсолютно збіжні ряди можна перемножати почленно.)

Якщо ж знакозмінний ряд збігається, а ряд, утворений з абсолютних величин його членів, розбігається, то такий знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно збіжним.

Визначення. Збіжний, але не абсолютно збіжний ряд називається умовно збіжним.

Для дослідження знакозмінного ряду на абсолютну збіжність використовуються ознаки збіжності, розглянуті для додатних рядів, а для дослідження на умовну збіжність знакочергуючих рядів використовується теорема Лейбніца.

Теорема 5 (ознака Лейбніца для знакочергуючого ряду). Якщо послідовність спадає та дістає до 0, тобто , то ряд збігається, причому, якщо , , то при будь-якому n = 1, 2, … виконується нерівність .

Приклад. Дослідити на збіжність знакочергуючий ряд .

Розв‘язання.

Члени ряду монотонно спадають за абсолютною величиною:

; .

Ряд збігається умовно, оскільки ряд, складений з абсолютних величин, буде розбіжним (як гармонійний).

Розглянемо два ряди та . Відповідно до визначення члени цих рядів невід’ємні.

Лемма 1. Якщо ряд умовно збігається, то обидва ряди та розбігаються.

Теорема 6 (Рімана). Якщо ряд з дійсними членами умовно збігається, то для будь-якого дійсного числа s можна так переставити члени цього ряду, що сума отриманого ряду буд дорівнювати s.

Теорема Рімана показує, що одне з основних властивостей скінчених сум чисел – комутативність додавання – не переноситься на збіжні ряди, тобто на нескінченні суми: якщо ряд збігається, але не абсолютно, то його сума залежить від порядку доданків.

З’ясувати, чи буде заданий ряд розбіжним, абсолютно або умовно збіжним.

1. 

Члени заданого ряду мають різні знаки. Дослідимо цей ряд на абсолютну збіжність.

Узагальнений гармонічний ряд збігається (оскільки показник степеня ). Згідно з ознакою порівняння знакододатний ряд також збігається, отже знакозмінний ряд збігається абсолютно.

2. 

Знаки членів ряду чергуються та відповідають залежності . Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

.

За необхідною умовою збіжності ряд розбігається.

3. 

Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд збігається.

Дослідимо ряд з модулів .

~.

Узагальнений гармонічний ряд розбігається (оскільки показник степеня ).

.

Згідно з граничною ознакою порівняння знакододатний ряд також розбігається, отже , ряд збігається умовно.

Зауваження. Умова спадності може виконуватися не з першого члена ряду.

4. 

Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

1) ;

2) , , , …

, , , оскільки функція

є монотонно спадною для ().

За теоремою Лейбніца ряд збігається.

Дослідимо ряд з модулів . Скористаємося для цього ознакою Даламбера.

, .

За ознакою Даламбера ряд збігається, отже, ряд збігається абсолютно.

Зауваження. У останньому прикладі можна обмежитися дослідженням ряду з модулів, оскільки при абсолютній збіжності автоматично забезпечується збіжність за Лейбніцем.

5. 

Дослідимо ряд з модулів . Скористаємося для цього ознакою Даламбера.

, .

.

За ознакою Даламбера ряд збігається, отже, ряд збігається абсолютно.

Зауваження. Якщо при дослідженні ряду з модулів за радикальною ознакою Коші або за ознакою Д’Аламбера з’ясовано, що цей ряд розбігається, то можна зробити висновок, що буде розбіжним і знакозмінний ряд, оскільки в таких випадках ( або ) не виконується необхідна умова збіжності.